安徽省蚌埠市A层高中2024-2025学年高一上学期11月期中考试 数学 含解析

安徽省蚌埠市A层学校2024-2025学年高一上学期第二次联考（11月）数学试题命题单位：蚌埠第二中学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（）A. B.C. D.2.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.幂函数在上单调递增，则图象过定点（）A. B. C. D.4.若命题，使得为假命题，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.5.若，则的大小关系是（）A. B.C. D.6.著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数f（x）的图象大致是A B.C. D.7.定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足，且，则不等式的解集为（）A B. C. D.8.若对，使不等式成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，则下列结论正确的是（）A.函数的定义域为B.函数的值域为C.D.函数为减函数10.若，且，则下列各式一定成立的是（）A. B. C. D.11.函数在上有定义，若对任意，有，则称在上具有性质．下列命题正确的有（）A.函数在上具有性质B.若在上具有性质，则在上也具有性质C.若上具有性质，且在处取得最大值1，则D.对任意，若在上具有性质，则恒成立三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.____________．13.已知函数，若，且，则的取值范围是__________.14.已知定义在上的函数满足，且当时，，则不等式的解集为____________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合，.（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围．16.已知是定义在R上的奇函数．（1）求的值；（2）若存在区间，使得函数在上的值域为，求实数的取值范围．17.杭州亚运会田径比赛10月5日迎来收官，在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌.人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段.现一60kg的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，假设其稳定阶段作速度为的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力（表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大变为的减速运动（表示该阶段所用时间）.疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力已知该运动员初始体力为不考虑其他因素，所用时间为（单位：h），请回答下列问题：（1）请写出该运动员剩余体力关于时间的函数；（2）该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少?18.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.18世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，并进一步指出：对数源出于指数．然而对数的发明先于指数，这成为数学史上的珍闻．（1）试利用对数运算性质计算的值；（2）已知为正数，若，求的值；（3）定义：一个自然数的数位的个数，叫做位数，例如23的位数是2，2024的位数是4．试判断的位数．（注）19.列奥纳多达芬奇（LeonardodaVinci，1452-1519）是意大利文艺复兴三杰之一．他曾提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数表达式，其中为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相反地，双曲正弦函数的函数表达式为．（1）证明：；（2）求不等式：的解集；（3）函数的图象在区间上与轴有2个交点，求实数的取值范围．安徽省蚌埠市A层学校2024-2025学年高一上学期第二次联考（11月）数学试题命题单位：蚌埠第二中学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】确定集合，然后根据文氏图的概念及集合的运算求解．【详解】由题意，阴影部分为.故选：D．2.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】判断条件间的推出关系，根据充分必要性的定义判断即可.【详解】当：若异号，即，显然成立；若或，均有成立；所以充分性成立；当：若，，显然不成立，故必要性不成立.所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A3.幂函数在上单调递增，则的图象过定点（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用幂函数的概念知系数必为1，再由幂函数递增知幂指数大于0，从而解得，再利用指数函数必过点来求出函数过的定点.【详解】因为幂函数在上单调递增，所以m2−2m−2=1m>0，解得，所以故令得，所以所以的图象过定点.故选：D.4.若命题，使得为假命题，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】问题转化为当时，恒成立，利用二次函数的性质，求出在上的最大值，解不等式求实数的取值范围即可.【详解】因为为假命题，所以为真命题，即当时，恒成立.因为函数图象的对称轴为，所以当时，，所以，即，解得或，即实数的取值范围为.故选：D.5.若，则的大小关系是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】结合对数运算性质及对数函数的单调性比较的大小，结合基本不等式及对数函数单调性比较的大小，可得结论.详解】，而，且．所以，故．故选：D.6.著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数f（x）的图象大致是A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】首先根据奇偶性的判断可知f（x）为偶函数，排除A，再通过x1进行特值判断即可得解.【详解】函数的定义域为{x|x±1}，f（﹣x）f（x），则函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除A，当x1时，f（x）0恒成立，排除B，D，故选：C.【点睛】本题考查了函数图像的判断，有如下几个方法：（1）根据奇偶性判断；（2）根据特值判断；（3）根据单调性和趋势判断.7.定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足，且，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】构造新函数，根据题意得出函数在(0,+∞)内单调递减；把不等式转化为，结合单调性和定义域即可求解.【详解】不妨设任意的，，因为，则，所以，所以在(0,+∞)内单调递减.