专题05对数与对数函数（重难点突破）-2021年秋季高一数学上学期讲义（人教A版）

专题05对数与对数函数一、考情分析二、考点梳理重难点一对数的概念如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.重难点二对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).(2)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④logamMn＝eq\f(n,m)logaM(m，n∈R，且m≠0).(3)换底公式：logbN＝eq\f(logaN,logab)(a，b均大于零且不等于1).重难点三对数函数及其性质(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).

(2)对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数三、题型突破重难点1对数与对数式的化简求值如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．例1．（1）（2021·长丰县凤麟中学高二期中（文））等于（）A． B． C．4 D．5【答案】C【分析】根据对数运算与指数幂运算即可得出结果．【详解】故选：C（2）．（2021·全国高一专题练习）下列等式成立的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据对数的运算法则逐一判断可得选项.【详解】对于A：，故A不正确；对于B：，故B不正确；对于C：∵,∴，故C正确，对于D：，故D不正确，故选：C.（3）．（2021·北京一七一中高三月考）___________.【答案】【分析】利用对数的运算性质即可求解.【详解】，故答案为：.【变式训练11】．（2017·全国高一单元测试）已知10m＝2，10n＝4，则的值为()A.2 B. C. D.2【答案】B【解析】＝＝＝＝.答案：B【变式训练12】．（2013·全国高一课时练习）已知，则的值为（）A． B．4 C．1 D．4或1【答案】B【解析】因为，所以，，,解得=1（舍去），=4，故选B.【变式训练13】．（2021·新疆五家渠市兵团二中金科实验中学高一开学考试）计算：___________.【答案】【分析】结合对数的运算法则以及换底公式计算即可求出结果.【详解】，故答案为：.例2．（2021·海南省白沙黎族自治县白沙中学高一期中）计算下列各式的值：（1）；（2）lg500＋lg－lg64＋50(lg2＋lg5)2．【答案】（1）；（2）52.【分析】（1）直接利用指数幂的运算性质即可求解；（2）利用对数的运算性质即可求解.【详解】（1）.（2）=52.【变式训练21】．（2019·罗平县第二中学高一期中）计算：（1）.（2）【答案】（1）20

