专题研究二数列的综合应用（原卷版）

专题研究二数列的综合应用编写：廖云波题型一等差、等比的综合应用【例11】已知集合，，将中所有元素按从小到大的顺序排列构成数列，设数列的前n项和为．（1）若，求m的值；（2）求的值．归纳总结：【练习11】已知等差数列公差分别为，(1)求数列的通项公式；(2)求中既在数列中，又在数列中的所有数之和.题型二数列与不等式【例21】已知首项为1的数列的前n项和为，且，数列的前n项和为，若，且，则___________.【例22】已知数列的前n项和为，且，.（1）求的通项公式；（2）设若，恒成立，求实数的取值范围.归纳总结：题型三放缩法求数列和的范围【例31】正项数列的前n项和为，，，则______．其中表示不超过x的最大整数．【例32】已知数列的前项和为，且满足，(1)求和(2)求证：．归纳总结：【练习31】已知正项数列的前项和为，满足．(1)求数列的前项和；(2)记，证明：．题型四数列与函数【例41】已知函数.证明：(1)当，不等式恒成立；(2)对于任意正整数，不等式恒成立（其中为自然常数）归纳总结：【练习41】已知函数.（1）证明：时，；（2）证明：.题型五数列的实际应用【例51】小李向银行贷款14760元，并与银行约定：每年还一次款，分4次还清所有的欠款，且每年还款的钱数都相等，贷款的年利率为0.25，则小李每年所要还款的钱数是___________元.【例52】某牧场2022年年初牛的存栏数为1200，计划以后每年存栏数的增长率为20%，且在每年年底卖出100头牛，按照该计划预计______年初的存栏量首次超过8900头.（参考数据：，）归纳总结：【练习51】为了更好地解决就业问题，国家在2020年提出了“地摊经济”为响应国家号召，有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”．老王2020年6月1日向银行借了免息贷款10000元，用于进货.因质优价廉，供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底扣除生活费1000元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2021年5月底该摊主的年所得收入为（

）（取，）A．32500元 B．40000元 C．42500元 D．50000元【请完成课时作业（四十一）】

【课时作业（四十一）】1．一种预防新冠病毒的疫苗计划投产两月后，使成本降64%，那么平均每月应降低成本（

）A．20% B．32% C．40% D．50%2．用分期付款的方式购买一件电器，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元及欠款的利息，月利率为1%，则买这件电器实际花（

）．A．1105元 B．1255元 C．1305元 D．1405元3．形如的数被称为费马数，费马完成了,,,,的验证后，于1640年提出猜想：费马数都是质数，但由于及之后的费马数都实在太大了，费马也未能完成验证及证明.直到1732年才被数学家欧拉算出不是质数，从而宣告了费马数的猜想不成立.现设，若任意，使不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A．(1,+∞) B． C．(,+∞) D．4．正项数列的前n项和为，，则（

）其中表示不超过x的最大整数.A．18 B．17 C．19 D．205．【多选题】在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．初始感染者传染个人为第一轮传染，第一轮被传染的个人每人再传染个人为第二轮传染，…．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，初始感染者为1人，则（

）A．第三轮被传染人数为16人 B．前三轮被传染人数累计为80人C．每一轮被传染的人数组成一个等比数列 D．被传染人数累计达到1000人大约需要35天6．【多选题】已知数列满足，，前n项和为，则（

）A． B． C． D．7．等差数列{an}的公差d≠0满足成等比数列，若=1，Sn是{}的前n项和，则的最小值为．8．已知等差数列满足，且前四项和为28，数列的前项和满足.(1)求数列的通项公式，并判断是否为等比数列；(2)对于集合A，B，定义集合.若，设数列和中的所有项分别构成集合A，B，将集合的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前30项和.9．已知数列中，，.(1)求证：是等比数列，并求的通项公式；(2)若不等式对于恒成立，求实数的最小值.10．已知数列是各项均不为0的等差数列，为其前n项和，且满足，，数列的前n项和为.（1）求数列的通项公式及数列的前n项和.（2）是否存在正整数，使得，，成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值