专题12空间向量与立体几何压轴大题（十二大题型）（原卷版）

专题12空间向量与立体几何压轴大题线面平行、面面平行的判定定理1．（山东省济宁市泗水县20222023学年高三上学期期中）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点．求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1平面BCHG.2．（2022秋·江苏南通·高三统考期中）如图，在多面体中，四边形是菱形，，，，平面，，，是的中点．(1)求证：平面平面；(2)求直线与平面所成的角的正弦值．3．（2022秋·江苏徐州·高三统考期中）如图,在四棱锥P－ABCD中,四边形ABCD是菱形,PA=PC,E为PB的中点．求证:(1)平面AEC;(2)平面AEC⊥平面PBD．4．（2022秋·福建福州·高三校联考期中）如图所示，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，已知，，.(1)求证：平面；(2)连接，求多面体的体积.补全平行的条件5．（湖南省衡阳市第一中学20222023学年高三上学期期中数学试题）如图所示，在四棱锥中，平面，，E是PD的中点.

(1)求证：；(2)求证：平面；(3)若M是线段上一动点，则线段上是否存在点N，使平面？说明理由.6．（广东省梅州市大埔县虎山中学20222023学年高三上学期期中）如图，已知多面体EABCDF的底面ABCD是边长为2的正方形，，，且.

(1)记线段的中点为，在平面内过点作一条直线与平面平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明；(2)求直线与平面所成角的正弦值.7．（2022秋·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第二高级中学校考期中）如图，在矩形中，点在边上，且满足，将沿向上翻折，使点到点的位置，构成四棱锥.(1)若点在线段上，且平面，试确定点的位置；(2)若，求锐二面角的大小.8．（2022秋·辽宁·高三校联考期中）如图：在正方体中，M为的中点.

(1)求证：平面；(2)在线段上是否存在一点N，使得平面平面，说明理由.线面平行、面面平行的性质定理9．（福建省福州华侨中学等多校2023届高三上学期期中）已知四棱锥，底面为菱形平面，为上一点.(1)平面平面，证明：；(2)当二面角的余弦值为时，试确定点的位置.10．（山东省济南市章丘区第四中学20222023学年高三上学期期中）已知四棱锥，底面为菱形，平面，，，为上一点．

(1)平面平面，证明：．(2)当直线与平面的夹角为时，求三棱锥的体积．11．（河北省石家庄市部分学校2023届高三上学期期中）如图，在四棱锥中，平面，且四边形是正方形，，，分别是棱，，的中点．

(1)求证：平面；(2)若，求点到平面的距离.12．（安徽省合肥市肥东县综合高中20222023学年高三上学期11月期中）如图，在四棱柱中，底面为梯形，，平面与交于点．求证：．线面垂直、面面垂直的判定定理13．（2022秋·江苏南通·高三统考期中）如图所示，直三棱柱中，，，.

(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值.14．（2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期中）如图，在四棱柱中，底面，底面满足，且，.

(1)求证：平面；(2)求四棱锥的体积.15．（福建省泉州市晋江二中、鹏峰中学、广海中学、泉港五中2023届高三上学期10月期中）在如图所示的几何体中，，平面，，，，.(1)证明：平面；(2)过点作一平行于平面的截面，画出该截面（不用说明理由），并求夹在该截面与平面之间的几何体的体积.16．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中期中考试）如图，正方形ABCD中，点E，F分别为AB，BC的中点．将，，分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点P．

(1)求证：平面PEF；(2)若，且K为PD的中点，求三棱锥的体积．17．（湖南省长沙市长郡中学2023届高三上学期期中）在三棱台中，为中点，，，.(1)求证：平面；(2)若，，平面与平面所成二面角大小为，求三棱锥的体积.18．（2022秋·山东青岛·高三山东省青岛第一中学校考期中）如图，直四棱柱的底面为菱形，且，，E，F分别为BC，的中点．

(1)证明：平面平面．(2)求平面和平面的夹角的余弦值．补全垂直的条件19．（2022秋·河北沧州·高三任丘市第一中学校考期中）如图，在五面体中，平面ABC，，，.

(1)问：在线段CD上是否存在点P，使得平面ACD?若存在，请指出点P的位置，并证明；若不存在，请说明理由.(2)若，，，求平面ECD与平面ABC夹角的余弦值.20．（江苏省盐城市四校2023届高三上学期期中）如图，在直三棱柱中，，．(1)试在平面内确定一点H，使得平面，并写出证明过程；(2)若平面与底面所成的锐二面角为60°，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．21．（重庆市长寿中学校2023届高三上学期期中数学）如图，四边形是菱形，，平面，，，设，连接，交于点，连接，.(1)试问是否存在实数，使得平面?若存在，请求出的值，并写出求解过程；若不存在，请说明理由.(2)当时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.22．（海南省文昌中学2023届高三上学期期中）如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，，与相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点．又．(1)求异面直线与所成角的余弦值；(2)求二面角的大小；(3)设点M在棱上，且，问为何值时，平面．线面垂直、面面垂直的性质定理23．（广东省广州市南沙区东涌中学2023届高三上学期期中数学试题）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为的正三角形，平面平面，．

(1)求证：平行四边形为矩形；(2)若为侧棱的中点，且平面与平面所成角的余弦值为，求点到平面的距离．24．（2022秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考期中）如图，四棱锥的底面是菱形，平面底面，，分别是，的中点，，，.

