2024-2025学年福建省部分学校教学联盟高二上学期入学适应性检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建省部分学校教学联盟2024~2025学年高二上学期入学适应性检测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点坐标是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标为.故选：C.2.已知，，且，则的值为（

）A.6 B.10 C.12 D.14【答案】C【解析】因为，所以，解得，故选：C.3.在中，三个内角的对边分别是，若，则（）A. B. C. D..【答案】B【解析】由，则，，即，解得.故选：B.4.已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b值分别是（）A.，3 B.，2 C.1，3 D.，2【答案】D【解析】因为，，，所以，，因为A，B，C三点共线，所以存在实数，使，所以，所以，解得.故选：D.5.如图，空间四边形中，，，，点M在上，且，点N为中点，则等于（）A. B.C. D.【答案】B【解析】.故选：B.6.已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】对于A，设，则，所以共面，不能构成空间的一个基底，故A错误；对于B，设，则，无解，则不共面，能构成空间的一个基底，故B正确；对于C，设，则，则共面，不能构成空间的一个基底，故C错误；对于D，设，则，则共面，不能构成空间的一个基底，故D错误；故选：B.7.如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底在同一平面内的两个观测点与，现测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则该铁塔的高度约为（）（参考数据：，，，）A.米 B.米 C.米 D.米【答案】C【解析】在中，，则，，由正弦定理，可得，在中，可得.所以该铁塔的高度约为米．故选：C.8.平面四边形ABCD中，，，，，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，，，可得，故，又，所以，以为直径作圆，则，，，四点共圆，如图所示，故点的轨迹是以为弦，圆周角为的劣弧（不含，两点），则，又表示在上的投影，由图可知，，，故（此时点在劣弧的中点位置），即的最小值为．故选：D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分.9.如图，在底面为等边三角形的直三棱柱中，，，，分别为棱，的中点，则（）A.平面BC.异面直线与所成角的余弦值为D.平面与平面的夹角的正切值为【答案】ABD【解析】选项A：如图连接交于，连接，由题意可知为的中点，又为的中点，故，又平面，平面，故平面，故A正确；选项B：由题意为等边三角形，为的中点，故,又棱柱为直三棱柱，故，又，平面，平面，故平面，又平面，故，故B正确；选项C：如图建立空间直角坐标系，则，，，因，故A3,0,0所以，，设异面直线与所成角为，则故C错误；选项D：由题意平面的一个法向量为，，，，设平面的法向量为，则，即，设，则，，故，设平面与平面的夹角为，则，故，故，故D正确，故选：ABD.10.中，角所对的边为下列叙述正确的是（）A.若，则一定是锐角三角形B.若，则一定是等边三角形C.若，则D.若，则【答案】BC【解析】对于A选项，在中，因为，又，所以，即为锐角，但题中没有告诉最大，所以不一定是锐角三角形，故A错误；对于B选项，，由正弦定理得，整理得，即一定是等边三角形，故B正确；对于C选项，因为，在0,π单调递减，所以，故C正确；对于D选项，由，得，所以，由余弦定理可得，，当且仅当时，等号成立，则当，时，，即角可以大于，故D错误；故选：BC．11.如图，在棱长为2正方体中，均为所在棱的中点，动点P在正方体表面运动，则下列结论中正确的为（）A.在中点时，平面平面B.异面直线所成角的余弦值为C.在同一个球面上D.，则点轨迹长度为【答案】ACD【解析】对于选项A：取的中点，连接，在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点，易知，平面，在面内，所以，面，面，，所以面，面，所以，连接，是正方形，，因面，面，所以，因为面，面，，所以面，因为面，所以，综上，面，面，又，所以面，面，故平面平面，故A正确；对于选项B：取的中点，连接，则，所以是异面直线所成的角，又，则，故B错误；对于选项C：记正方体的中心为点，则，所以在以为球心，以为半径的球面上，故C正确；对于选项D：因为，且为的中点，所以，故，所以点轨迹是过点与平行的线段，且，所以，故D正确；故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是__________．【答案】【解析】易知向量在向量上的投影向量为.13.若圆锥的底面半径为，侧面积为，则该圆锥的体积为__________【答案】【解析】设圆锥的母线长为，则，解得，因此圆锥的高，所以圆锥的体积.14.榫卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝，在连接部分通过紧密的拼接，使得整个结构能够承受大量的重量，并且具有较高的抗震能力.这其中木楔子的运用，使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，木楔子是一种简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛､木片等.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形是边长为2的正方形，且均为正三角形，则该木楔子的外接球的表面积为__________.