专题03直线与方程-2021-2022学年高二数学上学期期中考试好题汇编(人教A版2019)

专题03直线与方程考点一直线斜率与倾斜角1.直线的斜率公式①已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为，时的图象如图：②已知直线过点，则直线的斜率为k＝.1.（2021·湖南师大附中高二期中）过点且倾斜角为的直线方程为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由倾斜角为求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程【详解】解：因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，所以直线方程为，即，故选：D2.（2020·山东临沂·高二期中）已知两点、，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】作出图形，求出直线、的斜率，数形结合可得出直线的斜率的取值范围，进而可求得直线的倾斜角的取值范围.【详解】如下图所示：直线的斜率为，直线的斜率为，由图形可知，当直线与线段有交点时，直线的斜率.因此，直线的倾斜角的取值范围是.故选：C.3.（2020·山东省郓城第一中学高二期中）直线的倾斜角的取值范围是（）.A．B．C．D．【答案】B【分析】求出直线斜率的范围，由斜率与倾斜角的关系确定倾斜角的范围．【详解】∵直线斜率，又，∴，设直线倾斜角为，∴，而，故倾斜角的取值范围是，故选：B．4.（2020·新泰中学高二期中）已知直线：，点，，若直线与线段相交，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意得直线恒过点，进而得直线的斜率的取值范围为：或，再根据，解不等式即可得答案.【详解】直线方程变形得：.由得，∴直线恒过点，，，由图可知直线的斜率的取值范围为：或，又，∴或，即或，又时直线的方程为，仍与线段相交，∴的取值范围为.故选：C.考点二直线的形式与位置关系1.直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率与x轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率两点式过两点与两坐标轴均不垂直的直线续表截距式纵、横截距不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)所有直线2.直线的两种位置关系斜截式一般式方程相交垂直平行且或易误提醒1．注意两平行线距离公式的应用条件应用两平行线间距离公式时，两平行线方程中x，y的系数应对应相等．2．忽略直线斜率不存在的情况在解决有关直线问题时要考虑直线斜率是否存在．3．注意直线方程的限制条件（1）应用点斜式、斜截式方程时，注意它们不包含垂直于x轴的直线；（2）应用两点式方程时，注意它不包含与坐标轴垂直的直线；（3）应用截距式方程时，注意它不包括与坐标轴垂直的直线以及过原点的直线；（4）在处理直线与圆的位置关系时要充分利用圆的几何性质．1.（2021·首都师范大学附属中学高二期中）直线与直线垂直，则的值为（）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】由直线一般式方程下的垂直的公式列式求解即可得答案.【详解】解:因为直线与直线垂直,所以,即:,解得或.故选：C2.（2019·湖南师大附中高二期中）如果直线与直线互相平行，那么的值等于A．2 B． C． D．2【答案】D【分析】根据它们的斜率相等，可得1，解方程求a的值．【详解】∵直线ax+2y+1＝0与直线x+y﹣2＝0互相平行，∴它们的斜率相等，∴1∴a＝2故选D．3.（2020·湖南高二期中）过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】联立求出交点，再由垂直关系得出所求直线方程.【详解】联立，解得，.设与直线垂直的直线方程是将，代入方程，解得故所求方程为故选：D.4.（2020·商河县第一中学高二期中）在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标分别为，，，求：（1）边所在直线的方程；（2）边上的高所在直线的方程.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出直线的斜率，代入点斜式方程即可；(2)求出直线BC的斜率，得到BC边上的高所在直线的斜率，代入点斜式方程即可.【详解】（1）设的直线方程为.将，坐标代入可得，解方程组可得，则直线方程为，化为一般式为.（2）因为为直线的高，所以，故，设的直线方程为，将代入，解得，得的直线方程为，代为一般式为5．（2020·大石桥市第三高级中学高二期中）在中，，（1）求AB边的垂直平分线所在的直线方程；（2）若的角平分线所在的直线方程为，求AC所在直线的方程.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）设AB边的垂直平分线为l，求出，即得AB边的垂直平分线所在的直线方程；（2）设B关于直线的对称点M的坐标为，求出即得解.【详解】（1）设AB边的垂直平分线为l，有题可知，，又可知AB中点为，l的方程为，即，（2）设B关于直线的对称点M的坐标为；则，解得，所以，由题可知，两点都在直线AC上，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，所以AC所在直线方程为.【点睛】方法点睛：求直线方程常用的方法是：待定系数法，先定式（点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式），再定量.6．（2020·浙江高二期中）已知直线：，直线：.（1）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；（2）若，求直线的方程.【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）分直线过原点和直线不过原点两种情况讨论，分别求解即可.

