62排列与组合（十六大题型）（原卷版）

6．2排列与组合【题型归纳目录】题型一：排列的概念题型二：画树形图写排列题型三：简单的排列问题题型四：排列数公式的应用题型五：相邻问题题型六：不相邻问题题型七：定序问题题型八：间接法题型九：组合概念的理解题型十：简单的组合问题题型十一：组合数公式的应用题型十二：多面手问题题型十三：分组、分配问题题型十四：与几何有关的组合应用题题型十五：隔板法题型十六：分堆问题【知识点梳理】知识点一、排列的概念1、排列的定义：一般地，从n个不同的元素中取出m（）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．知识点诠释：（1）排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”．（2）从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列．（3）如何判断一个具体问题是不是排列问题，就要看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排这m个元素时是有顺序还是无顺序，有顺序就是排列，无顺序就不是排列．知识点二：排列数1、排列数的定义从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示．知识点诠释：“排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从个不同的元素中，任取个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一个排列（也就是具体的一件事）；2、排列数公式，其中，且．知识点诠释：公式特征：第一个因数是，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是，共有个因数．知识点三：阶乘表示式1、阶乘的概念：把正整数1到的连乘积，叫做的阶乘．表示：，即!．规定：．2、排列数公式的阶乘式：所以．知识点四：排列的常见类型与处理方法1、相邻元素捆绑法2、相离问题插空法3、元素分析法4、位置分析法知识点五：组合1、定义：一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．知识点诠释：（1）从排列与组合的定义可知，一是“取出元素”；二是“并成一组”，“并成一组”即表示与顺序无关．排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关，这是它们的根本区别．（2）如果两个组合中的元素相同，那么不管元素的顺序怎样都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．因此组合问题的本质是分组问题，它主要涉及元素被取到或末被取到．知识点六：组合数及其公式1、组合数的定义：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．记作．知识点诠释：“组合”与“组合数”是两个不同的概念：一个组合是指“从个不同的元素中取出个元素并成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；组合数是指“从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数”，它是一个数．2、组合数公式：（1）（，且）（2）（，且）知识点诠释：上面第一个公式一般用于计算，但当数值m、n较大时，利用第二个式子计算组合数较为方便，在对含有字母的组合数的式子进行变形和论证时，常用第二个公式．知识点七：组合数的性质性质1：（，且）性质2：（，且）知识点诠释：规定：．知识点八、组合问题常见题型（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．（2）“至少”或“最多”含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，但通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．（3）分堆问题①平均分堆，其分法数为：．②分堆但不平均，其分法数为．（4）定序问题．对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其他元素进行排列．（5）相同元素分组问题用“隔板法”：【典型例题】题型一：排列的概念例1．（2022·全国·高二课时练习）下列问题是排列问题吗？(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格（假设来回的票价相同）；(2)某班40名学生在假期相互写信；(3)会场有50个座位，要求选出3个座位，有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？(4)平面上有5个点，其中任意3个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？【方法技巧与总结】判断一个具体问题是否为排列问题的思路例2．（2022·全国·高二课时练习）判断下列问题是否为排列问题（1）会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？（2）从集合M＝{1，2，…，9}中，任取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程？可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程?（3）平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？例3．（2022·全国·高二课时练习）判断下列问题是否是排列问题.（1）同宿舍4人，每两人互通一封信，他们一共写了多少封信？（2）同宿舍4人，每两人通一次，他们一共通了几次？题型二：画树形图写排列例4．（2022·全国·高二课时练习）写出4个元素a，b，c，d的所有排列．【方法技巧与总结】树形图的画法（1）确定首位，以哪个元素在首位为分类标准进行确定首位．（2）确定第二位，在每一个分支上再按余下的元素，在前面元素不变的情况下定第二位并按顺序分类．（3）重复以上步骤，直到写完一个排列为止．例5．（2022·全国·高二）从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本分给甲、乙、丙三人，每人一本，试将所有不同的分法列举出来．例6．（2022·全国·高二课时练习）写出下列问题的所有排列：（1）北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？（2）A、B、C、D四名同学排成一排照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四，共有多少种不同的排列方法？题型三：简单的排列问题例7．（2022·全国·高二课时练习）某药品研究所研制了5种消炎药，，，，，4种退热药，，，，现从中取2种消炎药和1种退热药同时进行疗效试验，但，两种药或同时用或同时不用，，两种药不能同时使用，试写出所有不同的试验方法.【方法技巧与总结】对于简单的排列问题，其解题思路可借助分步乘法计数原理进行，即采用元素分析法或位置分析法求解．例8．（2022·全国·高二课时练习）请列出下列排列：(1)从4个不同元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列；(2)从7个不同元素a，b，c，d，e，f，g中任取2个元素的所有排列．例9．（2022·全国·高二课时练习）用红、黄、蓝3面小旗（3面小旗都要用）竖挂在绳上表示信号，不同的顺序表示不同的信号，试写出所有的信号．题型四：排列数公式的应用例10．（2022·全国·高三专题练习）（1）解不等式：；（2）解方程：．【方法技巧与总结】排列数公式的选择（1）排列数公式的乘积形式适用于计算排列数．（2）排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算．例11．（2022·全国·高三专题练习）（1）用排列数表示(n∈N*且n<55)；（2）计算；（3）求证：.例12．（2022·全国·高三专题练习）（1）解方程：；（2）解不等式：.题型五：相邻问题例13．（2022·辽宁·大连佰圣高级中学高二期中）小陈准备将新买的《尚书·礼记》、《左传》、《孟子》、《论语》、《诗经》五本书立起来放在书架上，若要求《论语》、《诗经》两本书相邻，且《尚书·礼记》放在两端，则不同的摆放方法有（

