2020届高三数学一轮复习练习：第七章立体几何

第七章立体几何

第一节》空间几何体的结构特征及三视图与直观图

2019考纲考情

考纲要求考情分析

1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这

1.本节内容是高考中的重点考查内容，涉及空间

些特征描述现实生活中简单物体的结构.

几何体的结构特征、空间几何体的三视图与直观图等

2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简

内容.

易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜

2.命题形式主要以选择题、填空题为主，主要考

二测法画出它们的直观图.

查空间几何体的三视图的确认与应用，同时这类题目

3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，

也重点考查了空间几何体的结构特征,解题要求有较

了解空间图形的不同表示形式.

强的空间想象能力.

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----------［感知•自测卜……——

知识点一空间几何体的结构特征

1.多面体

⑴棱柱的侧棱都互相平行,上下底面是互相平行且全等的多边

形.

(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形.

⑶棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到,其上下底面是

相互平行且相似的多边形.

2.旋转体

(1)圆柱可以由矩能绕其任一边旋转得到.

(2)圆锥可以由直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转得到.

(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线

旋转得到，也可由壬丘于圆锥底面的平面截圆锥得到.

(4)球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到.

R对点快练

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“或“X”)

(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱

柱.(X)

(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱

锥.(X)

(3)夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何

体一定是棱台.(X)

2.下图所示的几何体中，是棱柱的为③©(填写所有正确的序号).

解析：根据棱柱的结构特征可知③⑤是棱柱.

知识点二空间几何体的三视图

1.三视图的名称

几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图.

2.三视图的画法

(1)画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线.

（2）三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、

正左方、正上方观察几何体得到的正投影图.

R对点快练

3.如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为

（A）

俯视图

解析：由正视图和俯视图可知，该几何体是由一个圆柱挖去一■个

圆锥构成的，结合正视图的宽及俯视图的直径可知侧视图应为A,故

选A.

4.（2019•昆明调研测试）古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷

的外壳，获得可供食用的大米，用于舂米的“臼”多用石头或木头制

成.一个“臼”的三视图如图所示，则凿去部分（看成一个简单的组

合体）的体积为（A）

A.63兀B.72K

C.79兀D.99n

解析：由三视图得凿去部分是圆柱与半球的组合体，其中圆柱的

高为5,底面圆的半径为3,半球的半径为3,所以组合体的体积为

327IX5+|X|TIX33=637I,故选A.

知识点三空间几何体的直观图

空间几何体的直观图常用斜二a画法来画，其规则是：

1.原图形中入轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，『轴、y'

轴的夹角为45。或135。,z'轴与/轴和/轴所在平面垂直.

2.原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标

轴.平行于X轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变,平行于y

轴的线段在直观图中长度变为原来的一半.

Q对点快练

5.下列说法正确的是（D）

A.相等的角在直观图中仍然相等

B.相等的线段在直观图中仍然相等

C.正方形的直观图是正方形

D.若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行

解析：由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线

段的平行性不变.

6.如图，直观图所表示的平面图形是（D）

A.正三角形B.锐角三角形

C.钝角三角形D.直角三角形

解析：由直观图中，A'C//y'轴，B'C〃/轴，还原后

原图4C〃y轴，BC//x^.直观图还原为平面图形是直角三角形.故

选D.

----------［感知•延伸卜……——

1.台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧

棱延长后必交于一点.

2.三视图的基本要求

长对正，高平齐，宽相等.

3.斜二测画法中的“三变”与“三不变”

’坐标轴的夹角改变

“三变”<与y轴平行的线段的长度变为原来的一半

、图形改变

'平行性不改变

“三不变”<与％,Z轴平行的线段的长度不改变

、相对位置不改变

»KETANGTANJIUSHENDUPOUXI

课堂探究,深度剖析02课堂升华强技提能

考向一空间几何体的结构特征

【例1】给出下列命题：

①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；

②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；

③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四

棱柱为直四棱柱；

④存在每个面都是直角三角形的四面体；

⑤棱台的侧棱延长后交于一点.

其中正确命题的序号是.

