辽宁省鞍山市台安县高级中学2025届高三第二次模拟考试数学试卷含解析

辽宁省鞍山市台安县高级中学2025届高三第二次模拟考试数学试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设i为数单位，为z的共轭复数，若，则（）A． B． C． D．2．已知无穷等比数列的公比为2，且，则（）A． B． C． D．3．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且，则该双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．44．在中，D为的中点，E为上靠近点B的三等分点，且，相交于点P，则（）A． B．C． D．5．设等差数列的前项和为，若，则（）A．23 B．25 C．28 D．296．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A． B． C．2 D．7．A． B． C． D．8．下列函数中既关于直线对称，又在区间上为增函数的是()A．. B．C． D．9．如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何?意思是:有一根竹子,原高一丈（1丈=10尺）,现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（）尺.A． B． C． D．10．已知集合，，则（）A． B．C．或 D．11．设，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件12．已知等差数列的前n项和为，且，，若（，且），则i的取值集合是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．的展开式中含的系数为__________．（用数字填写答案）14．从2、3、5、7、11、13这六个质数中任取两个数，这两个数的和仍是质数的概率是________（结果用最简分数表示）15．设，则除以的余数是______.16．设，若函数有大于零的极值点，则实数的取值范围是_____三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知等差数列和等比数列的各项均为整数，它们的前项和分别为，且，.（1）求数列，的通项公式；（2）求；（3）是否存在正整数，使得恰好是数列或中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，说明理由.18．（12分）在中，角的对边分别为，若.（1）求角的大小；（2）若，为外一点，，求四边形面积的最大值.19．（12分）移动支付（支付宝及微信支付）已经渐渐成为人们购物消费的一种支付方式，为调查市民使用移动支付的年龄结构，随机对100位市民做问卷调查得到列联表如下：（1）将上列联表补充完整，并请说明在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为支付方式与年龄是否有关？（2）在使用移动支付的人群中采用分层抽样的方式抽取10人做进一步的问卷调查，从这10人随机中选出3人颁发参与奖励，设年龄都低于35岁（含35岁）的人数为，求的分布列及期望.（参考公式：（其中）20．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数)，直线的参数方程(为参数)，若直线的交点为，当变化时，点的轨迹是曲线（1）求曲线的普通方程；（2）以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，设射线的极坐标方程为，，点为射线与曲线的交点，求点的极径.21．（12分）如图，在直棱柱中，底面为菱形，，，与相交于点，与相交于点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值.22．（10分）设函数.（1）解不等式；（2）记的最大值为，若实数、、满足，求证：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

由复数的除法求出，然后计算．【详解】，∴．故选：A.【点睛】本题考查复数的乘除法运算，考查共轭复数的概念，掌握复数的运算法则是解题关键．2、A【解析】

依据无穷等比数列求和公式，先求出首项，再求出，利用无穷等比数列求和公式即可求出结果。【详解】因为无穷等比数列的公比为2，则无穷等比数列的公比为。由有，，解得，所以，，故选A。【点睛】本题主要考查无穷等比数列求和公式的应用。3、A【解析】

由倾斜角的余弦值，求出正切值，即的关系，求出双曲线的离心率.【详解】解：设双曲线的半个焦距为，由题意又，则，，，所以离心率，故选：A.【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题4、B【解析】

设，则，，由B，P，D三点共线，C，P，E三点共线,可知，,解得即可得出结果.【详解】设，则，，因为B，P，D三点共线，C，P，E三点共线，所以，，所以，.故选:B.【点睛】本题考查了平面向量基本定理和向量共线定理的简单应用,属于基础题.5、D【解析】

由可求，再求公差，再求解即可.【详解】解：是等差数列，又，公差为，，故选：D【点睛】考查等差数列的有关性质、运算求解能力和推理论证能力，是基础题.6、A【解析】由给定的三视图可知，该几何体表示一个底面为一个直角三角形，且两直角边分别为和，所以底面面积为高为的三棱锥，所以三棱锥的体积为，故选A．7、A【解析】

直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．8、C【解析】

根据函数的对称性和单调性的特点，利用排除法，即可得出答案.【详解】A中，当时，，所以不关于直线对称，则错误；B中，，所以在区间上为减函数，则错误；D中，，而，则，所以不关于直线对称，则错误；故选：C.【点睛】本题考查函数基本性质，根据函数的解析式判断函数的对称性和单调性，属于基础题.9、B【解析】如图，已知，，

∴，解得

，∴，解得

.∴折断后的竹干高为4.55尺故选B.10、D【解析】

首先求出集合，再根据补集的定义计算可得；【详解】解：∵，解得∴，∴.故选：D【点睛】本题考查补集的概念及运算，一元二次不等式的解法，属于基础题.11、C【解析】

根据充分条件和必要条件的定义结合对数的运算进行判断即可．【详解】∵a，b∈（1，+∞），∴a＞b⇒logab＜1，logab＜1⇒a＞b，∴a＞b是logab＜1的充分必要条件，故选C．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键．12、C【解析】

