专题3-9利用导函数研究极值点偏移问题原卷版

专题39利用导函数研究极值点偏移问题目录TOC\o"11"\h\u专题39利用导函数研究极值点偏移问题 1 1题型一：对称化构造 1题型二：比值代换法 13题型三：对数均值不等式法 22 29题型一：对称化构造【典例分析】例题1．（2022·江苏南通·高三期中）已知，其极小值为4.(1)求的值；(2)若关于的方程在上有两个不相等的实数根，，求证：.例题2．（2022·北京市房山区良乡中学高三期中）已知函数(1)求函数单调区间；(2)设函数，若是函数的两个零点，①求的取值范围；②求证：．【提分秘籍】主要用来解决与两个极值点之和，积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：(1)定函数(极值点为)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点．(2)构造函数，即对结论型，构造函数或；(3)对结论型，构造函数，通过研究的单调性获得不等式．(4)判断单调性，即利用导数讨论的单调性．(5)比较大小，即判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系．(6)转化，即利用函数的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关系，进而得到所证或所求．【变式演练】1．（2022·福建·厦门外国语学校高二期末）已知函数(1)若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围；(2)设是两个不相等的实数，且．求证：2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.(1)求的极值.(2)若，，证明：.3．（2022·河北·开滦第二中学高二期末）设函数．（1）当有极值时，若存在，使得成立，求实数的取值范围；（2）当时，若在定义域内存在两实数满足且，证明：．4．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知函数（且）.(1)若函数的最小值为2，求的值；(2)在（1）的条件下，若关于的方程有两个不同的实数根，且，求证：.题型二：比值代换法【典例分析】例题1．（2022·全国·高二期末）已知函数.(1)讨论的单调性.(2)若函数有两个零点，且，证明：.例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.(1)设函数，且恒成立，求实数的取值范围；(2)求证：；(3)设函数的两个零点、，求证：.【提分秘籍】比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解．【变式演练】1．（2022·四川成都·高三期中（文））已知函数有两个零点，.（1）求a的取值范围；（2）求证：.2．（2022·全国·高三专题练习）设函数.（1）若，求的单调区间；（2）若存在三个极值点，，，且，求k的取值范围，并证明：.3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，且是函数的导函数，(1)求函数的极值；(2)当时，若方程有两个不等实根．（ⅰ）证明：；（ⅱ）证明：．题型三：对数均值不等式法【典例分析】例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数（为的导函数）.(1)讨论单调性；(2)设是的两个极值点，证明：.例题2．（2022·黑龙江·牡丹江市第二高级中学高三阶段练习）已知函数．(1)若在上单调递减，求实数的取值范围．(2)若是方程的两个不相等的实数根，证明：．【提分秘籍】两个正数和的对数平均定义：对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：（此式记为对数平均不等式）取等条件：当且仅当时，等号成立．【变式演练】1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝lnx﹣ax，a为常数．（1）若函数f(x)在x＝1处的切线与x轴平行，求a的值；（2）当a＝1时，试比较f（m）与f（）的大小；（3）若函数f(x)有两个零点x1、x2，试证明x1x2＞e2．2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数存在两个零点，.（1）求的取值范围；（2）证明：.一、单选题1．（2022·吉林长春·模拟预测）已知a，b满足，，其中e是自然对数的底数，则ab的值为（

）A． B． C． D．2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，对于正实数a，若关于t的方程恰有三个不同的正实数根，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2021·河南·郑州外国语中学高三阶段练习（理））关于函数，下列说法错误的是（

）A．是的极小值点B．函数有且只有个零点C．存在正实数，使得恒成立D．对任意两个正实数，，且，若，则4．（2021·江西·鹰潭一中高三阶段练习（文））关于函数，下列说法正确的是（

）A．是的极大值点B．函数有2个零点C．存在正整数k，使得恒成立D．对任意两个正实数，且，若，则二、多选题5．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期中）已知函数则下列结论正确的有（

）A．当时，是的极值点B．当时，恒成立C．当时，有2个零点D．若是关于x的方程的2个不等实数根，则6．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．若恒成立，则B．当时，的零点只有个C．若函数有两个不同的零点，则D．当时，若不等式恒成立，则正数的取值范围是7．（2022·全国·高二专题练习）已知函数，则（

）A．B．若有两个不相等的实根、，则C．D．若，x，y均为正数，则三、解答题8．（2022·湖南·长沙市同升湖高级中学高三阶段练习）已知函数.(1)证明：.(2)若函数，若存在使，证明：.9．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.(1)求的单调区间(2)若的极值点为，且，证明：.10．（2022·江苏常州·高三期中）已知函数，，．(1)若在x＝0处的切线与在x＝1处的切线相同，求实数a的值；(2)令，直线y＝m与函数的图象有两个不同的交点，交点横坐标分别为，，证明：．11．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知函数．(1)若时，，求的取值范围；(2)当时，方程有两个不相等的实数根，证明：．12．（2022·贵州六盘水·高二期末（理））已