）A．18种 B．24种 C．36种 D．48种【方法技巧与总结】相邻问题捆绑法例14．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））开学典礼上甲、乙、丙、丁、戊这5名同学从左至右排成一排上台领奖，要求甲与乙相邻且甲与丙之间恰好有1名同学的排法有（

）种．A．12 B．16 C．20 D．24例15．（2022·全国·高三专题练习）甲、乙等6人去参观民间剪纸艺术展，参观结束后，他们站成一排拍照留念，则甲、乙相邻的不同站法有（

）A．120种 B．240种 C．360种 D．480种题型六：不相邻问题例16．（2022·北京·高考真题（文））某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（

）A．6 B．12 C．15 D．30【方法技巧与总结】不相邻问题插空法例17．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校高二阶段练习）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”，合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每次讲一艺.讲座次序要求“数”不在第一次也不在第六次，“礼”和“乐”不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（

）A．480种 B．336种 C．144种 D．96种例18．（2022·重庆十八中高二期末）霍庆市海军青少年航空学校招生，某服务站点需要连续五天有志愿者参加志愿服务，每天只需要一名志愿者，现有5名志愿者计划依次安排到该服务站点参加服务，要求志愿者甲不安排第一天，志愿者乙和丙不在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有（

）A．48种 B．60种 C．76种 D．96种题型七：定序问题例19．（2022·辽宁·同泽高中高二阶段练习）10名同学进行队列训练，站成前排3人后排7人，现体育教师要从后排7人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法有______种【方法技巧与总结】先选后排例20．（2022·上海市金山中学高二期末）某次演出有6个节目，若甲、乙、丙3个节目的先后顺序已确定，则不同的排法有____种．甲、乙、丙3个节目全排列有,所以演出中的6个节目，若甲、乙、丙3个节目的先后顺序已确定，则不同的排法有，故答案为：.例21．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学高二期末）在8所高水平的高校代表队中，选择5所高校进行航模表演.如果、为必选的高校，并且在航模表演过程中必须按先后的次序（、两高校的次序可以不相邻），则可选择的不同航模表演顺序有_______.变式1．（2022·全国·高二课时练习）期中安排考试科目9门，语文，数学，英语三门课的前后顺序已经确定，则期中考试不同的安排顺序有______种．变式2．（2022·全国·高二课时练习）将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为A，B，C或C，B，A（可以不相邻），这样的排列方法有______种.（用数字作答）变式3．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，某货场有三堆集装箱，每堆2个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是____________（用数字作答）.题型八：间接法例22．（2022·北京海淀·高二期末）某班周一上午共有四节课，计划安排语文、数学、美术、体育各一节，要求体育不排在第一节，则该班周一上午不同的排课方案共有（