(2)若，则解得或,再验证从而得出答案.【详解】（1）①若直线过原点，则在坐标轴的截距都为，显然满足题意，此时则，解得，②若直线不过原点，则斜率为，解得.因此所求直线的方程为或（2）①若，则解得或.当时，直线：，直线：，两直线重合，不满足，故舍去；当时，直线：，直线：，满足题意；因此所求直线：【点睛】易错点睛：本题考查直线的截距概念和根据两直线的位置关系求参数，在解决这类问题时，直线在两坐标轴上的截距相等（或互为相反数）时，要注意直线过原点时也满足条件，这是在解题中容易漏掉的情况，在由直线平行求参数时，求出参数时要代回检验，对重合的情况要舍去，这个也是容易出错的地方，要注意，属于中档题.考点三距离公式三种距离公式①两点间的距离：若，则|AB|＝；②点到直线的距离：点到直线的距离d＝；③两平行线的距离：若直线的方程分别为，则两平行线的距离d＝.1.（2020·山东省实验中学高二期中）两条平行直线和间的距离为，则，分别为（）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】先由直线平行求出，再由平行线间距离公式可求出d.【详解】两直线平行，，解得，将化为，.故选：D.2.（2020·双峰县第一中学期中）若动点分别在直线和上，则的中点到坐标原点的距离的最小值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】设点所在直线的方程为，结合点到直线的距离公式，求得点所在直线的方程，利用原点到直线的距离公式，即可求解.【详解】根据题意，可得的集合为与直线和距离都相等的直线，则到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，设点所在直线的方程为，由，可得，解得，可得，所以到原点的距离的最小值为.故选：B.3.（2020·常德市淮阳中学高二期中）已知两点，到直线的距离相等，则m的值为A．或1 B．或1 C．或 D．或【答案】D【分析】两点到直线距离相等，可用几何法，直线与两定点所在直线平行，或直线过以两定点为端点的线段的中点，或者也可用代数法．【详解】解法一：依题意得，直线过线段AB的中点，或与直线AB平行.①线段AB的中点坐标为，且在直线上，，解得；②由两直线平行知，解得.因此m的值为或，故选：D解法二：由题意得，解得或，故选：D4.（2020·山东高二期中）已知两条平行直线与间的距离为3，则的值为______.【答案】或.【分析】根据两平行线间的距离公式，得到，即可求解.【详解】由题意，两条平行直线与间的距离为3，根据两平行线间的距离公式，可得，解得或，即的值为或.故答案为：或.考点四与直线有关的对称问题1.对称问题主要包括中心对称和轴对称（1）中心对称①点P(x，y)关于O(a，b)的对称点满足②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．（2）轴对称①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点(m，n)，则有②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．1.（2021·上海市长征中学高二期中）若点关于直线对称，则直线的斜率______________．【答案】【分析】由点，求得，结合，即可求解.【详解】由点，可得，设直线的斜率为，因为点关于直线对称，可得，解得.故答案为：.2.（2021·吉林白城市·白城一中高二期中）直线关于点对称的直线方程是________【答案】【分析】先求出点A到直线距离，因为直线关于点对称的直线是它的一条平行线，可设对称直线为，再利用距离公式求出，即得出答案.【详解】解：点到直线距离，因为直线关于点对称的直线是它的一条平行线，所以设对称直线为，且到对称直线的距离为，解得或，

