2024-2025学年吉林省洮北区九校联考高一上学期期中测数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1吉林省洮北区九校联考2024-2025学年高一上学期期中数学测试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】“，”的否定是“，”.故选：B.2.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由不能推出，但由必有，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.3.已知集合，，则中元素的个数为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】由，，则，即中元素的个数为.故选：C.4.若函数，且，则（）A.B.0C.D.1【答案】B【解析】，.故选：B.5.若一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值集合为（）A. B.C. D.或【答案】A【解析】依题意，一元二次不等式对一切实数都成立，所以，解得，所以的取值集合为.故选：A.6.设，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，，所以，则，而，易知，所以，且，所以.故选：A.7.若函数的定义域为，则函数的定义域为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为函数的定义域为，则，由，解得，所以函数的定义域为.故选：D.8.已知函数满足对任意的，恒成立，则函数的值域是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题设在定义域上递增，所以，而在上递增，故其值域是.故选：A.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知集合或，，且是的真子集，则的取值可能为（）A.3 B. C.3.5 D.6【答案】BCD【解析】因是的真子集，若，则，解得，符合题意；若，则，解得，故需使或，解得或；综上所述：或.故选：BCD.10.下列结论正确的是（）A.若是奇函数，则必有且B.函数在定义域上单调递减C.是定义在R上的偶函数，当时，，则当时，D.若在R上是增函数，且，，则【答案】CD【解析】对于A，当且时，，其定义域为，又，则是奇函数，所以当奇函数时，不一定有，故A错误；对于B，对于，，，则，所以在不单调递减，故B错误；对于C，因为是定义在上的偶函数，当时，，所以当时，，则，故C正确；对于D，因为，，则，即，则，因为在上是增函数，所以，，则，故D正确.故选：CD.11.已知实数满足，且，则的值可以为（）A. B.7 C. D.5【答案】AB【解析】令，由题意，且，得，且，则，当且仅当，即时等号成立，由，解得，此时，故A正确；由，故CD错误；B项，由方程组，又，解得，故B正确.故选：AB.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数的定义域为______．【答案】【解析】由题可得，解得且，所以函数的定义域为.13.已知甲地下停车库收费标准如下：（1）停车不超过1小时免费；（2）超过1小时且不超过3小时，收费5元；（3）超过3小时且不超过6小时，收费10元；（4）超过6小时且不超过9小时，收费15元；（5）超过9小时且不超过12小时，收费18元；（6）超过12小时且不超过24小时，收费24元．小林在2024年10月7日10：22将车停入甲车库，若他在当天18：30将车开出车库，则他需交的停车费为______．乙地下停车库的收费标准如下：每小时2元，不到1小时按1小时计费．若小林将车停入乙车库（停车时长不超过24小时），要使得车停在乙车库比甲车库更优惠，则小林停车时长的最大值为______．【答案】157【解析】小林在2024年10月7日10：22将车停入甲车库，在当天18：30将车开出车库，则停车时长为8小时8分钟，满足超过6小时且不超过9小时，所以需交停车费15元；设小林的停车时长为小时，则在乙车库需交停车费为元，根据题意知当停车时长超过9小时后，乙车库停车比甲车库停车更贵，当停车时长超过6小时且不超过9小时，要使得乙车库停车比甲车库停车更优惠，则，解得，所以小林的停车时长最大值为7小时.14.已知函数，，，.对于任意的，存在，使得，则的取值范围是______．【答案】【解析】因为，，所以，又对于任意的，存在，使得，则，又，，当时，，所以，解得，当时，，所以，解得，综上，的取值范围是，四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合，.（1）当时，求；（2）若中整数元素的个数为3，写出的一个值.解：（1），当时，，故.（2），，因为中整数元素的个数为3，故的整数为，故，故.所以的一个值可以为（答案不唯一）.16.已知幂函数的图象经过点.（1）求的解析式.（2）设函数.①判断的奇偶性；②判断在上的单调性，并用定义加以证明.解：（1）依题意，设幂函数，则，解得，所以.（2）①为奇函数，理由如下：由（1）得，，则其定义域为，关于原点对称，又，所以函数为奇函数；②在上单调递减，证明如下：任取，且，则，因为，所以，所以，即，所以函数在上单调递减.17.已知，．（1）比较与的大小；（2）若，求的最小值；（3）若，求的取值范围．解：（1），∴a.（2），由，得，即，解得或（舍去），可得，当且仅当时等号成立，所以的最小值为49.（3）设函数，，任取，且，则，，且，，，，即，所以函数是上的增函数.，由，，.所以的取值范围为.18.已知函数的定义域为，，且.（1）求的值；（2）求的值；（3）讨论函数最小值.解：（1）因为，令，则，又，有，故.（2）令，有，即，得，令，有，即，得，令，有，即，得，令，有，令，有，则，联立，解得，所以.（3）由（2）得，，其图象开口向上，对称轴为，又，当，即时，在上单调递增，则；当，即时，在上单调递减，则；当，即时，.19.笛卡尔积是集合论中的一个基本概念，由法国数学家笛卡尔首次引入.笛卡尔积在计算机科学、组合数学、统计学等领域中有广泛的应用.