2024-2025学年黑龙江省龙东联盟高一上学期10月月考数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1黑龙江省龙东联盟2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，A错误；，元素与集合不能用符号，B错误；根据子集的定义，有，C正确；集合不是集合中的元素，不能用符号，D错误．故选：C.2.集合的真子集的个数是（）A.3 B.4 C.7 D.8【答案】A【解析】由题知，所以集合的真子集的个数是．故选：A.3.已知，则下列不等式正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】取，，，则，故A错误；取，，，则，故B错误；取，，则，故C错误；因为，所以，所以，故D正确．故选：D.4.已知集合，，若．则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题可知或，，由，可得，所以．故选：B.5.已知正数满足，则的最小值为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】，当且仅当，时取等号．故选：B.6.“关于的不等式的解集为R”的一个必要不充分条件是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】当时，恒成立；当时，由题意，得解得，综上，实数的取值范围为，则“关于的不等式的解集为R”的一个必要不充分条件是．故选：C.7.某健身沙龙开设了游泳、跑步、骑车三项运动，会员中有44人参加游泳运动，42人参加跑步运动，38人参加骑车运动，其中同时参加游泳、跑步、骑车三项运动的有10人，没有参加任何运动的有20人，若健身沙龙共有会员100名，则只参与两个运动项目的有（）A.24人 B.26人 C.36人 D.38人【答案】A【解析】设只参加游泳和跑步的有人，只参加骑车和游泳的有人，只参加跑步和骑车的有人，由题意画出Venn图，如图所示，则只参加游泳的有：人，只参加跑步的有：人，只参加骑车的有：人，所以参加运动的有：人，由题意得，解得，所以只参与两个运动项目的有24人．故选：A.8.若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则正数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】不等式可化为，①时，不等式的解集为，不合题意；②当时，不等式的解为，且，若不等式的解集中恰好有3个整数，则，解得；③当时，不等式的解为，且，若不等式的解集中恰好有3个整数，则，解得．综上可知，正数的取值范围为或．故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列命题中为真命题的是（）A.，B.，C.若，则“”是“”的充要条件D.若，则“是无理数”是“是无理数”的充要条件【答案】ABD【解析】因为，所以，，故A正确；取，则，所以，，故B正确；当时，显然成立，故C错误；因为是有理数，所以“是无理数”是“是无理数”的充要条件，故D正确．故选：ABD.10.给定非空集合，如果对于任意，（与可以相等，也可以不相等），都有，，，则称集合是一个闭集合．则（）A.集合是闭集合B.已知集合是闭集合，若，则C.存在只含有101个元素的闭集合D.若集合是闭集合，且，则【答案】ABD【解析】由两个偶数的和、差、积都是偶数，得集合是闭集合，故A正确；集合为闭集合，则必有，若，则有，，故B正确；设集合中有101个元素，则除了0外还有非零元素，由B选项可知，显然集合必定有无数个元素，故C错误；由C选项可知，若，则必有，可得，故D正确．故选：ABD.11.已知关于的不等式的解集为，则（）A.B.C.的最大值为1D.当时，设关于的方程的解分别为，则【答案】BC【解析】对于A，由题意知即则，显然当时，，故A错误；对于B，，即，故B正确；对于C，，又（当且仅当时取等号），所以，故C正确；对于D，方程可化为，整理得，解得，，则，当时，，故D错误.故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.命题“，”的否定是______．【答案】，【解析】命题“，”的否定是“，”．13.已知集合，，若，则实数的取值范围为______．【答案】或【解析】由题知，集合为一次函数上的点构成的集合，集合为反比例函数上的点构成的集合，若，则方程有非零解，整理得，则，解得或．14.已知，，满足，若存在实数，使得恒成立，则的最小值为______．【答案】6【解析】因为，，所以，即，得，所以，当且仅当时等号成立．由，得，整理得，即，所以．因为存在实数，使得恒成立，所以，即的最小值为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合，．（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围．解：（1）由，得或，由，得，所以或．（2）由，得．①当，即时，，满足，符合题意．②当，即时，若满足，则有，解得．综上所述，实数取值范围为．16.已知，．（1）若有且只有一个为真，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．解：（1）由，得；当时，由，得．若有且只有一个为真命题，则真假，或假真，当真假时，解得；当假真时，解得，综上，实数的取值范围为或．（2）由，得．因为是的充分不必要条件，则且等号不同时成立，解得，所以实数的取值范围为．17.一墙一文化，一村一风景．在美丽乡村创建中，墙绘依托其公共性、视觉冲击等特点担负美化乡村、宣传乡村的使命．如图所示，某乡村拟建一绘画墙，在墙面上画三幅大小相同的矩形图画，每一幅画的面积为9600平方厘米，要求图画上四周空白的宽度为2厘米，每幅图画之间的空隙的宽度为2厘米．设绘画墙的长和宽分别为厘米，厘米．（1）求关于的关系式；（2）为了节约成本，应该如何设计绘画墙的尺寸，使得绘画墙墙面的面积最小？解：（1）由题意，知每一幅矩形图画的长为厘米，宽为厘米，则，整理得．（2）由（1）知绘画墙墙面的面积，则，由基本不等式，有，当且仅当时取等号．故，此时，故当绘画墙墙面的长为248厘米，宽为124厘米时，绘画墙面的面积最小．18.已知二次函数.（1）若二次函数的图象与轴相交于两点，与轴交于点，且的面积为3，求实数的值；（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）求关于的不等式的解集.解：（1）令，则有，得两点的坐标分别为，令，得点的坐标为，故的面积为，解得或.（2）不等式可化为，若不等式恒成立，则必有解得，故若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为.