【解析】

①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，

但不一定全等；②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面

构成的三个平面的二面角都是直二面角；③正确，因为两个过相对侧

棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；④正确，如图，正方体

4G中的三棱锥C.-ABC,四个面都是直角三角形；⑤正确，由棱台

的概念可知.

【答案】②③④⑤

［突破攻略］

(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几

何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判

断.

(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是

常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反

例对概念类的命题进行辨析.

(1)以下命题：

①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥;

②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；

③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；

④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台.

其中正确命题的个数为(B)

A.0B.1

C.2D.3

(2)给出下列四个命题：

①有两个侧面是矩形的图形是直棱柱；

②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；

③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体;

④底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱

柱.

其中不正确的命题为①②③.

解析：（1）命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得

不到圆锥；命题②错，因为这条腰必须是垂直于两底的腰；命题③对；

命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以.故选B.

（2）对于①，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故①错；

对于②，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明（如图），故②错；对

于③，若底面不是矩形，则③错；④由线面垂直的判定，侧棱垂直于

底面，故④正确.综上，命题①②③不正确.

考向二空间几何体的三视图

方向1由几何体识别三视图

[例2]（1）（2018•全国卷III）中国古建筑借助桦卯将木构件连接

起来.构件的凸出部分叫梯头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的

小长方体是梯头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成

长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）

AB

（2）（2019•山西八校联考）将正方体（如图1）截去三个三棱锥后，得

到如图2所示的几何体，侧视图的视线方向如图2所示，则该几何体

的侧视图为（）

【解析】（1）由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视

方向看，桦头看不见，所以是虚线，结合桦头的位置知选A.

（2）将图2中的几何体放到正方体中如图所示，从侧视图的视线

方向观察，易知该几何体的侧视图为选项D中的图形，故选D.

【答案】（1）A（2）D

方向2已知三视图判断几何体

[例3]⑴（2018•全国卷I）某圆柱的高为2,底面周长为16,

其三视图如图.圆柱表面上的点又在正视图上的对应点为A,圆柱

表面上的点N在左视图上的对应点为5则在此圆柱侧面上，从"

到N的路径中，最短路径的长度为（

A.2^/17B.2小

C.3D.2

（2）（2018•北京卷）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧

面中，直角三角形的个数为（）

正（主）视图侧（左）视图

B.2C.3D.4

【解析】（1）由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱,

该圆柱的高为2,底面周长为16.

画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接MN,则MS=2,

SN=4,则从M到N的路径中，最短路径的长度为NMS2+S好=

狼不不=2小.故选B.

SN

图②

（2）将三视图还原为直观图，几何体是底面为直角梯形，且一条

侧棱和底面垂直的四棱锥，如图所示.

易知，BC//AD,BC=1,AD=AB=PA=2,AB±AD,■平

面ABCD,故△F4。，为直角三角形，■平面ABC。，BC

U平面A5CD,C.PA^BC,及BC上AB,JLPA^AB=A,：.BC±^-

面以5,又尸5U平面RW,：.BC工PB,为直角三角形，容

易求得尸。=3,CD=小,PD=2@,故△尸CZ）不是直角三角形，故

选C.

【答案】（1）B（2）C

［突破攻略］

1.对于一些三视图题，可将几何体放到正方体或长方体中，利用

正方体或长方体的线面、面面垂直关系分析几何体的三视图.

2.求解以三视图为背景的空间几何体上的两点间的最短路径问

题的关键是过好双关：一是还原关，即利用“长对正，宽相等，高平

齐”还原出空间几何体的直观图；二是转化关，即把空间问题转化为

平面问题去解决.

1.（方向1）（2019•河北衡水中学调研）如图所示，在正方体

4BCD-A15CQ1中，E为棱的中点，用过点A,E,G的平面截

去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为（C）

AB

DI/E视G

ABCD

解析：如图所示，过点A,E,G的截面为AEG/，则剩余几何

体的侧视图为选项C中的图形.

c,

2.（方向2）（2019•湖南湘东五校联考）某几何体的三视图如图所示,

则这个几何体的体积为（C）

4

A.16号

兀

D.16（1一1）

解析：根据三视图知，该几何体是一个直四棱柱内挖去一个圆锥

后剩余的部分，画出直观图如图所示，结合图中数据，得该几何体的

体积V=V四棱柱一V圆锥=2?X4—；兀X12X4=16—牛，故选C.