(1)求证：平面；(2)求证：；(3)求四棱锥的体积.25．（2022秋·黑龙江大庆·统考二模）如图所示，在正四棱锥中，底面ABCD的中心为O，PD边上的垂线BE交线段PO于点F，．

(1)证明：//平面PBC；(2)求二面角的余弦值．26．（2022·浙江宁波·高三统考）如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为菱形，．

(1)若四棱锥的体积为1，求的长；(2)求平面与平面所成二面角的正弦值．27．（2022秋·重庆·高三西南大学附中校考期中）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为A1B上一点，平面．

(1)求证：；(2)若，，P为AC的中点，求二面角的余弦值．利用空间向量证明平行，垂直28．（2022秋·广东潮州·高三上学期期中）如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：//平面AEC(2)设三棱锥的体积是，，求平面DAE与AEC的夹角．29．（广东省深圳市南山区北京师范大学南山附属学校2023届高三上学期期中）如图，且，，且，且，平面，.

(1)若为的中点，为的中点，求证：平面；(2)求二面角的正弦值；(3)若点在线段上，且直线与平面所成的角为，求点到平面的距离.30．（安徽省滁州市定远县民族中学20222023学年高三上学期11月期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，，分别是，的中点．

(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值．31．（江苏省常州市横林高级中学20222023学年高三上学期期中）如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，分别是的中点，.

(1)证明：.(2)求平面与平面的夹角的余弦值.32．（山西省运城市2023届高三上学期期中）如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的正方形，，，分别是，的中点．

(1)求证：平面；(2)求二面角的大小；求空间角33．（江苏省淮安市高中校协作体20222023学年高三上学期期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，，，底面ABCD，，点E在棱PD上，且

(1)证明：平面平面ACE；(2)求平面PAC与平面ACE所成角的余弦值．34．（湖北省十一校2023届高三上学期期中）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，，.

(1)证明：平面平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值.35．（2022秋·河北邢台·高三统考期中）如图，在正三棱柱中，分别是，，的中点，，的边长为2．

(1)求证：：平面；(2)若三棱柱的高为1，求二面角的正弦值．36．（辽宁省重点高中沈阳市郊联体20222023学年高三上学期期中考试）如图，在四棱锥中，分别为的中点，连接.

(1)当为上不与点重合的一点时，证明：平面；(2)已知分别为的中点，是边长为的正三角形，四边形是面积为的矩形，当时，求与平面所成角的正弦值.37．（湖北省襄阳市部分学校20222023学年高三上学期期中）如图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，.(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面所成二面角的余弦值.38．（2022秋·山东青岛·高三统考期中）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，.

(1)求证：平面；(2)若，求与所成角的余弦值.已知夹角求其他量39．（江苏省苏州市昆山中学2023届高三上学期期中）如图，在三棱锥中，底面，.点、、分别为棱、、的中点，是线段的中点，，.

(1)求证：平面；(2)已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长．40．（2022秋·福建厦门·高三厦门一中校考期中）已知正方体，点为中点，直线交平面于点.

(1)证明：点为的中点；(2)若点为棱上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值.41．（2022秋·河北沧州·高三统考期末）在三棱柱中，平面平面，侧面为菱形，，，，E是AC的中点.

(1)求证：平面(2)确定在线段上是否存在一点P，使得AP与平面所成角为，若存在，求出的值;若不存，说明理由.42．（山西大学附属中学校20222023学年高三上学期11月期中）如图，四棱锥的底面为正方形，，平面，分别是线段的中点，是线段上的一点.

(1)求证：平面平面；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，且点不是线段的中点，求三棱锥体积.43．（2022秋·山东青岛·高三统考期中）如图，四棱锥中，底面ABCD为正方形，为等边三角形，面底面ABCD，E为AD的中点.

(1)求证：；(2)在线段BD上存在一点F，使直线AP与平面PEF所成角的正弦值为.①确定点F的位置；②求点C到平面PEF的距离.44．（福建省石狮市永宁中学2023届高三上学期期中）如图1所示，在四边形中，，为上一点，，，将四边形沿折起，使得，得到如图2所示的四棱锥．

(1)若平面平面，证明：；(2)点是棱上一动点，且直线与平面所成角的正弦值为，求．求异面直线，点到面或者面到面的距离45．（2022秋·福建宁德·高三统考期中）如图，已知菱形和矩形所在的平面互相垂直，，.

