专题07解析几何中的存在性与探究性问题-2022年高考数学二轮复习之大题核心考点专题训练(新高考地区)(原卷版)

第五篇解析几何专题07解析几何中的存在性与探究性问题常见考点考点一存在性问题典例1．已知椭圆：的右焦点在直线上，且离心率为．(1)求椭圆的方程；(2)设，，过点A的直线与椭圆交于另一点（异于点），与直线交于一点，的角平分线与直线交于点，是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．变式11．在平面直角坐标系xOy中，已知点，，点M满足直线AM与直线BM的斜率之积为，点M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)已知点，直线与x轴交于点D，直线AM与交于点N，是否存在常数λ，使得？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由.变式12．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆的离心率等于，抛物线的准线经过椭圆的一个焦点.椭圆与轴交于，两点，的横坐标小于的横坐标，是椭圆上异于，的动点，直线与直线交于点，设直线的斜率为，的中点为，点关于直线的对称点为.(1)求椭圆的方程；(2)是否存在，使的纵坐标为0？若存在，求出使的纵坐标为0的所有的值；若不存在，请说明理由.变式13．在平面直角坐标系中，已知，，.动点与，的距离的和等于18，动点满足.动点的轨迹与轴交于，两点，的横坐标小于的横坐标，是动点的轨迹上异于，的动点，直线与直线交于点，设直线的斜率为，的中点为，点关于直线的对称点为.(1)求动点的轨迹方程；(2)是否存在，使的纵坐标为0？若存在，求出使的纵坐标为0的所有的值；若不存在，请说明理由.考点二探究性问题典例2．已知直线，圆.(1)证明：直线l与圆C相交；(2)设l与C的两个交点分别为A、B，弦AB的中点为M，求点M的轨迹方程；(3)在（2）的条件下，设圆C在点A处的切线为，在点B处的切线为，与的交点为Q.试探究：当m变化时，点Q是否恒在一条定直线上？若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由.变式21．设抛物线C的方程为x2＝4y，M为直线l：y＝﹣m（m＞0）上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B．(1)当M的坐标为（0，﹣1）时，求过M，A，B三点的圆的方程，并判断直线l与此圆的位置关系；(2)求证：直线AB恒过定点；(3)当m变化时，试探究直线l上是否存在点M，使△MAB为直角三角形，若存在，有几个这样的点，若不存在，说明理由．变式22.已知椭圆的长轴长为，点在上．(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆的左、右顶点分别为、，过定点的直线与椭圆交于、两点（异于点、），试探究直线、的交点的横坐标是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．变式23．已知点是圆：上任意一点，是圆内一点，线段的垂直平分线与半径相交于点．(1)当点在圆上运动时，求点的轨迹的方程；(2)设不经过坐标原点，且斜率为的直线与曲线相交于，两点，记，的斜率分别是，．当，都存在且不为时，试探究是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．巩固练习练习一存在性问题1．如图，椭圆C的离心率是，过点的动直线l与椭圆相交于A，B两点，当直线l平行于y轴时，直线l被椭圆C截得的线段长为．(1)求椭圆C的方程:(2)已知D为椭圆的左端点，问:是否存在直线l使得的面积为?若不存在，说明理由，若存在，求出直线l的方程．2．已知圆与x轴交于A，B两点，动点P满足直线与直线的斜率之乘积为.(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)过点的直线l与曲线E交于M，N两点，则在x轴上是否存在定点Q，使得的值为定值？若存在，求出点Q的坐标和该定值；若不存在，请说明理由.3．已知椭圆C：的右焦点为F，O为坐标原点，过F且和x轴垂直的直线交椭圆于P，Q两点，，椭圆C的离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点F的直线交椭圆C于M，N两点，问x轴正半轴上是否存在一定点T，使得，若存在，求出T点坐标；若不存在，说明理由.4．如图，抛物线E：y2＝2px的焦点为F，四边形DFMN为正方形，点M在抛物线E上，过焦点F的直线l交抛物线E于A，B两点，交直线ND于点C.(1)若B为线段AC的中点，求直线l的斜率；(2)若正方形DFMN的边长为1，直线MA，MB，MC的斜率分别为k1，k2，k3，则是否存在实数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求出λ；若不存在，请说明理由．练习二探究性问题5．设a，b是实数，若椭圆过点，且离心率为.(1)求椭圆E的标准方程；(2)过椭圆E的上顶点P分别作斜率为，的两条直线与椭圆交于C，D两点，且，试探究过C，D两点的直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；否则，说明理由.6．如图，已知抛物线与圆相交于A，B，C，D四点．(1)若，求抛物线C的方程；(2)试探究直线AC是否经过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．7．已知双曲线的离心率，虚轴在轴上且长为．(1)求双曲线的标准方程；(2)若斜率为的直线交于、两点，且直线与圆相切，求证：；(3)已知椭圆，若、分别是、上的动点，且，探究点到直线的距离是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由．8．设为坐