新高考数学二轮培优大题优练6 立体几何（原卷版）

立体几何立体几何大题优练6优选例题优选例题例1．已知四边形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．现将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0边折起，使得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，平面SKIPIF1<0将三棱锥SKIPIF1<0分成两部分，SKIPIF1<0． （1）求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，求SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0为等边三角形，由SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0﹐连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0的边长为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由（1）知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，由（1）知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由（1）知，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0．例2．如图，四边形SKIPIF1<0是边长为SKIPIF1<0的正方形，SKIPIF1<0，将三角形SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起使平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一点，且满足SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0；（2）若二面角SKIPIF1<0的余弦值为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．【答案】（1）证明见解析；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）证明：因为面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接OP，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．以SKIPIF1<0为坐标原点，分别以SKIPIF1<0方向为SKIPIF1<0轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0的一个法向量，则有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，不妨令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；设SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0的一个法向量，则有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，不妨令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．例3．如图，在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）证明：SKIPIF1<0；（2）有三个条件；①SKIPIF1<0；②直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0；③二面角SKIPIF1<0的余弦值为SKIPIF1<0．请你从中选择一个作为条件，求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）选任何一个，结果均为SKIPIF1<0．【解析】（1）取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）在SKIPIF1<0上取点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0与SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0内相交直线，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴建立空间直角坐标系，如图，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0．选①，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是等边三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的一个法向量是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，记直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0（即平面SKIPIF1<0）所成的角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．选②，由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0是SKIPIF1<0（即SKIPIF1<0）与平面SKIPIF1<0所成的角，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以下同选①．选③，作SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是二面角SKIPIF1<0，即二面角SKIPIF1<0的平面角，已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，以下同选①．

模拟优练模拟优练1．在三棱柱SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点．（1）求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）求点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离．2．如图，在五面体SKIPIF1<0中，四边形SKIPIF1<0是边长为SKIPIF1<0的正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．（1）求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）求二面角SKIPIF1<0的余弦值．3．如图①，在等腰三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．将SKIPIF1<0沿直线SKIPIF1<0折起到SKIPIF1<0的位置，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得到如图②所示的四棱锥SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0．（1）证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）当SKIPIF1<0时，求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成锐二面角的余弦值．4．如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求证：SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．5．如图所示的多面体中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值；（2）求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（3）求二面角SKIPIF1<0的余弦值．6．如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是边长为SKIPIF1<0的菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点．（1）求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）线段SKIPIF1<0上是否存在一点SKIPIF1<0，使得直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角的正弦值为SKIPIF1<0，若存在，求出的SKIPIF1<0值；不存在，请说明理由．7．如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0为梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0上一点．（1）在平面SKIPIF1<0内能否作一条直线与平面SKIPIF1<0垂直？若能，请画出直线并加以证明；若不能，请说明理由；（2）若SKIPIF1<0时，求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．

参考参考答案1．【答案】（1）证明见解析；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）由题意，SKIPIF1<0为等边三角形且SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0的中点，∴面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为中位线，由（1）知：SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，∴在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为h，∴SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0．2．【答案】（1）证明见解析；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）证明：因为平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．（2）如图，取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为等腰直角三角形，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．易知SKIPIF1<0三条直线两两垂直，分别以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴建立空间直角坐标系．则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由（1）知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由图可知二面角SKIPIF1<0为钝角，所以二面角SKIPIF1<0的余弦值为SKIPIF1<0．3．【答案】（1）证明见解析；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）如图，在棱SKIPIF1<0上取点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0且SKIPIF1<0．由题意，知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，即四边形SKIPIF1<0为平行四边形，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．（2）如图，分别取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由题意，知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．以SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方向分别为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．设平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；设平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成锐二面角的余弦值为SKIPIF1<0．4．【答案】（1）证明见解析；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）如图，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴四边形SKIPIF1<0为等腰梯形，且SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．（2）由（1）知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．∵平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角．在等边三角形SKIPIF1<0中，易得SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，∴在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<0．5．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）证明见解析；（3）SKIPIF1<0．【解析】（1）由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的平面角，∴SKIPIF1<0，即可得SKIPIF1<0．（2）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0面SKIPIF1<0．（3）由（2），以SKIPIF1<0为原点，分别以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0轴正方向，建立如下图所示空间直角坐标系SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设面SKIPIF1<0的一个法向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；设面SKIPIF1<0的一个法向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又二面角SKIPIF1<0为锐角，∴二面角SKIPIF1<0的余弦值为SKIPIF1<0．6．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，SKIPIF1<0．【解析】（1）证明：连接SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因为点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理，有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．（2）如图，以点SKIPIF1<0为坐标原点，建立空间直角坐标系，则SKIPIF1<0