考向三空间几何体的直观图

【例4】如图所示，四边形4‘B'CD'是一平面图形的水

平放置的斜二测画法的直观图，在斜二测直观图中，四边形

A'B'CD'是一直角梯形,A'B'//CD',A'D'±CrD',

且"。'与y’轴平行，若4,B'=6,D'C=4,AfD'=2.

求这个平面图形的实际面积.

【解】根据斜二测直观图画法规则可知，该平面图形是直角梯

形，且AB=6,CD=4保持不变.由于CB'=碑4'D'=2碑.

所以CB=4y区故平面图形的实际面积为;X(6+4)X46=2吸.

［突破攻略］

对于几何体的直观图，除掌握斜二测画法外，记住原图形面积S

与直观图面积S'之间的关系S'=乎工能更快捷地进行相关问题

的计算.

已知平面△ABC的直观图A'B'C是边长为a的正三角形,

求原△人与。的面积.

解：

如图所示，匕NB'C是边长为Q的正三角形，作CD'//

AzB'交/轴于点D',则D'到X’轴的距离为，。，Z

DA'B'=45°,「.A'Dr=『,由斜二测画法的法则知，在4

ABC中，AB=A'B'=凡AB边上的高是A'Df的二倍，即为加用

»KEWAITUOZHAN

课外拓展拓视野提能力冲刺名校

三视图还原几何体的“三步法”

三视图问题（包括求解几何体的表面积、体积等）是培养和考查空

间想象能力的好题目，是高考的热点.由三视图还原几何体是解决这

类问题的关键，但是不少学生感到难度颇大.笔者研究发现，由三视

图还原几何体只要按照以下三步骤去做，基本都能准确还原出来.这

三个步骤是：第一步，先画长（正）方体，在长（正）方体中画出俯视图；

第二步，在三个视图中找直角；第三步，判断直角位置，并向上（或

向下）做垂线，找到顶点，连线即可.下面举例说明.

典例1下图是一个四面体的三视图，三个三角形均是腰长为2

的等腰直角三角形，还原其直观图.

【解】第一步，根据题意，画正方体，在正方体内画出俯视图,

如图1.

第二步，找直角，在俯视图、正视图和侧视图中都有直角.

第三步，将俯视图的直角顶点向上拉起，与三视图中的高一致,

连线即可.所求几何体为三棱锥4-BCZ）,如图2.

以上三步，第一步是必须，第二步是关键！下面从不同角度来进

一步详细说明.

典例2一个几何体的三视图如图所示，图中直角三角形的直角

边长均为1,则该几何体体积为（）

【解析】几何体还原说明：（1）画出正方体，俯视图中实线可

以看作正方体的上底面及底面对角线.

D

（2）俯视图是正方形，有四个直角，正视图和侧视图中分别有一

个直角.正视图和侧视图中的直角对应上底面左边外侧顶点（右图中

。点上方顶点），将该顶点下拉至。点，连接。4,DB,。。即可.

该几何体即右图中棱长为1的正方体中的四面体A5CD,由此可

得答案为A.

【答案】A

典例3下图是几何体的三视图，还原其直观图.

正视图侧视图

俯视图

【解】按照三步骤去做.第一步，画出长方体，并在长方体内

画出俯视图，如图1.

图1图2

第二步，在正视图和侧视图中找直角.正视图中直角在左侧，侧

视图是矩形.所以，将又与尸向上垂直拉起，分别至C,D注意三

视图中的虚、实线，连接PC,PD,可得几何体P-ABCD.如图2.

典例4下图是一个棱锥的三视图，还原其直观图.

【解】俯视图中有两个直角，ZBAC^ZBDA,正视图和侧视

图中没有直角.由此，可以判断俯视图中的。点是棱锥顶点在底面

上的射影，所以，将。点向上拉起.右图中的棱锥V-A5C即为所求.