【答案】【解析】如图，分别过点作的垂线，垂足分别为，连接，则，故.取的中点，连接，又，则.由对称性易知，过正方形的中心且垂直于平面的直线必过线段的中点，且所求外接球的球心在这条直线上，如图.设球的半径为，则，且，从而，即，当点在线段内（包括端点）时，有，可得，从而，即球心在线段的中点，其半径.当点在线段外时，，解得（舍）.故所求外接球的表面积为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记的内角所对的边分别为，已知（1）求；（2）若是边上一点，且，求的面积．解：（1）因为，则，可得，则，若，则，且B∈0,π，所以；若，则，即，且，所以，但，由正弦定理可得，不合题意；综上所述：.（2）因为，则，在中，由余弦定理可得，即，整理可得，解得或（舍去），则，所以的面积.16.如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，以的中点为球心、为直径的球面交于点．（1）求证平面；（2）求二面角的大小．解：（1）因为平面，平面，平面，所以，，又，，平面，平面，所以平面，又平面，所以，有题意可知，又，平面，平面，所以平面．（2）分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，因平面，平面，所以，因为，所以为中点，故，平面的一个法向量为，，设平面的法向量为，由得，令得，，则，所以，因为二面角是钝二面角，所以二面角的大小为．17.三棱台中，，平面平面ABC，，与交于D．（1）证明：平面；（2）求异面直线与DE的距离．解：（1）三棱台中，，则，有，得，所以，又，所以在平面内，，有，平面平面，所以平面．（2）已知平面平面ABC，平面平面，，平面，所以平面，由平面，得，又平面ABC，平面ABC，所以平面ABC，由平面ABC，得.以B为坐标原点的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图空间直角坐标系．则有，，因为，所以，设向量，且满足：，则有，令，在的投影数量为，异面直线与DE的距离.18.如图，在中，点在边上，且，为边的中点.是平面外的一点，且有.（1）证明：；（2）已知，，，直线与平面所成角的正弦值为.（i）求的面积；（ii）求三棱锥的体积.解：（1）因为E为边AB的中点，所以.又，即，即.，所以.又因为，所以，即.因为平面，所以平面.因为平面，所以.（2）（i）由余弦定理可得，所以，所以.（ii）由（1）可知，平面，所以即为与平面所成角.因为，所以，，所以，得.设到平面的距离为，点到直线的距离为，则.因为，又，所以.19.在空间直角坐标系中，己知向量，点．若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为．（1）若平面，平面，直线为平面和平面的交线，求直线的单位方向向量（写出一个即可）；（2）若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为，其中平面经过点，，平面，平面，求实数m的值；（3）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积和相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小．解：（1）记平面，的法向量为，设直线的方向向量，因为直线为平面和平面的交线，所以，，即，取，则，所以直线的单位方向向量为．（2）设，由平面经过点，，所以，解得，即，所以记平面的法向量为，与（1）同理，与确定的交线方向向量为，所以，即，解得．（3）由集合知，由一个边长是4的正方体和6个高为2的正四棱锥构成，如图所示，，，设几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角为，平面，设平面法向量，平面，设平面法向量，所以，所以几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角为．福建省部分学校教学联盟2024~2025学年高二上学期入学适应性检测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点坐标是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标为.故选：C.2.已知，，且，则的值为（

）A.6 B.10 C.12 D.14【答案】C【解析】因为，所以，解得，故选：C.3.在中，三个内角的对边分别是，若，则（）A. B. C. D..【答案】B【解析】由，则，，即，解得.故选：B.4.已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b值分别是（）A.，3 B.，2 C.1，3 D.，2【答案】D【解析】因为，，，所以，，因为A，B，C三点共线，所以存在实数，使，所以，所以，解得.故选：D.5.如图，空间四边形中，，，，点M在上，且，点N为中点，则等于（）A. B.C. D.【答案】B【解析】.故选：B.6.已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】对于A，设，则，所以共面，不能构成空间的一个基底，故A错误；对于B，设，则，无解，则不共面，能构成空间的一个基底，故B正确；对于C，设，则，则共面，不能构成空间的一个基底，故C错误；对于D，设，则，则共面，不能构成空间的一个基底，故D错误；故选：B.7.如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底在同一平面内的两个观测点与，现测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则该铁塔的高度约为（）（参考数据：，，，）A.