）A．24种 B．18种 C．12种 D．6种【方法技巧与总结】正难则反例23．（2022·全国·西北工业大学附属中学高二期末）某人根据自己爱好，希望从中选2个不同字母，从中选3个不同数字编拟车牌号，要求前3位是数字，后两位是字母，且数字2不能排在首位，字母和数字2不能相邻，那么满足要求的车牌号有（

）A．198个 B．180个 C．216个 D．234个例24．（2022·江苏·常州市武进区礼嘉中学高二阶段练习）小李和父母、爷爷奶奶一起排队去做核酸，5人排成一列（他们之间没有其他人）.若小李的父母至少有一人与他相邻，则不同排法的总数为（

）A．84 B．78 C．108 D．96变式4．（2022·全国·高三专题练习）中国空间站的主体结构包括天和核心实验舱､问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲､乙等5名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多二人，则甲乙不在同一实验舱的种数有（

）A．60 B．66 C．72 D．80题型九：组合概念的理解例25．（2022·全国·高二课时练习）判断下列问题是组合问题还是排列问题．(1)若集合，则集合的含有3个元素的子集有多少个？(2)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上需准备多少种车票？(3)从7本不同的书中取出5本给某同学；(4)三个人去做5种不同的工作，每人做1种，有多少种分工方法？(5)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得一本，有多少种分配方法？【方法技巧与总结】排列、组合辨析切入点（1）组合的特点是只选不排，即组合只是从n个不同的元素中取出m（m≤n）个不同的元素即可．（2）只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，这两个组合就是相同的组合．（3）判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题．例26．（2022·江苏·高二课时练习）判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数.（1）10个人相互写一封信，一共写了多少封信？（2）10个人相互通一次，一共通了多少次？（3）10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场？（4）从10个人中选3人去开会，有多少种选法？（5）从10个人中选出3人担任不同学科的课代表，有多少种选法？例27．（2022·全国·高二课时练习）给出下列问题：（1）从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？（2）从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？（3）a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？（4）a，b，c，d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？（5）某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，不同的结果有多少种？（6）某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪中恰有3枪连中，不同的结果有多少种？在上述问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？题型十：简单的组合问题例28．（2022·云南·昆明一中模拟预测（理））在高三下学期初，某校开展教师对学生的家庭学习问卷调查活动，已知现有3名教师对4名学生进行家庭问卷调查，若这3名教师每位至少到一名学生家中问卷调查，又这4名学生的家庭都能且只能得到一名教师的问卷调查，那么不同的问卷调查方案的种数为__________．【方法技巧与总结】利用排列与组合之间的关系，建立起排列数与组合数之间的计算方法，借助排列数求组合数．例29．（2022·全国·高二课时练习）甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛.（1）列出所有各场比赛的双方；（2）列出所有冠、亚军的可能情况.例30．（2022·全国·高二课时练习）一个口袋内有3个不同的红球，4个不同的白球（1）从中任取3个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？（2）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取4个球，使总分不少于6分的取法有多少种？题型十一：组合数公式的应用例31．（2022·全国·高三专题练习）（1）若，求正整数n的值；（2）已知，求正整数n的值．【方法技巧与总结】（1）组合数公式一般用于计算，而组合数公式般用于含字母的式子的化简与证明．（2）要善于挖掘题目中的隐含条件，简化解题过程，如组合数的隐含条件为，且．（3）计算时应注意利用组合数的两个性质：①；②．例32．（2022·全国·高二课时练习）证明：．例33．（2022·全国·高三专题练习）（1）求值：（2）求关于的不等式的解集．变式5．（2022·全国·高三专题练习）（1）若，求的值；（2）求的值.变式6．（2022·安徽·合肥市第十一中学高二期末）（1）计算：;

（2）已知，求.题型十二：多面手问题例34．（2022·全国·高三专题练习）某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（