第二节®空间几何体的表面积与体积

2019考纲考情

考纲要求考情分析

了解球、棱柱、1.本节内容是高考中的重点内容,涉及空间几何体的表面积与体积的计算等内容.

棱锥、台的表面积和2.命题形式主要以选择题、填空题为主，主要考查空间几何体表面积与体积的计算，同时着重

体积的计算公式.考查空间几何体的结构特征、三视图等内容，解题要求有较强的空间想象能力和计算能力，广泛应

用转化与化归思想.

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知枳襦理•自主学习01课前热身稳固根基

［感知•自测〕

知识点一空间几何体的表面积

1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是侧面展

开图的面积，表面积是侧面积与底面积的和.

《对点快练

1.已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积

是（A）

俯视图

A.12+2^2+2^6B.12+A/2+2V6

C.12+2^2+^6D.12+^/2+A/6

解析：由三视图知：几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底

面垂直，如图，B4_L平面ABCD,PA=2,AB=2,AD=4,BC=2,

经计算，PD=2\f5,PC=2小,DC=2\[2,

所以PC_LCZ),所以S△用s=；X2X2=2,2X4=4,S

4PBe=；X2X2啦=2吸，S^PCD=\X2A/2X2^3=2^/6,S四边形A3cz)=]

X(2+4)X2=6,所以S表=12+2/+2#.

2.（必修2P36A组第10题改编）一直角三角形的三边长分别为6

cm,8cm,10cm,绕斜边旋转一周所得几何体的表面积为（^加cn?.

解析：旋转一周所得几何体为以歹cm为半径的两个同底面的圆

锥，其表面积为S=7iXgX6+7iX5X8=k一Men?).

知识点二空间几何体的体积

1.柱体：丫=甑；

2.棱锥：

3.棱台：V=；/z（S上+S卜+小石）；

4.球：V=|TI7?3.

■对点快练

3.（2019•河北名校联考）某几何体的三视图如图所示，则这个几

何体的体积是（C）

俯视图

A.13B.14

C.15D.16

解析：所求几何体可看作是将长方体截去两个三棱柱得到的几何

体，在长方体中还原该几何体，如图中ABCD-A'B'CD'所示，

长方体的长、宽、高分别为4,2,3,两个三棱柱的高为2,底面是两直

角边长分别为3和1.5的直角三角形，故该几何体的体积V=4X2X3

13

-2X-X3X-X2=15.

4.（2019•武汉市调研考试）已知A,B,C,。是球。上不共面的

四点，且BD=AC=@,BC±AD,则球。的体

积为（A）

A.71B.小兀

C.2小加D.4事7i

解析：由题，AB=BC=1,AC=y[2,所以AB2+BC2=AC2,所

以NCA4=5，FpBC-LAB,又BC_LA。，所以5CJ■平面A5D,因为

AB=AD=1,BD=y[2,所以所以A5_LA。，此时

可将点A,B,C,。看成棱长为1的正方体上的四个顶点，球O为

正方体的外接球，设球O的半径为H,故2R=N产+4+[2,所以尺

44cA/S

=2f则球0的体积V=^^lRi=27l^故选A.

----------[感知•延伸]一一…——

1.空间几何体的表面积

求空间几何体的表面积，就是求其展开图的面积.

2.与体积有关的几个结论

（1）一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.

(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等.

3.几个与球有关的切、接常用结论

(1)正方体的棱长为a,球的半径为

①若球为正方体的外接球，则2尺=小田

②若球为正方体的内切球，则2H=①

③若球与正方体的各棱相切，则2H=嫄。.

(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半

径为R,则2H=被不庐FU.

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课堂探究•深度剖析02课堂升华强技提能

考向一空间几何体的表面积

【例11(1)(2018•全国卷I)已知正方体的棱长为1,每条棱所

在直线与平面a所成的角都相等，则a截此正方体所得截面面积的最

大值为()

A空B”

2X.4.O•3

C.平D当

(2)(2018•全国卷II)已知圆锥的顶点为S,母线S4,S3所成角的

7

余弦值为g.SA与圆锥底面所成角为45。.若△SA5的面积为5屏,则

该圆锥的侧面积为.