米 B.米 C.米 D.米【答案】C【解析】在中，，则，，由正弦定理，可得，在中，可得.所以该铁塔的高度约为米．故选：C.8.平面四边形ABCD中，，，，，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，，，可得，故，又，所以，以为直径作圆，则，，，四点共圆，如图所示，故点的轨迹是以为弦，圆周角为的劣弧（不含，两点），则，又表示在上的投影，由图可知，，，故（此时点在劣弧的中点位置），即的最小值为．故选：D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分.9.如图，在底面为等边三角形的直三棱柱中，，，，分别为棱，的中点，则（）A.平面BC.异面直线与所成角的余弦值为D.平面与平面的夹角的正切值为【答案】ABD【解析】选项A：如图连接交于，连接，由题意可知为的中点，又为的中点，故，又平面，平面，故平面，故A正确；选项B：由题意为等边三角形，为的中点，故,又棱柱为直三棱柱，故，又，平面，平面，故平面，又平面，故，故B正确；选项C：如图建立空间直角坐标系，则，，，因，故A3,0,0所以，，设异面直线与所成角为，则故C错误；选项D：由题意平面的一个法向量为，，，，设平面的法向量为，则，即，设，则，，故，设平面与平面的夹角为，则，故，故，故D正确，故选：ABD.10.中，角所对的边为下列叙述正确的是（）A.若，则一定是锐角三角形B.若，则一定是等边三角形C.若，则D.若，则【答案】BC【解析】对于A选项，在中，因为，又，所以，即为锐角，但题中没有告诉最大，所以不一定是锐角三角形，故A错误；对于B选项，，由正弦定理得，整理得，即一定是等边三角形，故B正确；对于C选项，因为，在0,π单调递减，所以，故C正确；对于D选项，由，得，所以，由余弦定理可得，，当且仅当时，等号成立，则当，时，，即角可以大于，故D错误；故选：BC．11.如图，在棱长为2正方体中，均为所在棱的中点，动点P在正方体表面运动，则下列结论中正确的为（）A.在中点时，平面平面B.异面直线所成角的余弦值为C.在同一个球面上D.，则点轨迹长度为【答案】ACD【解析】对于选项A：取的中点，连接，在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点，易知，平面，在面内，所以，面，面，，所以面，面，所以，连接，是正方形，，因面，面，所以，因为面，面，，所以面，因为面，所以，综上，面，面，又，所以面，面，故平面平面，故A正确；对于选项B：取的中点，连接，则，所以是异面直线所成的角，又，则，故B错误；对于选项C：记正方体的中心为点，则，所以在以为球心，以为半径的球面上，故C正确；对于选项D：因为，且为的中点，所以，故，所以点轨迹是过点与平行的线段，且，所以，故D正确；故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是__________．【答案】【解析】易知向量在向量上的投影向量为.13.若圆锥的底面半径为，侧面积为，则该圆锥的体积为__________【答案】【解析】设圆锥的母线长为，则，解得，因此圆锥的高，所以圆锥的体积.14.榫卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝，在连接部分通过紧密的拼接，使得整个结构能够承受大量的重量，并且具有较高的抗震能力.这其中木楔子的运用，使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，木楔子是一种简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛､木片等.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形是边长为2的正方形，且均为正三角形，则该木楔子的外接球的表面积为__________.【答案】【解析】如图，分别过点作的垂线，垂足分别为，连接，则，故.取的中点，连接，又，则.由对称性易知，过正方形的中心且垂直于平面的直线必过线段的中点，且所求外接球的球心在这条直线上，如图.设球的半径为，则，且，从而，即，当点在线段内（包括端点）时，有，可得，从而，即球心在线段的中点，其半径.当点在线段外时，，解得（舍）.故所求外接球的表面积为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记的内角所对的边分别为，已知（1）求；（2）若是边上一点，且，求的面积．解：（1）因为，则，可得，则，若，则，且B∈0,π，所以；若，则，即，且，所以，但，由正弦定理可得，不合题意；综上所述：.（2）因为，则，在中，由余弦定理可得，即，整理可得，解得或（舍去），则，所以的面积.16.如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，以的中点为球心、为直径的球面交于点．（1）求证平面；（2）求二面角的大小．解：（1）因为平面，平面，平面，所以，，又，，平面，平面，所以平面，又平面，所以，有题意可知，又，平面，平面，所以平面．（2）分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，因平面，平面，所以，因为，所以为中点，故，平面的一个法向量为，，设平面的法向量为，由得，令得，，则，所以，因为二面角是钝二面角，所以二面角的大小为．17.三棱台中，，平面平面ABC，，与交于D．（1）证明：平面；（2）求异面直线与DE的距离．解：（1）三棱台中，，则，有，得，所以，又，所以在平面内，，有，平面平面，所以平面．（2）已知平面平面ABC，平面平面，，平面，所以平面，由平面，得，又平面ABC，平面ABC，所以平面ABC，