对于非空数集，定义且，将称为“与的笛卡尔积”.（1）若，，求.（2）若集合是有限集，将的元素个数记为.已知是非空有限数集，，且对任意的集合恒成立，求的取值范围，并指明当取到最值时，和满足的关系式及应满足的条件.解：（1）因，，则，，故.（2）设，则（*），，则当且仅当时，等号成立；因对任意集合恒成立，故得，即；当时，，即，则由（*）可得，则，故吉林省洮北区九校联考2024-2025学年高一上学期期中数学测试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】“，”的否定是“，”.故选：B.2.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由不能推出，但由必有，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.3.已知集合，，则中元素的个数为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】由，，则，即中元素的个数为.故选：C.4.若函数，且，则（）A.B.0C.D.1【答案】B【解析】，.故选：B.5.若一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值集合为（）A. B.C. D.或【答案】A【解析】依题意，一元二次不等式对一切实数都成立，所以，解得，所以的取值集合为.故选：A.6.设，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，，所以，则，而，易知，所以，且，所以.故选：A.7.若函数的定义域为，则函数的定义域为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为函数的定义域为，则，由，解得，所以函数的定义域为.故选：D.8.已知函数满足对任意的，恒成立，则函数的值域是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题设在定义域上递增，所以，而在上递增，故其值域是.故选：A.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知集合或，，且是的真子集，则的取值可能为（）A.3 B. C.3.5 D.6【答案】BCD【解析】因是的真子集，若，则，解得，符合题意；若，则，解得，故需使或，解得或；综上所述：或.故选：BCD.10.下列结论正确的是（）A.若是奇函数，则必有且B.函数在定义域上单调递减C.是定义在R上的偶函数，当时，，则当时，D.若在R上是增函数，且，，则【答案】CD【解析】对于A，当且时，，其定义域为，又，则是奇函数，所以当奇函数时，不一定有，故A错误；对于B，对于，，，则，所以在不单调递减，故B错误；对于C，因为是定义在上的偶函数，当时，，所以当时，，则，故C正确；对于D，因为，，则，即，则，因为在上是增函数，所以，，则，故D正确.故选：CD.11.已知实数满足，且，则的值可以为（）A. B.7 C. D.5【答案】AB【解析】令，由题意，且，得，且，则，当且仅当，即时等号成立，由，解得，此时，故A正确；由，故CD错误；B项，由方程组，又，解得，故B正确.故选：AB.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数的定义域为______．【答案】【解析】由题可得，解得且，所以函数的定义域为.13.已知甲地下停车库收费标准如下：（1）停车不超过1小时免费；（2）超过1小时且不超过3小时，收费5元；（3）超过3小时且不超过6小时，收费10元；（4）超过6小时且不超过9小时，收费15元；（5）超过9小时且不超过12小时，收费18元；（6）超过12小时且不超过24小时，收费24元．小林在2024年10月7日10：22将车停入甲车库，若他在当天18：30将车开出车库，则他需交的停车费为______．乙地下停车库的收费标准如下：每小时2元，不到1小时按1小时计费．若小林将车停入乙车库（停车时长不超过24小时），要使得车停在乙车库比甲车库更优惠，则小林停车时长的最大值为______．【答案】157【解析】小林在2024年10月7日10：22将车停入甲车库，在当天18：30将车开出车库，则停车时长为8小时8分钟，满足超过6小时且不超过9小时，所以需交停车费15元；设小林的停车时长为小时，则在乙车库需交停车费为元，根据题意知当停车时长超过9小时后，乙车库停车比甲车库停车更贵，当停车时长超过6小时且不超过9小时，要使得乙车库停车比甲车库停车更优惠，则，解得，所以小林的停车时长最大值为7小时.14.已知函数，，，.对于任意的，存在，使得，则的取值范围是______．【答案】【解析】因为，，所以，又对于任意的，存在，使得，则，又，，当时，，所以，解得，当时，，所以，解得，综上，的取值范围是，四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合，.（1）当时，求；（2）若中整数元素的个数为3，写出的一个值.解：（1），当时，，故.（2），，因为中整数元素的个数为3，故的整数为，故，故.所以的一个值可以为（答案不唯一）.16.已知幂函数的图象经过点.（1）求的解析式.（2）设函数.①判断的奇偶性；②判断在上的单调性，并用定义加以证明.解：（1）依题意，设幂函数，则，解得，所以.（2）①为奇函数，理由如下：由（1）得，，则其定义域为，关于原点对称，又，所以函数为奇函数；②在上单调递减，证明如下：任取，且，则，因为，所以，所以，即，所以函数在上单调递减.17.已知，．（1）比较与的大小；（2）若，求的最小值；（3）若，求的取值范围．解：（1），∴a.（2），由，得，即，解得或（舍去），可得，当且仅当时等号成立，所以的最小值为49.（3）设函数，，任取，且，则，，且，，，，即，所以函数是上的增函数.，由，，.所以的取值范围为.18.已知函数的定义域为，，且.（1）求的值；（2）求的值；（3）讨论函数最小值.解：（1）因为，令，则，又，有，故.（2）令，有，即，得，令，有，即，得，令，有，即，得，令，有，令，有，则，联立，解得，所以.（3）由（2）得，，其图象开口向