时是直线本身，所以对称直线.故答案为：.3.（2019·湖南长沙市·长郡中学高二期中考试）已知直线．若直线与关于l对称，则的方程是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出直线，l的交点在直线上，在直线上任取一点，求出此点关于直线l的对称点也在直线上，根据两点坐标求出斜率，即可求出直线的方程.【详解】解：若直线与关于l对称，则直线，l的交点在直线上，即，解得：在直线上任取一点关于直线l对称的点为，则点B在直线上，由A,B两点可知，直线的斜率为，则直线的方程为：即故选：C1.（2020·山东临沂·高二期中）（多选题）下列说法正确的是（）A．直线必过定点（2，1）B．直线在轴上的截距为－2C．直线的倾斜角为120°D．若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为【答案】ACD【详解】，所以点在直线上，A正确；对，令，得，直线在轴上截距为2，B错误；直线的斜率为，倾斜角为，C正确；设直线方程为，沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后得，即它就是，所以，所以，D正确．故选：ACD．2.（2021·山东高二期中）已知过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先由点的坐标满足圆的方程来确定点在圆上，然后求出过点的圆的切线方程，最后由两直线的垂直关系转化为斜率关系求解.【详解】由题知，圆的圆心，半径.因为，所以点在圆上，所以过点的圆的切线与直线垂直，设切线的斜率，则有，即，解得.因为直线与切线垂直，所以，解得.故选：B.3．（2020·辽宁高二期中）如图所示，若直线，，的斜率分别为，，，则（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系即可求解.【详解】设直线，，的倾斜角分别为，，由图知直线的倾斜角为锐角，所以，直线的倾斜角，为钝角，所以，当倾斜角为钝角时，倾斜角越大斜率越大，，所以，所以，故选：A.4．（2020·山西大附中）已知，，直线：，：，且，则的最小值为（）A．2 B．4 C．8 D．9【答案】C【分析】由，可求得，再由，利用基本不等式求出最小值即可.【详解】因为，所以，即，因为，，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为8.故选：C.5.（2020·利川市第五中学高二期中）已知点，，若直线与线段AB相交，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出图象，求出直线经过定点，，结合图象关系即可得解.【详解】直线过定点，，直线与线段AB相交，结合图象可得：.故选：C6．（2021·全国高二期中）直线与直线交于点，则点到直线的最大距离为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据联立直线的方程解出交点P，再得出直线的恒过点，从而求得最大距离得选项．【详解】由解得，所以，由，得，令，恒成立，所以直线恒过点，所以点到直线的最大距离为，故选：C．【点睛】方法点睛：求直线恒过点的方法：方法一（换元法）：根据直线方程的点斜式直线的方程变成，将带入原方程之后，所以直线过定点；方法二（特殊引路法）：因为直线的中的m是取不同值变化而变化，但是一定是围绕一个点进行旋转，需要将两条直线相交就能得到一个定点.取两个m的值带入原方程得到两个方程，对两个方程求解可得定点.7．（多选题）（2020·福建师大附中）在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点，，则下列选项中是真命题的有（）A．存在正实数使得面积为的直线l恰有一条B．存在正实数使得面积为的直线l恰有二条C．存在正实数使得面积为的直线l恰有三条D．存在正实数使得面积为的直线l恰有四条【答案】BCD【分析】根据直线的方程求出与坐标轴的交点坐标，然后求出的面积，作出函数的图象，利用数形结合，可确定的值的情况，即可判断各选项的正误.【详解】由题意知，直线与轴、轴交点的坐标分别为，，所以，作出其图象如图所示，由图可知，当时，有两解；当时，有三解；当时，有四解.故选：BCD【点睛】关键点点睛：本题通过三角形面积的求解，结合函数的图象，确定取不同值时的解的个数，从而确定直线的条数，解题的关键是求出的面积，并能准确的作出函数的图象.8．（多选题）（2020·商河县第一中学高二期中）已知直线，，，以下结论正确的是（）A．不论为何值时，与都互相垂直；B．当变化时，与分别经过定点和C．不论为何值时，与都关于直线对称D．