专题22统计与概率初步（练习）

专题22统计与概率初步（练习）一、填空题1．（2022·上海·高二单元测试）求下列试验的样本空间：（1）从班上抽出一人，观察其生日月份：________________________________________________________；（2）从含有15件次品的100件产品中任取5件，观察其中的次品数：_______________________________；（3）袋中有编号为1～5的5颗球，从中任取两球，观察两球的编号和：______________________________.【答案】

【分析】根据题意，结合样本中数据的构成，准确书写，即可求解.【解析】（1）从班上抽出一人，观察其生日月份，其中月份数组成了样本中的数据，所以样本空间为：.（2）从含有15件次品的100件产品中任取5件，其中的次品数个数组成样本中的数据，所以其样本空间为.（3）袋中有编号为1～5的5颗球，从中任取两球，两球的编号和的值组成了样本中的数据，所以其样本空间为：.故答案为：；；.2．（2022·上海市行知中学高二阶段练习）为了丰富高二学生的课外生活，某校要组建数学､计算机､航空模型､绘画4个兴趣小组，小明要随机选报其中的2个，则该实验中样本点的个数为__________.【答案】【分析】由列举法写出即可.【解析】由题意，可得样本点为（数学，计算机），（数学，航空模型），（数学，绘画），（计算机，航空模型），（计算机，绘画），（航空模型，绘画），共个.故答案为：3．（2022·上海市延安中学高三阶段练习）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．【答案】##0.3【分析】根据古典概型计算即可【解析】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5名同学中随机选3名，有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10种选法；其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率.故答案为：.解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为甲、乙都入选的方法数为，所以甲、乙都入选的概率故答案为：4．（2022·上海·高三专题练习）从3个函数：和中任取2个，其积函数在区间内单调递增的概率是___________.【答案】【分析】由题意，分析积函数是否在区间内单调递增，最后根据古典概型计算概率即可.【解析】从三个函数中任取两个函数共有3种取法，若取，积函数为，所以，因为当时，，所以函数在单调递增；若取和，积函数，所以，因为当时，，所以函数在单调递减；若取和，积函数，所以，因为当时，，所以函数在单调递增；故满足题意的有2个积函数，所以概率值为，故答案为：.【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.5．（2021·上海市复兴高级中学高三期中）某动漫公司推出漫画角色盲盒周边售卖，每个盲盒中等可能的放入该公司的款经典动漫角色玩偶中的一个.小明购买了个盲盒，则他能集齐个不同动漫角色的概率是______________.【答案】【分析】计算出所有的基本事件数，以及事件“小明购买了个盲盒，他能集齐个不同动漫角色”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可求得结果.【解析】个盲盒中，每个盲盒中放入的动漫角色有种选择，共有种不同的情况，当集齐个不同动漫角色时，其中有一种动漫角色有个，另外两种动漫角色各个，共有种，因此，所求概率为.故答案为：.【点睛】方法点睛：求解古典概型概率的方法如下：（1）列举法；（2）列表法；（3）数状图法；（4）排列组合数的应用.6．（2022·上海市吴淞中学高三开学考试）若随机事件、互斥，、发生的概率均不等于0，且分别为，，则实数a的取值范围为_____．【答案】【解析】根据已知条件和随机事件的概率范围及互斥事件的性质，列出不等式组，即可求出实数a的取值范围.【解析】因为随机事件、互斥，、发生的概率均不等于0，所以有：，即，解得，故答案为：7．（2020·上海·高三专题练习）从甲､乙､丙､丁4名同学中选2名同学参加志愿者服务，则甲､乙两人都没有被选到的概率为___________(用数字作答).【答案】【解析】先计算出从4名同学中选2名同学的情况，再计算出甲､乙两人都没有被选到的情况，即可求出概率.【解析】解：从4名同学中选2名同学共有种,甲､乙两人都没有被选到有种，甲､乙两人都没有被选到的概率为.8．（2022·上海市嘉定区第二中学模拟预测）从、、、、、、、、、这个数中任取个不同的数，则这个不同的数的中位数为的概率为________（结果用最简分数表示）．【答案】【分析】算出10个数中任取5个的可能数量，再算出所选个不同的数的中位数为的可能种数，根据古典概型的概率公式，即可求得答案.【解析】由题意知，从、、、、、、、、、这个数中任取个不同的数，有种可能，所选个不同的数的中位数为，则比6小的数有2个，共有种可能，比6大的数有2个，有种可能，故所选个不同的数的中位数为的情况共有种可能，故这个不同的数的中位数为的概率为,故答案为：9．