【解析】(1)记该正方体为4BCZ)-A'B'CD',正方体的每

条棱所在直线与平面a所成的角都相等，即共点的三条棱A'A,

4'B',A'D'与平面a所成的角都相等.

如图，连接A夕，AD',B'D',因为三棱锥A'-AVD'

是正三棱锥，所以A'A,A'B',A'D'与平面AB'D'所成的

角都相等.分别取C'D',B'C,BB',AB,AD,DD'的中点

E,F,G,H,I,J,连接EF,FG,GH,IH,IJ,JE,易得E,F,

G,H,I,J六点共面，平面EFGHU与平面AB'D'平行，且截正

方体所得截面的面积最大.又EF=FG=GH=IH=IJ=JE=-^,所

以该正六边形的面积为6X手乂咨产=乎，所以a截此正方体所得

截面面积的最大值为方「，故选A.

(2)如图所示，设S在底面的射影为S',连接AS',SS'.ASAB

的面积为今SA-SB-sinZASB=^-次々1-cos?/ASB=唔.SA2=5y[15,

ASA2=80,SA=4\[5.

丁SA与底面所成的角为45°,NSAS'=45。，AS'=SAcos45。

血

=4y/5X—2^/10-

...底面周长/=2TVAS'=4y[Tdn,

圆锥的侧面积为；X4于X4^/IOTI=406兀

【答案】(1)A(2)40^271

［突破攻略］

(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意

衔接部分的处理.

(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.

某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是(C)

A.2+^5

C.2+2小D.5

解析：还原几何体如图所示，2X2=2,SA

ACD=SAABD=^Xyf^X1=W~,SAABC=^BCAE=5X2X\I3=YI3,所以

表面积为2+2小.

A

D

C

考向二空间几何体的体积

方向1根据三视图求体积

【例2】如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的

是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（）

A.15

-50

【解析】由三视图可得，该几何体是一个以俯视图为底面，高

为5的四棱锥P-AiA尸E,其体积V=1x|x4X4+1x2X2X5=^.

【答案】c

方向2求简单几何体的体积

【例3】（2019•广州调研）已知E,尸分别是棱长为。的正方体

ABCD-A^C^的棱AA，CCi的中点，则四棱锥C.-B.EDF的体积

为.

【解析】解法1:如图所示，连接AC1，8口交于点Q,连

接B】D,EF,过点Ox作OrH.LBiD于点H.

因为E/〃AiG,且AiG。平面BIEDF,EFU平面BIEDF,所以

AiG〃平面BiEDF.

所以Ci到平面BrEDF的距离就是AiG到平面B^EDF的距离.易

知平面平面BiEDF,

又平面BQQA平面BiEDF=BiD,

所以Oi”_L平面BiEDF,

所以OiH等于四棱锥Q-BrEDF的高.

因为ABIOIHSABIDDI,

£斤力c口BQvDDi加

所以QH—BD-6a.

所以VjBiEDF=丁S四边形B1EDF•°l"二?*彳,以,

BiD*OxH=占X•-]2.a•J3a•电a=-^-a3.

3266

解法2：连接£/潭1。.

设网到平面C1EF的距离为E，。到平面CiE尸的距离为

h?，则h1+刀2=为=72a.

由题意得，।四棱锥。「5也。尸=”三棱维8「C'1E歹+I三棱维。-GE/

=y-S^GEF・（％+:2）=yfl3-

【答案】甘

方向3利用体积法求点面距离

【例4】如图，在四棱锥P-A5CD中，底面45CD是矩形，PD

_L底面ABCD,M,N分别为AH尸。的中点，PD=AD=2,AB=4.

则点4到平面PMN的距离为.

题图

【解析】取尸。的中点E,连接AE,NE,因为四棱锥P-A5CD

中，底面A5CD是矩形，M,N分题为AB,尸。的中点，所以NE〃

AM,NE=AM,所以四边形AENM是平行四边形，所以AE〃MN,

所以点4到平面的距离等于点E到平面PMN的距离，设为h,

在△PMN中,PN=聒PM=2小，MN=小,所以S^PMN=^X25X陋

=

y［6,由VE-PMN=VM-PEN，可得1X2X2,所以h=^^~.