如果与交于点M，则的最大值是【答案】ABD【分析】由两直线垂直的判定方法可知A正确；根据直线过定点的求解方法可知B正确；设上一点，其关于对称的点不在上，知C错误；联立两直线方程可求得，利用两点间距离公式表示出，根据函数最值的求法可求得的最大值，知D正确.【详解】对于A，恒成立，恒成立，A正确；对于B，对于直线，当时，恒成立，则过定点；对于直线，当时，恒成立，则恒过定点，B正确；对于C，在上任取点，关于直线对称的点的坐标为，代入方程知：不在上，C错误；对于D，联立，解得：，即，，即的最大值是，D正确.故选：ABD.【点睛】思路点睛：本题D选项考查了两点间距离最值的求解，解题基本思路是能够将两点间的距离表示为关于某一变量的函数的形式，利用函数最值的求解方法求得结果.9．（2020·江苏马坝高中）在平面直角坐标系中，点在直线上，则的最小值为__________，此时P点的坐标为_____________.【答案】【分析】由题易知，OP的最小值为点到直线的距离，先利用点到直线的距离公式求解OP的最小值，而后再由直线OP垂直于直线得出直线OP的斜率为2，进而得到，代入直线中即可得到点P的坐标.【详解】∵在平面直角坐标系中，点在直线上，∴OP的最小值为点到直线的距离，∴，此时直线OP垂直于直线，而直线的斜率为，所以直线OP的斜率为2，所以有，即，将代入直线中可得：，所以点P的坐标为.故答案为：；.10．（2020·浙江省杭州第二中学高二期中）已知的顶点的坐标为，为其角平分线，点在边上，关于点的对称点在上，则点的坐标为________，所在直线的方程为________．【答案】【分析】根据关于对称，利用中点坐标公式构造方程可求得点坐标；由两点连线斜率公式求得，利用直线夹角公式可构造方程求得，由此得到直线方程.【详解】关于对称，是的中点，设，，解得：，，，，即，解得：直线的方程为，即.故答案为：；.11．（2021·嘉兴市第五高级中学高二期中）已知动点在直线上，过点作互相垂直的直线，分别交轴、轴于、两点，为线段的中点，为坐标原点，则的最小值为_______.【答案】【分析】设，过点作互相垂直的直线，设为，，，求出A,B两点坐标，根据中点坐标公式求出M，利用向量的坐标运算即可得，根据二次函数求最值即可.【详解】设，，，，，故.,所以当时，故答案为：12.（2020·天津南开中学高二期中）光线沿直线入射到直线后反射，则反射光线所在直线的方程为___________________.【答案】【分析】求得直线与直线的交点的坐标，然后求出直线上的点关于直线的对称点的坐标，进而可求得直线的方程，即为反射光线所在直线的方程.【详解】联立，解得，则直线与直线的交点为.设直线上的点关于直线的对称点为，线段的中点在直线上，则，整理得.直线的斜率为，直线与直线垂直，则，整理得.所以，，解得，即点.所以，反射光线所在直线的斜率为，因此，反射光线所在直线的方程为，即.故答案为：.13．（2018·四川雅安市·雅安中学高二期中（文））已知直线．（1）求证：无论为何实数，直线恒过一定点；（2）若直线过点，且与轴负半轴、轴负半轴围成三角形面积最小，求直线的方程．【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）解方程组，可得定点的坐标；（2）设直线的方程为，分析可得，求出该直线与两坐标轴的交点坐标，可得出三角形面积关于的关系式，结合基本不等式可求得的最小值，利用等号成立可求得的值，即可得出直线的方程.【详解】（1）证明：将直线的方程化为，解方程组，解得，故直线恒过定点；（2）由题意可知，直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，令，可得，令，可得，由已知可得，解得，所以，三角形面积为，当且仅当时，等号成立，此时直线的方程为，即.14．（2020·大连市红旗高级中学高二期中）已知直线方程为.（1）证明：直线恒过定点；（2）为何值时，点到直线的距离最大，最大值为多少?（3）若直线分别与轴，轴的负半轴交于两点，求面积的最小值及此时直线的方程.【答案】（1）证明见解析；（2）时，距离最大，最大值为；（3）面积的最小值为，此时直线方程为.