（2008·上海·高考真题（理））已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a,b,12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是.【答案】【解析】∵总体的中位数为，∴a+b=21，故总体的平均数为10，要使该总体的方差最小，只需最小，又,当且仅当a=b=10.5时，等号成立.考点：本题考查了统计及基本不等式的运用点评：熟练运用统计知识解决数据问题是解决此类问题的关键，属基础题10．（2022·上海市实验学校高三阶段练习）设､为两个随机事件，给出以下命题：（1）若､为互斥事件，且，，则；（2）若，，，则､为相互独立事件；（3）若，，，则､为相互独立事件；（4）若，，，则､为相互独立事件；（5）若，，，则､为相互独立事件；其中正确命题的个数为___________.【答案】3【分析】根据互斥事件的加法公式，易判断（1）的正误；根据相互对立事件的概率和为1，结合相互独立事件的概率满足，可判断（2）、（3）、（4）、（5）的正误.【解析】若为互斥事件，且，，则，故（1）错误；若，则由相互独立事件乘法公式知为相互独立事件，故（2）正确；若，则，由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知为相互独立事件，故（3）正确；若，当为相互独立事件时，，故（4）错误；若，则由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知为相互独立事件，故（5）正确.故正确命题的个数为3.故答案为：3.11．（2022·上海市嘉定区第一中学高二期中）甲乙两名实习生每人各加工一个零件，若甲实习生加工的零件为一等品的概率为，乙实习生加工的零件为一等品的概率为，两个零件中能否被加工成一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为___________.【答案】【分析】两个零件中恰好有一个一等品，即甲加工的零件为一等品且乙加工的零件不是一等品，或乙加工的零件为一等品且甲加工的零件不是一等品，计算概率即可.【解析】甲加工的零件为一等品且乙加工的零件不是一等品的概率为，乙加工的零件为一等品且甲加工的零件不是一等品的概率为，所以两个零件中恰好有一个一等品的概率为.故答案为：.12．（2022·上海·高二单元测试）甲乙丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．则n次传球后球在甲手中的概率______．【答案】【分析】记表示事件“经过次传球后，球再甲的手中”，设次传球后球再甲手中的概率为，得到，化简整理得，即，结合等比数列的通项公式，即可求解.【解析】解：记表示事件“经过次传球后，球再甲的手中”，设次传球后球再甲手中的概率为，则有，所以，即，所以，且，所以数列表示以为首项，为公比的等比数列，所以，所以.即n次传球后球在甲手中的概率是．故答案为：.二、单选题13．（2023·上海·高三专题练习）已知盒中装有1个黑球与2个白球，每次从盒子中随机摸出1个球，并换入一个黑球.设三次摸球后盒子中所剩黑球的个数为，则为（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】由条件可知，再根据随机变量的取值，理解对应的事件，求概率，即可求解数学期望.【解析】可能的取值有1，2，3.故选：D14．（2020·上海·高三专题练习）电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59的每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻的四个数字之和为23的概率为A． B． C． D．【答案】C【解析】试题分析：由于一天有1440分钟，所以有1440种不同的结果，其中符合要求的有19：49，19：58，18：59，09：59共四种，所以所求概率为考点：本小题主要考查古典概型求概率．点评：古典概型求概率，要保证每个基本事件都是等可能的.15．（2020·上海·高三专题练习）4位同学各自在周六、周日两天中等可能的任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A． B． C． D．【答案】D【解析】试题分析：由已知，4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有种不同的结果，而周六、周日都有同学参加公益活动有两类不同的情况：（1）一天一人，另一天三人，有种不同的结果；（2）周六、日各2人，有种不同的结果，故周六、周日都有同学参加公益活动有种不同的结果，所以周六、周日都有同学参加公益活动的概率为，选D．考点：1．排列和组合；2．古典概型的概率计算公式．16．（2022·上海宝山·高三阶段练习）某个年级有男生180人，女生160人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为68的样本，则此样本中女生人数为（