（3）不等式可化为，①当时，不等式的解集为或，②当时，不等式的解集为，③当时，不等式的解集为，④当时，不等式的解集为．19.已知集合.（1）判断3，20，25是否是集合中的元素，并说明理由；（2）若，，证明：；（3）证明：存在无穷多个完全平方数属于集合（若一个数能表示成某个整数的平方的形式.则称这个数为完全平方数）.解：（1）由，知5是集合中最小的元素，故3不是集合中的元素；由，，知20，25是集合中的元素.（2）由，，设，，，，，，，，则，①若，有，，可得；②若，有，又由，有，有，可得，，可得，由上知，若，，则.（3）设，且，由.又，，，假设，有，又由，有，可得，又由，，得为有理数，又由为无理数，与矛盾，故有，由上可知，又因为为完全平方数，且有无数多个，所以存在无穷多个完全平方数属于集合.黑龙江省龙东联盟2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，A错误；，元素与集合不能用符号，B错误；根据子集的定义，有，C正确；集合不是集合中的元素，不能用符号，D错误．故选：C.2.集合的真子集的个数是（）A.3 B.4 C.7 D.8【答案】A【解析】由题知，所以集合的真子集的个数是．故选：A.3.已知，则下列不等式正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】取，，，则，故A错误；取，，，则，故B错误；取，，则，故C错误；因为，所以，所以，故D正确．故选：D.4.已知集合，，若．则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题可知或，，由，可得，所以．故选：B.5.已知正数满足，则的最小值为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】，当且仅当，时取等号．故选：B.6.“关于的不等式的解集为R”的一个必要不充分条件是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】当时，恒成立；当时，由题意，得解得，综上，实数的取值范围为，则“关于的不等式的解集为R”的一个必要不充分条件是．故选：C.7.某健身沙龙开设了游泳、跑步、骑车三项运动，会员中有44人参加游泳运动，42人参加跑步运动，38人参加骑车运动，其中同时参加游泳、跑步、骑车三项运动的有10人，没有参加任何运动的有20人，若健身沙龙共有会员100名，则只参与两个运动项目的有（）A.24人 B.26人 C.36人 D.38人【答案】A【解析】设只参加游泳和跑步的有人，只参加骑车和游泳的有人，只参加跑步和骑车的有人，由题意画出Venn图，如图所示，则只参加游泳的有：人，只参加跑步的有：人，只参加骑车的有：人，所以参加运动的有：人，由题意得，解得，所以只参与两个运动项目的有24人．故选：A.8.若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则正数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】不等式可化为，①时，不等式的解集为，不合题意；②当时，不等式的解为，且，若不等式的解集中恰好有3个整数，则，解得；③当时，不等式的解为，且，若不等式的解集中恰好有3个整数，则，解得．综上可知，正数的取值范围为或．故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列命题中为真命题的是（）A.，B.，C.若，则“”是“”的充要条件D.若，则“是无理数”是“是无理数”的充要条件【答案】ABD【解析】因为，所以，，故A正确；取，则，所以，，故B正确；当时，显然成立，故C错误；因为是有理数，所以“是无理数”是“是无理数”的充要条件，故D正确．故选：ABD.10.给定非空集合，如果对于任意，（与可以相等，也可以不相等），都有，，，则称集合是一个闭集合．则（）A.集合是闭集合B.已知集合是闭集合，若，则C.存在只含有101个元素的闭集合D.若集合是闭集合，且，则【答案】ABD【解析】由两个偶数的和、差、积都是偶数，得集合是闭集合，故A正确；集合为闭集合，则必有，若，则有，，故B正确；设集合中有101个元素，则除了0外还有非零元素，由B选项可知，显然集合必定有无数个元素，故C错误；由C选项可知，若，则必有，可得，故D正确．故选：ABD.11.已知关于的不等式的解集为，则（）A.B.C.的最大值为1D.当时，设关于的方程的解分别为，则【答案】BC【解析】对于A，由题意知即则，显然当时，，故A错误；对于B，，即，故B正确；对于C，，又（当且仅当时取等号），所以，故C正确；对于D，方程可化为，整理得，解得，，则，当时，，故D错误.故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.命题“，”的否定是______．【答案】，【解析】命题“，”的否定是“，”．13.已知集合，，若，则实数的取值范围为______．【答案】或【解析】由题知，集合为一次函数上的点构成的集合，集合为反比例函数上的点构成的集合，若，则方程有非零解，整理得，则，解得或．14.已知，，满足，若存在实数，使得恒成立，则的最小值为______．【答案】6【解析】因为，，所以，即，得，所以，当且仅当时等号成立．由，得，整理得，即，所以．因为存在实数，使得恒成立，所以，即的最小值为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合，．（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围．解：（1）由，得或，由，得，所以或．（2）由，得．①当，即时，，满足，符合题意．②当，即时，若满足，则有，解得．综上所述，实数取值范围为．16.已知，．（1）若有且只有一个为真，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．解：（1）由，得；当时，由，得．若有且只有一个为真命题，则真假，或假真，当真假时，解得；当假真时，解得，综上，实数的取值范围为或．（2）由，得．因为是的充分不必要条件，则且等号不同时成立，解得，所以实数的取值范围为．17.一墙一文化，一村一风景．在美丽乡村创建中，墙绘依托其公共性、视觉冲击等特点担负美化乡村、宣传乡村的使命．如图所示，某乡村拟建一绘画墙，在墙面上画三幅大小相同的矩形图画，每一幅画的面积为9600平方厘米，要求图画上四周空白的宽度为2厘米，每幅图画之间的空隙的宽度为2厘米．设绘画墙的长和宽分别为厘米，厘米．（1）求关于的关系式；（2）为了节约成本，应该如何设计绘画墙的尺寸，使得绘画墙墙面的面积最小？解：（1）由题意，知每