【答案】当

［突破攻略］

空间几何体体积问题的常见类型及解题策略

（1）若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体,

则可直接利用公式进行求解.

（2）若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转

换法、分割法、补形法等方法进行求解.

（3）若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何

体的直观图，然后根据条件求解.

1.（方向1）（2019•洛阳市第一次统考）某几何体的三视图如图所示,

则该几何体的体积是（B）

3川5

正视图侧视图

口

俯视图

15兀

A.^rB.8TI

2D.9兀

解析：依题意，题中的几何体是由两个完全相同的圆柱各自用一

个不平行于其轴的平面去截后所得的部分拼接而成的组合体（各自截

后所得的部分也完全相同），其中一个截后所得的部分的底面半径为1,

最短母线长为3、最长母线长为5,将这两个截后所得的部分拼接，

恰好可以形成一个底面半径为1,母线长为5+3=8的圆柱，因此题

中的几何体的体积为71X12X8=871,故选B.

2.(方向2)《九章算术》中，将如图所示的几何体称为刍薨，底

面ABCD为矩形,且E/〃底面ABCD,EF到平面ABCD的距离为h,

BC=a,AB=b,EF=c,则^^=2时，-=(A)

VE-ABDC

3

A.1B，2

21

C.gD，2

解析：由题意可得：VE-ABD=VF-BCD=^b-h=~7abh,DFC=~,

3乙OVB-DEFC

==

所以VB.DEF^cich,VB.CDEFVg-c£>F=d（c+b）ah,一

b

=2,所以c=b,­=1.

3.（方向3）（2019•昆明市调研测试）在长方体A5Q>AiSG。中，

AB=AD=2,AA,=1,则点5到平面AAC的距离等于（B）

A.乎B当

C.1D.小

解析：如图，连接BQ,易知DiD就是三棱锥D1-ABC的高，ADX

=CDi=小,取AC的中点O,连接则。]O_LAC,所以。。=

\IADI-AO2=Y[3.

设点6到平面，AC的距离为h,

则由^B-DtAC~,即于&='y^A/lBC,。1〃，又

5△0"=飙。•"=；x"x2互=瓜SMC=。

•BC=yx2x2=2,所以我=乎故选B.

考向三球的接、切问题

【例5】（2019•成都诊断性检测）在三棱锥P-A5C中，已知B4

，底面A5C,ZBAC=60°,B4=2,AB=AC=y[3,若该三棱锥的顶

点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）

44兀c8yh71

AqB.-~

C.871D.1271

【解析】易知△A5C是等边三角形.

如图，作OMJ■平面A5C,其中"为△A5C的中心，且点O满

足OM=；B4=1,则点O为三棱锥尸-A5C外接球的球心.于是，该

外接球的半径R=OA=\IAM2+OM2=Ay（半x/X,>+y=也.故

该球的表面积5=4几尺2=8兀，故选c

p

【答案】c

［突破攻略］

立体几何中球的接、切问题

常用的解题策略有：①通过构造特殊几何体，巧妙分析；②通过

解直角三角形，巧妙分析；③借助直角三角形的斜边中点到各顶点的

距离相等，巧妙分析；④借助几何体的底面多边形的外接圆，巧妙分

析.

（1）如图，正方形网格的边长为1,粗实线表示的是某几何体的三

视图，该几何体的顶点都在球0的球面上，则球。的表面积为（C）

A.15KB.1671C.17TID.18TI

（2）（2019•西安八校联考）在平行四边形中，ZABD=90°,

且A5=l,BD=j,若将其沿5。折起使平面平面5cD,则

三棱锥A4DC的外接球的表面积为（D）

A.2九B.8兀

C.1671D.4兀

解析：（1）根据三视图可知该几何体为一个三棱锥，记为S-A5C,

将该三棱锥放入长方体中如图所示，则该三棱锥的外接球直径为长方

体的体对角线，设球0的半径为H,所以（2尺）2=22+22+32=17,R2

17

=了，所以球。的表面积471H2=17兀.