（2）2【分析】根据指数运算公式以及对数运算公式即可求解。【详解】（1）=（2）=【点睛】本题考查指数与对数的运算，以及计算能力，（1）根据指数幂的运算法则求解即可。（2）根据对数运算的性质求解即可，属于基础题。重难点2对数函数的图像与性质例3．（1）．（2021·陕西商洛市·镇安中学高一期中）已知函数的图象如下图所示，函数的图象与的图象关于直线对称，则函数的解析式为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据图象求得的解析式，再根据关于直线对称的函数互为反函数求解即可【详解】由图象可得，，故，又函数的图象与的图象关于直线对称，故与互为反函数，故故选：C【点睛】本题主要考查了根据图象求对数函数的解析式、对数函数的反函数等，属于基础题（2）．下列函数中，其图象与函数的图象关于直线对称的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设所求函数图象上任一点的坐标为，则其关于直线的对称点的坐标为，由对称性知点在函数的图象上，所以，故选B．（3）．函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a>1，b<0 B．a>1，b>0C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0【答案】D【解析】由于f(x)的图象单调递减，所以0<a<1，又0<f(0)<1，所以0<a－b<1＝a0，即－b>0，b<0，故选D.（4）．当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为()ABCD【答案】C【解析】∵a>1，∴0<eq\f(1,a)<1，∴y＝a－x是减函数，y＝logax是增函数，故选C.【变式训练31】．（2021·浙江省诸暨市第二高级中学高二期中）函数的定义域为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据具体函数的定义域的求法，得到，解不等式组即可求出结果.【详解】由题意可得，解得，故函数的定义域为，故选：B.【变式训练32】．（2020·云南昭通市·）若函数是幂函数，则函数(其中且)的图象过定点（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据是幂函数求得，由此求得所过定点.【详解】∵是幂函数，∴，，∴过定点.故选：A【变式训练33】．（2022·全国）在同一平面直角坐标系中，函数f(x)=xa(x>0)，g(x)=logax的图象可能是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】结合对数函数和幂函数的图像和性质，分成0<a<1和a>1时两种情况，讨论函数y=xa(x>0)与y=logax的图像，对照后可得答案.【详解】由于本题中函数为y=xa(x>0)与y=logax.对于选项A，没有经过（1,1）的图像，故没有幂函数的图像.故A错误;对于选项B，由过（1,0）的图像为对数函数的图像得：0<a<1，由y=xa(x>0)的图象知a>1，矛盾.故B错误;对于选项C，由y=xa(x>0)的图象知0<a<1，而由y=logax的图象知a>1，矛盾.故C错误;对于选项D，由y=xa(x>0)的图象知0<a<1，而由y=logax的图象知0<a<1，故选D.故选：D【变式训练34】．（2021·江苏高一课时练习）已知函数，则的大致图象为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意，利用排除法分析，先计算的值，排除，再比较与的值，结合函数单调性的定义排除，即可得答案．【详解】解：根据题意，，所以，在区间上，在轴下方有图象，排除，又，而，有，不会是增函数，排除，故选：．重难点3对数函数的单调性与最值（比较大小）例4．（1）函数的单调递增区间是()A．B．C．D．【答案】D【解析】由，得或，设，则，关于单调递减，，关于单调递增，由对数函数的性质，可知单调递增，所以根据同增异减，可知单调递增区间为．选D．（2）．（2021·沙坪坝区·重庆八中高三开学考试）函数的单调递增区间是______．【答案】【分析】根据复合函数单调性的性质，结合对数函数的性质进行求解即可.【详解】由得．设（），则在区间上单调递增，在区间上单调递减．又在上单调递增，所以函数的单调递增区间是．故答案为：（3）．（2021·全国高一课前预习）已知，，，则（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据指数函数、对数函数的性质，结合中间量法可得答案；【详解】解：因为，，所以，，，所以，故选：A.【变式训练41】．设，则()A．B．C．D．【答案】D【解析】，由下图可知D正确．【变式训练42】、设，，则（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由得，由得，所以，所以，得．又，，所以，所以．故选B．【变式训练43】、已知，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意，可知，，，所以最大，，都小于1，因为，，而，所以，即，所以，故选A．【变式训练44】、（2021·上海高一专题练习）函数的单调减区间是_____．【答案】【分析】根据同增异减原理，由外函数为减函数，只要求得内函数的递增区间且满足定义域即可得解.【详解】函数的单调减区间，即，在的条件下，函数的增区间．利用二次函数的性质可得，在的条件下，函数的增区间为，故答案为：．【变式训练45】、（2021·广西柳州市·高三开学考试（文））若，，，则a，b，c的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据指数函数的单调性判断大小，再由与大小关系，即可得到答案.【详解】因为为R上的减函数，所以，即，又，.故选：D重难点4对数型复合函数的应用例5．（2017·山东滕州市第一中学新校高一课时练习）函数在上是减函数，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以在上是减函数，又因为在上是减函数，所以是增函数，所以；又因为对数的真数大于零，则，所以；则.故选：C.【变式训练51】．（1）判断f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x2－2x的单调性，并求其值域．（2）已知y＝loga(2－ax)是[0,1]上的减函数，则a的取值范围为()A．(0,1) B．(1,2)C．(0,2) D．[2，＋∞)(3)函数f(x)＝logeq\f(1,2)(x2＋2x＋3)的值域是________．【解析】（1）令u＝x2－2x，则原函数变为y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))u.∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))u在(－∞，＋∞)上递减，∴y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x2－2x在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))u，u∈[－1，＋∞)，∴0<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))u≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－1＝3，∴原函数的值域为(0,3]．（2）∵f(x)＝loga(2－ax)在[0,1]上是减函数，且y＝2－ax在[0,1]上是减函数，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0＞f1，,a>1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(loga2＞loga2－a，,a>1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1，,2－a>0，))∴1＜a＜2.(3)f(x)＝logeq\f(1,2)(x2＋2x＋3)＝logeq\f(1,2)[(x＋1)2＋2]，因为(x＋1)2＋2≥2。所以logeq\f(1,2)[(x＋1)2＋2]≤logeq\f(1,2)2＝－1，所以函数f(x)的值域是(－∞，－1]例6．（2020·鸡东县第二中学）设函数，其中a为常数．Ⅰ当，求a的值；Ⅱ当时，关于x的不等式恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）a=﹣（2）[﹣2，+∞）【分析】（1）直接计算出f（1）和f（2），根据条件解方程即可求得a；（2）采用分离参数法，分离变量a，再根据函数的单调性求最值，得出a的取值范围．【详解】（1）∵f（x）=log2（1+a•2x+4x），∴f（1）=log2（1++），f（2）=log2（1+4a+16），由于，即log2（4a+17）=log2（+）+4，解得，a=﹣；（2）因为f（x）≥x﹣1恒成立，所以，log2（1+a•2x+4x）≥x﹣1，即，1+a•2x+4x≥2x﹣1，分离参数a得，a≥﹣（2x+2﹣x），∵x≥1，∴（2x+2﹣x）min=，此时x=1，所以，a≥﹣=﹣2，即实数a的取值范围为[﹣2，+∞）．【点睛】本题主要考查了对数函数的图象和性质，涉及对数的运算性质，以及不等式恒成立问题的解法，属于中档题．【变式训练61】．（2021·贵州省思南中学高三一模（理））已知(1)求的定义域；(2)判断的奇偶性并予以证明；(3)求使的的取值范围．【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.【分析】(1)求对数函数的定义域，只要真数大于0即可；(2)利用奇偶性的定义，看和的关系，得到结论；(3)由对数函数的单调性可知，要使,需分和两种情况讨论，即可得到结果.【详解】(1)由>0，解得x∈(－1,1)．(2)f(－x)＝loga＝－f(x)，且x∈(－1,1)，∴函数y＝f(x)是奇函数．(3)若a>1，f(x)>0，则>1，解得0<x<1；若0<a<1，f(x)>0，则0<<1，解得－1<x<0.【点睛】本题主要考查函数的定义域、奇偶性与单调性，属于中档题.判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法，(正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法，（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，（为偶函数，为奇函数）.四、定时训练（30分钟）1．=()A．B．C．2D．4【答案】D【解析】．2．（2021·全国高一单元测试）的值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据指数幂运算与对数运算性质运算求解即可.【详解】解：.故选：B.3．（2021·内蒙古赤峰市·高一期末（文））若，，则的值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用对数与指数的互化，指数的运算性质可求得结果.【详解】因为，则，所以，，故.故选：A.4．（2021·沧源佤族自治县民族中学高一期末）已知，则a，b，c的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据指对数函数的单调性并借助中间量0,1即可得到答案.