河南省商丘开封名校联考2024-2025学年高一上学期11月期中考试 数学 含解析

2024～2025学年度高一上学期期中联考试卷数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章～第三章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.函数的定义域为（）A. B.C. D.3.已知幂函数的图象经过点，则＝（）A. B.9 C. D.4.设、，“且”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件5.如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定是偶函数的是A. B.C. D.6.若，，则的取值范围是（）A. B.C. D.7.已知，则的解析式为（）A. B.C. D.8.已知定义在上的函数f（x）满足对，，都有，若，则不等式的解集为（）A B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列各组函数中表示同一个函数是（）A.， B.，C， D.，10.已知关于的不等式的解集为或x>2，则下列说法正确的是（）AB.C.关于的不等式的解集为或D.若，则关于的不等式的解集为或x>211.已知，，且，则下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.命题“，”的否定是_____________13.已知满足，且，则______.14.若函数在区间上的最大值为M，最小值为m，则__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合（1）若，请写出集合所有子集；（2）若集合，且，求的取值范围.16.已知.（1）若成立，求实数的取值范围，（2）若和中至多有一个成立，求实数的取值范围.17.已知函数．（1）简述图象可由的图象经过怎样平移得到；（2）证明：的图象是中心对称图形，并计算的值．18.某公司由于业务的快速发展，计划在其仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间高为4米，底面积为108平方米，且背面靠墙的长方体形状的贵重物品存储室.由于此贵重物品存储室的后背靠墙，无需建造费用，某工程队给出的报价如下：存储室前面新建墙体的报价为每平方米1500元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米1000元，屋顶和地面以及其他报价共计36000元，设存储室的左、右两面墙的长度均为米，该工程队的总报价为元（1）请用表示；（2）求该工程队的总报价的最小值，并求出此时的值.19.若函数在区间上的值域恰为，则称区间为的一个“倒域区间”.已知定义在上的奇函数，当时，.（1）求的解析式；（2）若关于的方程在上恰有两个不相等的根，求的取值范围；（3）求函数在定义域内的所有“倒域区间”.2024～2025学年度高一上学期期中联考试卷数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章～第三章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意先求，再求交集即可得解.【详解】因为集合，所以，．故选：A．2.函数的定义域为（）A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】由偶次根式的被开方数大于或等于零，分母不为零求解即可.【详解】根据题意得，解得或.故选：D.3.已知幂函数的图象经过点，则＝（）A. B.9 C. D.【答案】D【解析】【分析】求出幂函数的解析式，再代入求值.【详解】设，由的图象经过点，得，解得，即，所以.故选：D4.设、，“且”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】当且时，，则“且”“”，另一方面，当时，可取，，则“且”“”，因此，“且”是“”的充分不必要条件.故选：A.5.如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定是偶函数的是A. B.C. D.【答案】B【解析】【详解】试题分析：由题意得，因为函数是定义在上的奇函数，所以，设，则，所以函数g(x)为偶函数，故选B．考点：函数奇偶性的判定．6.若，，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】将用和表示，然后根据不等式的性质求解范围即可.【详解】因为，又，，所以，，所以，即的取值范围是.故选：A.7.已知，则的解析式为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用换元法求函数解析式，注意函数的定义域即可.【详解】令，由，则，即.故选：C.8.已知定义在上的函数f（x）满足对，，都有，若，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】变形给定的不等式，构造函数并确定单调性，再利用单调性求解不等式.【详解】由，得，令，则，因此函数在上单调递增，由，得，由，得，即，则，解得，所以原不等式的解集为.故选：C【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用函数单调性定义判断单调性是解题的关键.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列各组函数中表示同一个函数的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】BD【解析】【分析】选项BD，两个函数的定义域和对应关系相同，两个函数是同一函数；选项AC，两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数.【详解】当两个函数的定义域和对应关系相同时，两个函数就是同一函数.A.