）A．40 B．36 C．34 D．32【答案】D【分析】根据分层抽样的性质计算即可.【解析】由题意得：样本中女生人数为.故选：D17．（2022·上海·高三专题练习）某赛季甲乙两名篮球运动员在若干场比赛中的得分情况如下：甲：21、22、23、25、28、29、30、30；乙：14、16、23、26、28、30、33、38.则下列描述合理的是（

）A．甲队员每场比赛得分的平均值大 B．乙队员每场比赛得分的平均值大C．甲队员比赛成绩比较稳定 D．乙队员比赛成绩比较稳定【答案】C【分析】计算均值，再根据数据的集中度判断．【解析】甲的均值为，乙的均值为，两者均值相同，甲的方差为乙的方差为，甲的方差小于乙的方差，甲稳定．故选：C．18．（2022·上海·格致中学高三开学考试）某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：党史学习时间（小时）7891011党员人数610987则该单位党员一周学习党史时间的众数及第40百分位数分别是（

）A．8，8.5 B．8，8 C．9，8 D．8，9【答案】A【分析】众数是出现次数最多的，百分位数根据从小到大排列后，根据计算即可求解.【解析】党员人数一共有，学习党史事件为8小时的人数最多，故学习党史时间的众数为8，，那么第40百分位数是第16和17个数的平均数，第16，17个数分别为8，9，所以第40百分位数是故选：A19．（2022·上海交大附中高三开学考试）分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如图所示茎叶图，则下列结论中错误的是（

）A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数约为8.60（按四舍五入精确到0.01）C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值小于0.4D．乙同学周课外体育运动时长的方差约为0.80（按四舍五入精确到0.01）【答案】B【分析】计算中位数可判断A，计算平均数可判断B，由古典概型的概率公式求得概率可判断C，计算方差可判断D【解析】A：甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为，正确.B：乙同学课外体育运动时长的样本平均数为：，错误.C：甲同学周课外体育运动时长大于的概率的估计值，正确.D：乙同学周课外体育运动时长的方差约为：，正确.故选：B20．（2016·上海市延安中学高三开学考试）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石【答案】B【解析】设夹谷石，则，所以，所以这批米内夹谷约为石，故选B.考点：用样本的数据特征估计总体.21．（2022·上海交大附中高三开学考试）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（