（2）画出对应的平面图形和立体图形，如图所示.

在立体图形中，设4。的中点为0,连接05,0D,因为平面A5Q

，平面BCD,CD-LBD,所以CZ）-L平面A5。，又ABLBD,所以A5

_L平面BCD,所以△CD4与△CR4都是以AC为斜边的直角三角形,

所以0A=0C=0B=0D,所以点0为三棱锥A-BDC的外接球的球

于是，外接球的半径厂=%。=表/CD?+DA?心+（小丫=i.

故外接球的表面积5=4兀/=4兀故选D.

4

段/此，林淮镰漪

伟兴©

第三节（）空间点、直线、平面之间的位置关系

2019考纲考情

考纲要求考情分析

1.理解空间直线、平面位置关系的定义.

1.与点、线、面的位置关系有关命题真假的辨别及异面

了解可以作为推理依据的公理和定理.

2.直线所成的角是高考考查的重点.

3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位

2.题型主要以选择题、填空题的形式出现.解题要求有

置关系的简单命题.

较强的空间想象能力和推理论证能力.

^ZHISHISHULIZIZHUXUEXI

知祖赫理•自主学习01课前热身稳固根基

----------［感知•自测）一一———

知识点一平面的基本性质

1.公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直

线在此平面内.

2.公理2：过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.

3.公理3：如果两个不重合的平面有二仝公共点，那么它们有

且只有一条过该点的公共直线.

4.公理2的三个推论

推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；

推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；

推论3：经过两条壬后直线有且只有一个平面.

《对点快练

1.判断正误

(1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分.(X)

(2)两个平面a,夕有一个公共点A,就说a,4相交于4点，记

作aA夕=A.(X)

(3)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.(V)

(4)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.(X)

2.以下四个命题中，正确命题的个数是(B)

①不共面的四点中，其中任意三点不共线；

②若点A,B,C,。共面，点A,B,C,E共面，则A,B,C,

D,E共面；

③若直线a,8共面，直线a,c共面，则直线4c共面；

④依次首尾相接的四条线段必共面.

A.0B.1

C.2D.3

解析：①显然是正确的，可用反证法证明；②中若A,B,C三

点共线，则A,B,C,D,E五点不一定共面；③构造长方体或正方

体，如图显然久c异面，故不正确；④中空间四边形中四条线段不

共面.故正确的个数是1.

3.如图，aC0=l,A、BUa,C/且。9/,直线

过4,B,。三点的平面记作力则y与£的交线必通过(D)

A.点4B.点B

C.点。但不过点MD.点。和点M

解析：VABCy,M^AB,

又aAQ=/,MGl,/.Me/7.

根据公理3可知，V在v与4的交线上.

同理可知，点。也在y与£的交线上.

知识点二直线与直线的位置关系

1.空间中两直线的位置关系

(1)两直线位置关系的分类

共面直线［上立

I相交

异面直线:不同在幽一个平面内

(2)公理4和等角定理

①公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

②等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两

个角相等或互补.

2.异面直线所成的角

⑴定义：设a,8是两条异面直线，经过空间中任一点0作直线

a'//a,b'//b,把a'与b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线a

与8所成的角（或夹角）.

（2）范围：[0,.

A对点快练

4.已知直线a和平面a,B，aCB=l,a<la,a耶,且a在a,口

内的射影分别为直线。和c,则直线。和c的位置关系是（D）

A.相交或平行B.相交或异面

C.平行或异面D.相交、平行或异面

解析：依题意，直线8和c的位置关系可能是相交、平行或异面.

5.在正方体A5CO-A出iGB中，M,N分别为48，的中

点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值为（D）

A,3B,3C5D5

解析：如图，取AB的中点E,连接耳石，则AA/〃SE.取项的

中点F,连接FN,则B/〃FN,因此AM//FN,连接CF,则直线

FN与CN所夹锐角或直角为异面直线AV与CN所成的角夕设A5=l,

、行\[5A/17

在△。尸N中，CN=M，FN=*,=北一.由余弦定理得COS8=|COS

Qf+Flf—C产2

ZCNF\==§.故选

2CN-FND.