）种不同的选法A．225 B．185 C．145 D．110【方法技巧与总结】有限制条件的抽（选）取问题，主要有两类（1）“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数．（2）“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．例35．（2022·黑龙江·大庆市东风中学高二期中）某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有_______例36．（2022·全国·高二课时练习）某出版社的7名工人中，有3人只会排版，2人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从7人中安排2人排版，2人印刷，有几种不同的安排方法．题型十三：分组、分配问题例37．（2022·湖南·高二期中）某学校开展劳动教育，决定在3月12日植树节当天把包含甲、乙两班在内的6个班级平均分到附近的3个植树点植树，则甲、乙两班不在同一植树点的分配方案数为（

）A．72 B．90 C．84 D．18【方法技巧与总结】“分组”与“分配”问题的解法（1）分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：①完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以；②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以；③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．（2）分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．例38．（2022·陕西·礼泉县第一中学高三期中（理））安排6名同学去甲､乙两个社区参加志愿者服务，每名同学只去一个社区，每个社区至少安排2名同学，则不同的安排方法共有（

）A．10种 B．20种 C．50种 D．70种例39．（2022·新疆和静高级中学高二阶段练习）中国空间站的主体结构包括天和核心实验舱､问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲､乙等6名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有（

）种A．450 B．72 C．90 D．360变式7．（2022·新疆和静高级中学高二阶段练习）2022年9月3日某市新冠疫情暴发以来，某住宿制中学为做好疫情防控工作，组织5名教师组成志愿者小组，分配到高中三个年级教学楼楼门口配合医生给学生做核酸.由于高二年级学生人数较多，要求高二教学楼志愿者人数均不少于另外两栋教学楼志愿者人数，若每栋教学楼门至少分配1名志愿者，每名志愿者只能在1个楼门进行服务，则不同的分配方法种数为（

）A．240 B．120 C．80 D．180变式8．（2022·甘肃·高台县第一中学高三阶段练习（理））安徽省地形具有平原、台地（岗地）、丘陵、山地等类型，其中丘陵地区占了很大比重，因此山地较多，著名的山也有很多，比如：黄山、九华山、天柱山.某校开设了研学旅行课程，计划将5名优秀学生分别派往这三个地方进行研学旅行，每座山至少有一名学生参加，则不同的安排方案种数是（

）A．150 B．120 C．160 D．180题型十四：与几何有关的组合应用题例40．（2022·河南·中牟县第一高级中学高二期中）在过长方体任意两个顶点的直线中任取两条，其中异面直线有（

）对.A．152 B．164 C．174 D．182【方法技巧与总结】（1）图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用间接法．（2）把一个与几何相关的问题转化为组合问题，此题目的解决体现了数学抽象及数学运算的核心素养．例41．（2022·全国·高三专题练习）已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为A．40 B．16 C．13 D．10例42．（1997·全国·高考真题（文））四面体的一个顶点为A，从其他顶点与棱的中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法共有（

）A．30种 B．33种 C．36种 D．39种变式9．（2022·湖南·高考真题（文））从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为（

）A．56 B．52 C．48 D．40变式10．（2022·全国·高三专题练习）方形是中国古代城市建筑最基本的形态，它体现的是中国文化中以纲常伦理为代表的社会生活规则，中国古代的建筑家善于使用木制品和竹制品制作各种方形建筑.如图，用大小相同的竹棍构造一个大正方体（由个大小相同的小正方体构成），若一只蚂蚁从点出发，沿着竹棍到达点，则蚂蚁选择的不同的最短路径共有（

）A．种 B．种C．种 D．种变式11．（2022·湖北·高三开学考试）如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），CD段马路由于正在维修，暂时不通，则从A到B的最短路径有（

）A．23条 B．24条 C．25条 D．26条变式12．（2022·全国·高三专题练习）宋代学者聂崇义编撰的《三礼图集注》中描述的周王城，“匠人营国，方九里，旁三门，国中九经九纬……”；意思是周王城为正方形，边长为九里，每边都有左中右三个门；城内纵横各有九条路……；则依据此种描述，画出周王城的平面图，则图中共有（

）个矩形A．3025 B．2025 C．1225 D．2525题型十五：隔板法例43．（2022·全国·高三专题练习）的展开式为多项式，其展开式经过合并同类项后的项数一共有（

）A．72项 B．75项 C．78项 D．81项例44．（2022·江苏·吴县中学高二期中）学校有6个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少1个名额，则有（