【分析】（1）整理直线方程可得方程组，解方程组可求得定点坐标；（2）易知当定点与连线垂直时，点到直线距离最大；求出方程后，利用直线垂直关系可构造方程求得；利用两点间距离公式可求得最大值；（3）利用直线方程可坐标，并确定的取值范围，利用表示出，可得一个分式型的函数，通过换元法可表示出，由二次函数最值的求解方法可求得所求面积最小值，并求得的值，由此可得直线方程.【详解】（1）由直线方程整理可得：，由得：，直线恒过定点；（2）由（1）知：直线恒过定点，则当与直线垂直时，点到直线距离最大，又所在直线方程为：，即，当与直线垂直时，，解得：；则最大值；（3）由题意知：直线斜率存在且不为零，令得：，即；令得：，即；又位于轴的负半轴，，解得：；，令，则，，，，，则当，即时，，，此时直线的方程为：.15．（2020·上海市金山中学高二期中）在平面直角坐标系中，已知射线：，：．过点作直线分别交射线于点A，B．（1）当的中点在直线上时，求直线的方程；（2）当的面积取最小值时，求直线的方程；（3）当取最小值时，求直线的方程．【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）设，，根据的中点在直线上求出，利用斜率公式求出直线的斜率，再由点斜式可求出直线的方程；（2）设直线的方程为，求出的坐标，利用求出面积关于的解析式，再根据基本不等式求最值可得和直线的方程；（3）利用（2）中的坐标求出、，得到关于的函数关系式，再换元利用基本不等式求出取最小值时的，从而可得直线的方程.【详解】（1）设，，则的中点为，因为的中点在直线上，所以，即，所以直线的斜率，所以直线的方程为，即.（2）设直线的方程为，联立，得，所以，联立，得，，所以，所以，因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为，此时，直线的方程为，即.（3）由（2）知，，，所以，令，则，当且仅当，即时，取得最大值，取得最小值，此时直线的方程为，即.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.16．（2020·北京市平谷区第五中学高二期中）已知直线和的交点为．（1）若直线经过点且与直线平行，求直线的方程；（2）若直线经过点且与x轴，y轴分别交于A，B两点，P为线段AB的中点，求的面积（其中O为坐标原点）．【答案】（1）；（2）30【分析】（1）先求出交点P的坐标和直线的斜率，再用点斜式求直线的方程；（2）先求出A、B两点的坐标，再利用三角形的面积公式，求得的面积．【详解】解：（1）由，解得：，可得直线和的交点为，由于直线l3的斜率为，故过点P且与直线平行的直线l的方程为，即；（2）由题意知：直线m的斜率存在且不为零，设直线m的斜率为k，则直线m的方程为，由于直线m与x轴，y轴分别交于A，B两点，且为线段AB的中点，故：，，解得，故，故的面积为.17．（2020·浙江高二期中）已知两条直线，相交于点.（1）求点的坐标；（2）在上取点，过点作直线交直线于点（在的下方），若的面积为，求直线的方程.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）联立直线与的方程，解方程组即可求解；（2）设点坐标为，利用三角形面积可求出点到直线的距离，再利用点到直线的距离公式列方程可得的值，由点，的坐标即可得直线的方程.【详解】（1）将两直线方程联立得，，解得，所以点的坐标为；（2）由题意可知点在直线上，设点坐标为，根据两点间的距离公式可得，，设点到直线的距离为，则，，所以，根据点到直线的距离公式可得：，即，所以或，因为点在的下方，所以，点坐标为，所以直线的斜率为：，所以直线的方程为即.18．（2020·上海市嘉定区第一中学高二期中）设直线与直线，为实数（1）若，求，之间的距离:（2）当时，若光线沿直线照射到直线上后反射，求反射光线所在的直线的方程.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由两条直线平行可构造方程组求得，从而得到方程，利用平行直线间距离公式可求得结果；（2）联立与方程，得到交点坐标，利用到角公式可求得斜率，由直线点斜式方程可整理得到结果.【详解】（1），，解得：，，即，与之间的距离；（2）当时，，设与交于点，由得：，；与关于直线对称，设斜率为，则，解得：，方程为：，即.19．（2020·浙江诸暨中学高二期中）在中，已知（1）若直线过点且点到的距离相等，求直线的方程