G

6.下列命题中不正确的是①②.(填序号)

①没有公共点的两条直线是异面直线；

②分别和两条异面直线都相交的两直线异面；

③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不

可能平行；

④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面.

解析：没有公共点的两直线平行或异面，故①错；如果与两异面

直线中一条交于一点，则两直线相交，故命题②错；命题③，设两条

异面直线为a,b,c//a,若c〃6，则a〃b,这与a,Z?异面矛盾，故

C,〃不可能平行，③正确；命题④正确，若C与两异面直线。，〃都

相交，a,c可确定一个平面，b,c也可确定一个平面，这样a,b,c

共确定两个平面.

-----------［感知•延伸｝一一…——

1.空间中两个角的两边分别对应平行，则两个角相等或互补.

2.异面直线的判定：经过平面内一点的直线与平面内不经过该

点的直线互为异面直线.

3.唯一性的几个结论：

(1)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.

(2)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.

(3)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.

»KETANGTANJIUSHENDUPOUXI

课堂探究•深度剖析02课堂升华强技提能

考向一平面的基本性质

［例1］已知在正方体中，E,尸分别为AG，

G5的中点，ACnBD=P,AGAE尸=0.

求证：(1)。，B,F,E四点共面；

(2)若AC交平面。瓦之于H点，则尸，Q,H三点共线；

(3)DE,BF,CG三线交于一点.

【证明】(1)连接。出1,如图所示.

因为E尸是△。向G的中位线，所以E/〃.在正方体4G中，

BD〃BD,所以E尸〃5。，所以EF,5。确定一个平面，即，B,

F,右四点共面.

(2)在正方体ACi中，设AQG确定的平面为％又设平面BDEF

为仪因为0£41。1,所以。£8又°£石尸，所以。所以。是a与

用的公共点，同理，尸是a与4的公共点.所以anp=p。.又ACO夕

=R,所以RGa,且RCQ.则RUPQ,故尸，Q,H三点共

线.

(3Y：EF//BD且EF<BD,

...DE与5尸相交，设交点为

则由"£。石，DEU平面。QCG,

得平面DiDCCi，同理，点平面S5CG.又平面DiDCQn

平面BiBCg=CCi,，MGCCi.

：.DE,BF,CCi三线交于点、M.

［突破攻略］

1.证明不共线的四点共面，即证由这四点组成的两条直线平行或

相交.或由三点确定一个平面，再证明第4个点在该平面上.

2.证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直线上,

也就是利用公理3,证明点在两个平面的交线上，或者选择其中两点

确定一条直线，然后证明另一点也在该直线上.

(1)如图是正方体或四面体，P,Q,R,S分别是所在棱的中点,

则这四个点不共面的一个图是(D)

解析：A,B,C图中四点一定共面，D中四点不共面.

(2)如图，在四边形A5CD中，已知A5〃CD,直线ABBC,AD,

。。分别与平面a相交于点E,G,H,F,求证：E,F,G,"四点

必定共线.

A

B7D

证明：因为A5〃CQ,所以A5,CO确定一个平面口.

又因为ABna=E,ABU3所以E£a,E^/3,即E为平面a与

B的一个公共点.

同理可证/，G,“均为平面a与夕的公共点，因为若两个平面

有公共点，那么它们有且只有一条通过公共点的公共直线，所以E,

F,G,”四点必定共线.

考向二空间两条直线的位置关系

【例2】（1）（2019•益阳、湘潭调研考试）下图中，G,N,M,H

分别是正三棱柱（两底面为正三角形的直棱柱）的顶点或所在棱的中

点，则表示直线GH,是异面直线的图形有（）

A.①③B.②③

C.②④D.②③④

（2）已知a,b,c为三条不同的直线，且aU平面a,8U平面夕,

aCQ=c,给出下列结论：

①若。与。是异面直线，则c至少与a,。中的一条相交;

②若。不垂直于c,则。与》一定不垂直；

③若a〃乩则必有a〃

其中正确的结论是.(填序号)

【解析】(1)由题意，可知题图①中，GH/