不等式等价于，又，所以等价于，因为在(0,+∞)内单调递减，所以，即不等式的解集为.故选：B.8.若对，使不等式成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意可得，利用对勾函数的单调性可求得，从而将问题再转化为恒成立，然后分情况求的取值范围.【详解】，即对，使不等式成立，∴，∵对勾函数在上单调递增，．恒成立，的对称轴，∴，解得，或，无解，或，无解，综上，即的取值范围为．故选：C．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，则下列结论正确的是（）A.函数的定义域为B.函数的值域为C.D.函数为减函数【答案】BC【解析】【分析】根据分母不为求出函数的定义域，即可判断A；再将函数解析式变形为，即可求出函数的值域，从而判断B；根据指数幂的运算判断C，根据函数值的特征判断D.【详解】对于函数，则，解得，所以函数的定义域为，故A错误；因为，又，当时，则，当时，则，所以函数的值域为，故B正确；又，故C正确；当时，当时，所以不是减函数，故D错误.故选：BC10.若，且，则下列各式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】先由题意得到，进而分析得与，从而判断BC，再举反例排除AD，从而得解.【详解】因为，所以，则，又由于，所以，，，则，故B正确；因为，所以，故C正确；当，，时，可，故A错误；当，，时，，故D错误故选：BC.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，举反例排除AD，从而得解.11.函数在上有定义，若对任意，有，则称在上具有性质．下列命题正确的有（）A.函数在上具有性质B.若在上具有性质，则在上也具有性质C.若在上具有性质，且在处取得最大值1，则D.对任意，若在上具有性质，则恒成立【答案】ACD【解析】【分析】由性质的定义判断A选项；举反例判断B选项；C选项，由可证得；D选项，由性质的定义证明.【详解】对A，，对任意时，，满足，A选项正确；对B，函数在上满足性质，证明方法同A选项，对于函数，，，不满足，在上不满足性质，故B选项不成立；对C：在上，在处取得最大值1，由，，故，所以对任意的，故C选项成立；对D，对任意，有，，故D选项成立．故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.____________．【答案】-2【解析】【分析】根据对数运算法则化简即可求得结果.【详解】．故答案为：-2.13.已知函数，若，且，则的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】画出函数图象，分析出，，故，，结合函数单调性得到值域，求出取值范围.【详解】画出的图象，当时，单调递增，且，当时，单调递增，且，令，解得，令，则，若，且，则，，所以，，当时，取得最小值，最小值为，又时，，时，，故.故答案为：14.已知定义在上的函数满足，且当时，，则不等式的解集为____________．【答案】或【解析】【分析】赋值求出，令，且，根据时，，得到，然后根据函数单调性解不等式即可.【详解】因为，令，则，令，则，令，且，则，整理得，因为，则，可得，所以，即，可知在定义域在上单调递增，又因为，即，可得，即，由在定义域在上单调递增，可得，解得或，所以不等式的解集为或．故答案为：或四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合，.（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分析可知，，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围；（2）先考虑当时，求出实数的取值范围，分、两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围，再利用补集思想可得出当时实数的取值范围.【小问1详解】由可知，所以，，解得，因此，实数取值范围是．【小问2详解】考虑当时，实数的取值范围，则，若，满足，则，解得；若，因为，所以，解得，所以时，的取值范围是，所以时，的取值范围是mm>1.16.已知是定义在R上的奇函数．（1）求的值；（2）若存在区间，使得函数在上的值域为，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用奇函数的性质求出并验证即可.（2）探讨函数的单调性，结合函数在区间上的值域，构造方程有两个不相等的正实根，再利用一元二次方程实根分布求出范围.【小问1详解】因为是定义在R上的奇函数，有，得，则有，函数定义域为R，有，即是奇函数，所以；【小问2详解】由（1）得，令，因为在R上递增，所以在R上递减，所以在R上递增，因为函数在上的值域为，所以，所以，因为，所以关于的方程有两个不相等的正实根，所以，解得，即的取值范围为17.杭州亚运会田径比赛10月5日迎来收官，在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌.人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段.现一60kg的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，假设其稳定阶段作速度为的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力（表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大变为的减速运动（表示该阶段所用时间）.疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力已知该运动员初始体力为不考虑其他因素，所用时间为（单位：h），请回答下列问题：（1）请写出该运动员剩余体力关于时间的函数；（2）该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少?【答案】（1）（2）时有最小值，最小值为.【解析】【分析】（1）先写出速度关于时间的函数，进而求出剩余体力关于时间的函数；（2）分和两种情况，结合函数单调性，结合基本不等式，求出最值.【小问1详解】由题可先写出速度关于时间的函数，代入与公式可得解得；【小问2详解】①稳定阶段中单调递减，此过程中最小值；②疲劳阶段，则有，当且仅当，即时，“”成立，所以疲劳阶段中体力最低值为，由于，因此，在时，运动员体力有最小值.18.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.18世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，并进一步指出：对数源出于指数．然而对数的发明先于指数，这成为数学史上的珍闻．（1）试利用对数运算性质计算的值；（2）已知为正数，若，求的值；（3）定义：一个自然数的数位的个数，叫做位数，例如23的位数是2，2024的位数是4．试判断的位数．（注）【答案】（1）（2）（3）610【解析】【分析】（1）利用对数的运算性质计算即可；（2）令，则，根据对数与指数的互化可得，利用对数的换底公式化简原式即可；（3）利用对数的运算性质可得，结合位数的定义即可得出结果.【小问1详解】原式；【小问2详解】由题意知，令，则，所以，所以；【小问3详解】设，则，又，所以，所以，则，所以的位数为610．19.列奥纳多达芬奇（LeonardodaVinci，1452-1519）是意大利文艺复兴三杰之一．他曾提出：固定项链的两端