(1)求直线与平面的夹角；(2)求点到平面的距离.46．（山东省青岛市青岛第十九中学20222023学年高三上学期期中）如图，在四面体中，．点为棱上的点，且，三棱锥的体积为．

(1)求点A到平面的距离；(2)求平面与平面夹角的余弦值．47．（辽宁省朝阳市建平县20222023学年高三上学期期中）如图，四边形是边长为2的菱形，，四边形为矩形，，从下列三个条件中任选一个作为已知条件，并解答问题（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）.①与平面所成角相等；②三棱锥体积为；③

(1)平面平面；(2)求二面角的大小；(3)求点到平面的距离.48．（2022秋·山东淄博·高三统考期中）三棱锥中，，，.记中点为，中点为（1）求异面直线与的距离；（2）求二面角的余弦值.49．（安徽省合肥市肥东县综合高中2023届高三上学期期中）如图所示，在四棱锥中，侧面是正三角形，且与底面垂直，平面，，是棱上的动点.

(1)当是棱的中点时，求证：平面；(2)若，，求点到平面距离的范围.求点到线的距离50．（辽宁省沈阳市东北育才学校科学高中部20222023学年高三上学期期中）三棱台中，平面，，且，，是的中点．

(1)求三角形重心到直线的距离；(2)求二面角的余弦值．51．（2022秋·江苏盐城·盐城中学上学期期中）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，点为弧的中点，且，，，四点共面.

(1)证明：平面平面；(2)若平面与平面所成二面角的余弦值为，且线段长度为2，求点到直线的距离.52．（河北省沧衡八校联盟20222023学年高三上学期11月期中）如图1，在等腰梯形中，，沿将折成，如图2所示，连接，得到四棱锥.(1)若平面平面，求证：；(2)若点是的中点，求点到直线的距离的取值范围.53．（2022秋·河北保定·高三河北省唐县第一中学校联考期中）如图，在三棱锥中，底面，．点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，．(1)求证：平面；(2)求点到直线的距离；(3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的值，若不存在，说明理由．点的存在性问题54．（山东省大教育联盟学校20222023学年高三上学期期中）图①是直角梯形，，，四边形是边长为的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且.

(1)求证：平面平面；(2)在棱上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出直线与平面所成角的正弦值；若不存在，请说明理由.55．（2022秋·黑龙江佳木斯·高三佳木斯一中校考期中）如图，如图1，在直角梯形中，．把沿对角线折起到的位置，如图2所示，使得点P在平面上的正投影H恰好落在线段上，连接，点E，F分别为线段，的中点．

(1)求证：平面//平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)在棱上是否存在一点M，使得M到点四点的距离相等？请说明理由．56．（广东省广州市白云中学2023届高三上学期期中）如图所示，在直三棱柱中，，，点、分别为棱、的中点，点是线段上的点（不包括两个端点）.

(1)设平面与平面相交于直线，求证：；(2)是否存在一点，使得二面角的余弦值为，如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由；(3)当为线段的中点时，求点到平面的距离．57．（2022秋·浙江绍兴·高三绍兴一中期中考试）在底面ABCD为梯形的多面体中.，BC⊥CD，，∠CBD＝45°，BC＝AE＝DE，且四边形BDEN为矩形．

(1)求证：BD⊥AE；(2)线段EN上是否存在点Q，使得直线BE与平面QAD所成的角为60°？若不存在，请说明理由．若存在，确定点Q的位置并加以证明．58．（安徽省卓越县中联盟20222023学年高三上学期期中）如图，菱形的边长为，，将沿向上翻折，得到如图所示得三棱锥.

(1)证明：；(2)若，在线段上是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出；若不存在，请说明理由.59．（2022秋·广东深圳·高三深圳中学上学期期中）如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面．

(1)证明：平面；(2)若，，在线段上（不含端点），是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．1．（河北省保定市重点高中20222023学年高三上学期11月期中）在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面平面，，.

(1)证明：平面平面；(2)若E为PC的中点，异面直线BE与PA所成角为，求四棱锥的体积.2．（2022秋·江苏南京·高三南京师大附中校考期中）如图，在四棱锥中，，，是等边三角形，，，.(1)求的长度；(2)求直线与平面所成的角的正弦值.3．（海南省海口嘉勋高级中学2023届高三上学期11月期中）如图所示，圆锥的高，底面圆O的半径为1，延长直径AB到点C，使得BC＝1，分别过点A，C作底面圆O的切线，两切线相交于点E，点D是切线CE与圆O的切点.

(1)证明：平面PDE⊥平面POD；(2)点E到平面PAD的距离为d1，求d1的值.4．（江苏省淮安市涟水县第一中学2023届高三上学期期中）如图，在中，，，，E为AB中点，过点E作ED垂直AC于D，将沿ED翻折，使得面面，点M是棱AC上一点，且面．

(1)求的值；(2)求二面角的余弦值．5．（福建省厦门第一中学20222023学年高三上学期期中考试）如图，在三棱柱中，已知平面，且.

(1)求的长；(2)若为线段的中点，求二面角的余弦值.6．（江苏省南京市金陵中学20222023学年高三上学期期中）如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，BC＝2，∠DAB＝60°，点E，F在以AD为直径的半