首先求出等差数列的首先和公差，然后写出数列即可观察到满足的i的取值集合.【详解】设公差为d，由题知，，解得，，所以数列为，故.故选：C.【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量的求解，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由题意得，二项式展开式的通项为，令，则，所以得系数为．14、【解析】

依据古典概型的计算公式，分别求“任取两个数”和“任取两个数，和是质数”的事件数，计算即可。【详解】“任取两个数”的事件数为，“任取两个数，和是质数”的事件有（2,3），（2,5），（2,11）共3个，所以任取两个数，这两个数的和仍是质数的概率是。【点睛】本题主要考查古典概型的概率求法。15、1【解析】

利用二项式定理得到，将89写成1+88，然后再利用二项式定理展开即可.【详解】，因展开式中后面10项均有88这个因式，所以除以的余数为1.故答案为：1【点睛】本题考查二项式定理的综合应用，涉及余数的问题，解决此类问题的关键是灵活构造二项式，并将它展开分析，本题是一道基础题.16、【解析】

先求导数，求解导数为零的根，结合根的分布求解.【详解】因为，所以，令得，因为函数有大于0的极值点，所以，即.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值点问题，极值点为导数的变号零点，侧重考查转化化归思想.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）；（3）存在，1.【解析】

（1）利用基本量法直接计算即可；（2）利用错位相减法计算；（3），令可得，，讨论即可.【详解】（1）设数列的公差为，数列的公比为，因为，所以，即，解得，或（舍去）.所以.（2），，所以，所以.（3）由（1）可得，，所以.因为是数列或中的一项，所以，所以，因为，所以，又，则或.当时，有，即，令.则.当时，；当时，，即.由，知无整数解.当时,有，即存在使得是数列中的第2项，故存在正整数，使得是数列中的项.【点睛】本题考查数列的综合应用，涉及到等差、等比数列的通项，错位相减法求数列的前n项和，数列中的存在性问题，是一道较为综合的题.18、（1）（2）【解析】

（1）根据正弦定理化简等式可得，即；（2）根据题意，利用余弦定理可得，再表示出，表示出四边形，进而可得最值.【详解】（1），由正弦定理得：在中，，则，即，，即.（2）在中，又，则为等边三角形，又，-当时，四边形的面积取最大值，最大值为.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基础题．19、（1）列联表见解析，在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为支付方式与年龄有关；（2）分布列见解析，期望为.【解析】

（1）根据题中所给的条件补全列联表，根据列联表求出观测值，把观测值同临界值进行比较，得到能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为支付方式与年龄有关.（2）首先确定的取值，求出相应的概率，可得分布列和数学期望.【详解】（1）根据题意及列联表可得完整的列联表如下：35岁以下（含35岁）35岁以上合计使用移动支付401050不使用移动支付104050合计5050100根据公式可得，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为支付方式与年龄有关.（2）根据分层抽样，可知35岁以下（含35岁）的人数为8人，35岁以上的有2人，所以获得奖励的35岁以下（含35岁）的人数为，则的可能为1，2，3，且，，，其分布列为123.【点睛】独立性检验依据的值结合附表数据进行判断，另外，离散型随机变量的分布列，在求解的过程中，注意变量的取值以及对应的概率要计算正确，注意离散型随机变量的期望公式的使用，属于中档题目.20、（1）；（2）【解析】

（1）将两直线化为普通方程，消去参数，即可求出曲线的普通方程；（2）设Q点的直角坐标系坐标为,求出，代入曲线C可求解.【详解】（1）直线的普通方程为,直线的普通方程为联立直线,方程消去参数k,得曲线C的普通方程为整理得.（2）设Q点的直角坐标系坐标为,由可得代入曲线C的方程可得，解得（舍），所以点的极径为.【点睛】本题主要考查了直线的参数方程化为普通方程，普通方程化为极坐标方程，极径的求法，属于中档题.21、（1）证明见解析（2）【解析】

（1）要证明平面，只需证明，即可：（2）取中点，连，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，分别求出与平面的法向量，再利用计算即可.【详解】（1）∵底面为菱形，∵直棱柱平面.∵平面..平面；（2）如图，取中点，连，以为原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系：，点，设平面的法向量为，，有，令，得又，设直线与平面所成的角为，所以故直线与平面所成的角的正弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的证明以及向量法求线面角的正弦值，考查学生的运算求解能力，本题解题关键是正确写出点的坐标.22、（1）（2）证明见解析【解析】

（1）采用零