）种分配方案．A．135 B．10 C．75 D．120例45．（2022·全国·高三专题练习）将9个志愿者名额全部分配给3个学校，则每校至少一个名额且各校名额互不相同的分配方法总数是（

）A．16 B．18 C．27 D．28变式13．（2022·全国·高三专题练习）方程的非负整数解有（

）A．组 B．136组 C．190组 D．68组变式14．（2022·河北·辛集中学高二阶段练习）小明同学去文具店购买文具，现有四种不同样式的笔记本可供选择（可以有笔记本不被选择），单价均为一元一本，小明只有元钱且要求全部花完，则不同的选购方法共有（

）A．种 B．种 C．种 D．种题型十六：分堆问题例46．（2022·全国·高三专题练习）已知有6本不同的书.分成三堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？例47．（2022·全国·高三专题练习）已知有6本不同的书.分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？例48．（2022·全国·高三专题练习）已知有6本不同的书.(1)分成三堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？(2)分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？变式15．（2022·全国·高三专题练习）6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？(1)一堆1本，一堆2本，一堆3本；(2)甲得1本，乙得2本，丙得3本；【同步练习】一、单选题1．（2022·江苏·海安市曲塘中学高一开学考试）阶乘是基斯顿·卡曼（ChristianKramp）于1808年发明的一种运算，正整数n的阶乘记为n!，它的值为所有小于或等于n的正整数的积，即．根据上述材料，以下说法错误的是（

）A． B．C． D．2．（2022·江西·金溪一中高二阶段练习（理））将五辆车停在5个车位上，其中A车不能停在1号车位上，则不同的停车方案有（

）A．24种 B．78种 C．96种 D．120种3．（2022·黑龙江·哈尔滨七十三中高二期中（理））将5名教师分到3所学校任教，要求每所学校至少一名教师，则不同的分法有（

）A．60种 B．90种 C．150种 D．180种4．（2022·贵州遵义·高三开学考试（理））现有甲、乙、丙、丁四位同学要与两位老师站成一排合影留念，则甲同学不站两端且两位老师必须相邻的站法有（

）A．72种 B．144种 C．288种 D．576种5．（2022·江苏·金沙中学高二阶段练习）若，则（

）A．7 B．6 C．5 D．46．（2022·全国·高二课时练习）（

）A． B． C． D．7．（2022·云南·昆明市官渡区艺卓中学高三阶段练习）根据新课改要求，昆明市艺卓中学对学校的课程进行重新编排，其中对高二理科班的课程科目：语文、数学、英语、物理、化学、生物这六个科目进行重新编排（排某一天连续六节课的课程，其中每一节课是一个科目），编排课程要求如下：数学与物理不能相邻，语文与生物要相邻，则针对这六个课程不同的排课顺序共有（

）A．144种 B．72种 C．36种 D．18种8．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习）为帮助某贫困山区的基层村镇完成脱贫任务，某单位要从5名领导和6名科员中选出4名人员去某基层村镇做帮扶工作，要求选出人员中至少要有2名领导，且必须有科员参加，则不同的选法种数是（

）A．210 B．360 C．420 D．720二、多选题9．（2022·吉林·长春十一高高二阶段练习）（多选）（

）A． B． C． D．10．（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习）下列等式中，成立的有（

）A． B． C． D．11．（2022·河北石家庄·高二期末）下列说法正确的是（

）A．甲､乙､丙､丁4人站成一排，甲不在最左端，则共有种排法B．3名男生和4名女生站成一排，则3名男生相邻的排法共有种C．3名男生和4名女生站成一排，则3名男生互不相邻的排法共有种D．3名男生和4名女生站成一排，3名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有1296种12．（2022·河北沧州·高二期末）随着疫情的有效控制，沧州动物园于2022年4月16日起恢复开园.开园当天，沧州师范学院学生会的3名男生和2名女生在动物园的入口处对游客进行新冠肺炎防疫知识宣传.闭园后，这5名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是（

）A．若让其中的男生甲排在两端，则这5名同学共有24种不同的排法B．若要求其中的2名女生相邻，则这5名同学共有48种不同的排法C．若要求其中的2名女生不相邻，则