，，函数的定义域为，函数的定义域为，所以两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数；B.，，两个函数定义域都是，对应关系相同，所以两个函数是同一函数；C.，，函数的定义域为，函数的定义域为，所以两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数；D.，，两个函数的定义域都是，对应关系相同，所以两个函数是同一函数.故选：BD10.已知关于的不等式的解集为或x>2，则下列说法正确的是（）A.B.C.关于的不等式的解集为或D.若，则关于的不等式的解集为或x>2【答案】AC【解析】【分析】利用二次不等式的解集与系数的关系可判断A选项；利用根与系数的关系可判断B选项；利用一元二次不等式的解法可判断C选项；设，利用一元二次不等式的解法可判断D选项.【详解】对于A选项，因为关于的不等式的解集为或，则，A对；对于B选项，由题意可知，关于的方程的两根分别为、，由韦达定理可得，可得，所以，，则，B错；对于C选项，由B选项可知，由可得，可得，即，解得或，所以，关于的不等式的解集为或，C对；对于D选项，不妨设，其中，则，，，由可得，可得，即，即，解得，此时，关于的不等式的解集为，D错.故选：AC.11.已知，，且，则下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】由重要不等式可得出，可判断A选项；利用基本不等式可得出，再利用基本不等式及不等式的性质可判断B选项；分析可知，关于的二次方程有实根，由可判断C选项；由基本不等式可得出，再利用立方和公式可判断D选项.【详解】因为，，且，对于A选项，由重要不等式可得，则，当且仅当时，即当时，等号成立，A错；对于B选项，由重要不等式可得，可得，当且仅当时，即当时，等号成立，所以，，当且仅当时，等号成立，B对；对于C选项，由题意可知，关于的二次方程有实根，则，即，解得，又因为，所以，，C对；对于D选项，由可得，由基本不等式可得，可得，即，因为，，则，所以，，当且仅当时，等号成立，所以，，D对.故选：BCD.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.命题“，”的否定是_____________【答案】，【解析】【分析】根据全称命题的否定求解.【详解】命题“，”的否定是“，”.故答案为：，.13.已知满足，且，则______.【答案】4【解析】【分析】令得，再令，即可求解.详解】令得，所以，令，得.故答案为：4.14.若函数在区间上的最大值为M，最小值为m，则__________.【答案】4【解析】【分析】将函数解析式化为，构造奇函数，由函数的性质可得，进而得函数的最值.【详解】因为，令，，则，又因为，所以函数为奇函数，因为奇函数的图象关于原点对称，所以函数区间上的最大值和最小值之和为0，即，所以.故答案为：4.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合（1）若，请写出集合所有子集；（2）若集合，且，求的取值范围.【答案】（1）、、、（2）【解析】【分析】（1）当时，求出集合，即可写出集合的所有子集；（2）对集合中的元素个数进行分类讨论，结合可得出关于实数的等式或不等式，综合可得出实数的取值范围.【小问1详解】解：当时，，所以，集合的所有子集有：、、、.【小问2详解】解：因为，分以下几种情况讨论：①当时，对于方程，，解得；②当集合只有一个元素时，对于方程，，可得，此时，，此时，；③当集合有两个元素时，因为，则，即，即关于的方程的两根分别为、，所以，，无解.综上所述，实数的取值范围是.16.已知.（1）若成立，求实数的取值范围，（2）若和中至多有一个成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）根据题意可得，根据存在性问题分析求解；（2）取反面：当和均成立时，求参数的取值范围，进而可得结果.【小问1详解】若成立，因为时，，可得，所以实数的取值范围为.【小问2详解】和中至多有一个成立，考虑其反面：和均成立，若成立，因为时，，可得；若成立时，，解得或；若均成立时，可得，所以至多有一个成立时，则.综上上述：实数的取值范围为.17.已知函数．（1）简述图象可由的图象经过怎样平移得到；（2）证明：的图象是中心对称图形，并计算的值．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析，4048.【解析】【分析】（1）变形函数，再利用平移变换求出变换过程.（2）利用中心对称的定义计算推理得证；再利用对称性求出函数值及和.【小问1详解】由于，所以的图象可由的图象先向左平移一个长度单位，再向上平移一个长度单位得到．【小问2详解】因为，所以的图象关于中心对称；则，，…，，所以．18.某公司由于业务的快速发展，计划在其仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间高为4米，底面积为108平方米，且背面靠墙的长方体形状的贵重物品存储室.由于此贵重物品存储室的后背靠墙，无需建造费用，某工程队给出的报价如下：存储室前面新建墙体的报价为每平方米1500元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米1000元，屋顶和地面以及其他报价共计36000元，设存储室的左、右两面墙的长度均为米，该工程队的总报价为元（1）请用表示；（2）求该工程队的总报价的最小值，并求出此时的值.【答案】（1）（2）总报价的最小值为180000元，并求出此时的值为9米.【解析】【分析】（1）求出前面墙的长度，再根据题意可得出关于的表达式；（2）利用基本不等式可求出的最小值，利用等号成立的条件求出的值，即可得出结论.【小问1详解】前面墙的长度为米，总报价，其中.【小问2详解】，当且仅当，即时等号成立，所以总报价的最小值为180000元，并求出此时的值为9米.19.若函数在区间上的值域恰为，则称区间为的一个“倒域区间”.已知定义在上的奇函数，当时，.（1）求的解析式；（2）若关于的方程在上恰有两个不相等的根，求的取值范围；（3）求函数在定义域内的所有“倒域区间”.【答案】（1）（2）（3）和【解析】【分析】（1）根据奇函