）A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大【答案】D【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘的概率.并对三者进行比较即可解决【解析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为，则此时连胜两盘的概率为则；记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为，则记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为则则即，，则该棋手在第二盘与丙比赛，最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.故选：D22．（2020·上海·高三专题练习）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为A． B． C． D．【答案】A【解析】每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有3种，所求的概率为p=选A三、解答题23．（2022·上海市杨浦高级中学高二期末）一项“过关游戏”规则规定：在第关要抛掷一颗正六面体骰子次，每次掷得的点数均相互独立，如果这次抛掷所出现的点数之和大于，则算过关.(1)这个游戏最多过几关？(2)某人连过前两关的概率是？(3)某人连过前三关的概率是？【答案】(1)关(2)(3)【分析】（1）由题意，可判断时，，当，所以可判断出最多只能过关；（2）记一次抛掷所出现的点数之和大于为事件，两次抛掷所出现的点数之和大于为事件，得基本事件的总数以及满足题意的基本事件的个数，计算出，，从而根据概率相乘求解得连过前两关的概率；（3）设前两次和为，第三次点数为，列出第三关过关的基本事件的个数，利用概率相乘即可得连过前三关的概率.(1)因为骰子出现的点数最大为，当时，，而，所以时，这次抛掷所出现的点数之和均小于，所以最多只能过关.(2)记一次抛掷所出现的点数之和大于为事件，基本事件总数为个，符合题意的点数为，共个，所以；记两次抛掷所出现的点数之和大于为事件，基本事件总数为个，不符合题意的点数为，共个，则由对立事件的概率得，所以连过前两关的概率为;(3)前两次和为，第三次点数为则考虑再考虑2种3种4种5种6种5种4种3种2种1种所以满足共有.因此某人连过前三关的概率是.24．（2021·上海市控江中学高二阶段练习）如图所示为M、N两点间的电路，在时间T内不同元件发生故障的事件是互相独立的，它们发生故障的概率如下表所示：元件概率0.60.50.40.50.7(1)求在时间T内，与同时发生故障的概率；(2)求在时间T内，由于或发生故障而使得电路不通的概率；(3)求在时间T内，由于任意元件发生故障而使得电路不通的概率．【答案】(1)0.3；(2)0.8；(3)0.94【分析】（1）利用独立事件概率公式即求；（2）利用互斥事件概率公式及独立事件概率公式即求；（3）设表示发生故障，由题可得，即得.(1)设表示发生故障，则，单位时间T内，与同时发生故障的概率：．(2)在时间T内．由于或发生故障而影响电路的概率：．(3)设表示发生故障，则，在时间T内，任一元件发生故障而影响电路的概率：．25．（2022·上海·高二单元测试）某校对学生成绩进行统计（折合百分制，得分为整数），考虑该次竞赛的成绩分布，将样本分成5组，绘成频率分布直方图（如图），图中从左到右依次为第一组到第五组，各小组的小长方形的高的比为，第五组的频数为12.(1)该样本的容量是多少？(2)成绩落在哪一组中的人数最多？并求该小组的频率；(3)该样本的第75百分位数在第几组中？【答案】(1)96；(2)第三组，；(3)第四组.【分析】（1）根据给定条件，求出第五小组的频率即可计算作答.（2）确定频率分布直方图中面积最大的小矩形，再求出频率作答.（3）求出各小组频数，由第75百分位数的意义求解作答.（1）在频率分布直方图中，各小组的小长方形的高的比为，则第五组的频率为，而第五组的频数为12，所以样本的容量.（2）由频率分布直方图知，分段内的人数最多，该小组为第三组，该小组的频率为.（3）第一、二、三、四、五组的频数分别为6，18，36，24，12，该样本的第75百分位数位于第72名，72名位于第四组.26．（2022·上海·高二单元测试）在2022年中国北京冬季奥运会期间，某工厂生产A､B､C三种纪念品，每一种纪念品均有精品型和普通型两种，某一天产量如下表：（单位：个）纪念品A纪念品B纪念品C精品型100150n普通型300450600现采用分层抽样的方法在这一天生产的纪念品中抽取200个，其中A种纪念品有40个.(1)从B种精品型纪念品中抽取5个，其某种指标的数据分别如下：x､y､10､11､9，把这5个数据看作一个总体，其均值为10，方差为2，求的值；(2)用分层抽样的方法在C种纪念品中抽取一个容量为5的样本，从样本中任取2个纪念品，求至少有1个精品型纪念品的概率.【答案】(1)4(2)【分析】（1）先根据平均数建立关系式，然后根据方差建立关于、的等量关系，然后将用前面的等式进行表示即可求出值；（2）设这一天生产的纪念品为，根据分层抽样的原理建立方程，求出，再设所抽样本中有个精品型纪念品，则，求出，然后利用古典概型的方法求出至少有1个精品型纪念品的概率即可．（1）解：由题得，则，由于，得，从而，，即；（2）解：设这一天生产的纪念品为，由题意得，，，所以，设所抽样本中有个精品型纪念品，则，，故抽取了2个精品型纪念品，3个普通型纪念品，所以，至少有1个精品型纪念品的概率为.27．（2022·上海·高二单元测试）在①高一或高二学生的概率为；②高二或高三学生的概率为；③高三学生的概率为这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.已知某高中的高一有学生600人，高二有学生500人，高三有学生a人，若从所有学生中随机抽取1人，抽到___________.(1)求a的值；(2)若按照高一和高三学生人数的比例情况，从高一和高三的所有学生中随机抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人是高三学生的概率.【答案】(1)300(2)【分析】（1）若选①，则由题意可得，从而可求出的值，若选②，则由题意可得，从而可求出的值，若选③，则由题意可得，从而可求出的值，（2）根据分层抽样的定义可求得抽取的6人中，高一有4人，高三有2人，然后利用列举法列出这6人中任取2人的所有情况，再找出抽取的2人中至少有1人是高三学生的情况，最后利用古典概型的概率公式求解即可（1）选①.依题意，从所有学生中随机抽取1人，抽到高一或高二学生的概率为，解得，所以a的值为300.选②.依题意，从所有学生中随机抽取1人，抽到高一或高三学生的概率为，解得，所以a的值为300.选③.依题意，从所有学生中随机抽取1人，抽到高三学生的概率为，解得，所以a的值为300.（2）第一步：求出抽取的6人中高一､高三学生的人数由（1）知，高一､高三学生人数比为2：1，所以抽取的6人中，高一有4人，高三有2人.第二步：列出从抽取的6人中任取2人的所有情况高一的4人