浙江省钱塘联盟2024-2025学年高一上学期11月期中联考数学试题 含解析

浙江省钱塘联盟2024-2025学年高一上学期11月期中联考数学试题命题人：萧山五中马春春；审题人：德清一中周凤琴考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式得集合B，利用交集概念即可得出答案.【详解】故，，即C正确.故选：C2.设，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】求绝对值不等式、一元二次不等式的解集，根据解集的包含关系即可判断充分、必要关系.【详解】由，可得，即；由，可得或，即；∴是的真子集，故“”是“”的充分而不必要条件.故选：A3.命题“，”否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】全称量词命题的否定是特称量词命题，把任意改为存在，把结论否定.【详解】“，”的否定是“，”.故选：D4.下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】B【解析】【分析】对于AC：举反例说明即可；对于BD：根据不等式性质分析判断.【详解】对于选项A：例如，则，故A错误；对于选项B：因为，则，且，所以，故B正确；对于选项C：例如，满足题意，但，故C错误；对于选项D：若，则，所以，故D错误；故选：B.5.已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据单调性解不等式即可，注意函数的定义域.【详解】因为是定义在上的增函数，且，则，解得，所以的取值范围是.故选：A.6.在同一坐标系内，函数和的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用一次函数与幂函数的性质进行判断.【详解】对于A，由函数的图象可知，由的图象可知，互相矛盾，错误；对于B，由函数的图象可知，由的图象可知，互相矛盾，错误；对于C，由函数的图象可知，由的图象可知且，符合题意，正确；对于D，由函数的图象可知，由的图象可知且，互相矛盾，错误.故选：C7.正数，满足，则的最小值为（）．A.4 B.7 C.8 D.9【答案】D【解析】【分析】将变形为，再用基本不等式“1”的用法求解即可.【详解】解：因为为正数，且，所以有，所以，当且仅当时，等号成立.所以的最小值为.故选：D.【点睛】本题考查基本不等式“1”的妙用求最值问题，属于中档题.8.已知函数，记，则下列关于函数的说法不正确的是（）A.当时，B.函数的最小值为C.函数在上单调递减D.若关于x的方程恰有两个不相等的实数根，则或【答案】C【解析】【分析】根据题中定义，结合分式不等式的解法、数形结合思想、一次函数与反比例函数的单调性逐一判断即可.【详解】由，或，由，或，所以，因此选项A正确；当时，，当时，，当时，当时，，所以函数的最小值为，选项B正确；当时，显然单调递增，选项C不正确；函数图象如下图所示：因为关于x的方程恰有两个不相等的实数根，所以函数的图象与直线有两个不同的交点，因此有或，因此选项D正确，故选：C【点睛】关键点睛：利用数形结合思想、转化法判断方程解的问题是解题的关键二、多项选择题（每小题6分，共计18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）9.下列函数中，是偶函数且值域为的有（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】对于AD：根据值域即可排除；对于BC：根据偶函数的对于以及函数值域分析判断.【详解】对于选项A：因为，即值域不为，故A错误；对于选项B：因为的定义域为R，且，可知为偶函数，又因为，当且仅当时，等号成立，可知的值域为，故B正确；对于选项C：因为的定义域为，且，可知为偶函数，又因为，当且仅当时，等号成立，可知的值域为，故C正确；对于选项D：当时，，即值域不为，故D错误；故选：BC.10.受亚洲飞人苏炳添勇夺东京奥运百米决赛第四并破亚洲记录的影响，甲、乙、丙三名短跑运动员同时参加了一次百米赛跑，所用时间分别为，，.甲有一半的时间以速度米/秒奔跑，另一半的时间以速度米/秒奔跑；乙全程以速度米/秒奔跑；丙有一半的路程以速度米/秒奔跑，另一半的路程以速度米/秒奔跑.其中，.则下列结论中一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】分别列出，，的表达式，根据基本不等式逐一判断即可．【详解】由题意知：，所以，，，由基本不等式可得，所以，所以故，当且仅且时等号全部成立.故A选项正确，B选项错误又由，故易知，即C项正确；，，取，此时，所以D选项不一定成立，故选：AC．11.设函数，则下列结论正确的有（）A.的值域是；B任意且，都有；C.任意且，都有；D.规定，其中，则.【答案】ABD【解析】【分析】判断出函数的奇偶性和单调性就能判断AB；分别取特殊值代入即可验证C；对D由递推式得到的表达式即可判断.【详解】对于A：当时，单调递增，所以有，因为，所以，因此当时，；因为是奇函数，所以当时，，所以的值域是，故A正确；对于B：函数是增函数，由A可知：奇函数在时，单调递增，∴在时也单调递增，所以该函数是实数集上的增函数，故B正确；对于C：当任意且时，令，则有，，显然，因此不成立，故C不正确；对于D：当时，，，于是有，因此，故D正确，故选：ABD.非选择题部分三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.12.计算：____________.【答案】##0.5【解析】【分析】根据指数幂运算求解即可.【详解】由题意可得：.故答案为：.13.已知是定义域为的偶函数，在上为单调增函数，且，则不等式的解集为______．【答案】【解析】【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化，即可得到不等式的解集．【详解】由题意可得在上为单调减函数，且，则时，时，时或；由可得或，则或，故不等式的解集为．故答案为：．14.已知，集合，集合，若中恰有两个整数，则实数的取值范围是____________.【答案】【解析】【分析】分类讨论整数解的正负性，结合二次函数性质列式求解.【详解】因为的图象开口向上，对称轴为，且，当中有负整数时，若负整数小于等于−2，根据对称性可知：也符合题意，此时整数集不止2个，所以恰有2个整数只能为，则，解得；当中没有负整数时，则恰有2个整数，则，解得；综上所述：实数的取值范围是.故答案为：.四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合为全体实数集，集合或，．（1）若，求和；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）或，.（2）【解析】【分析】（1）利用补集及并集的定义运算即得；（2）分，讨论，根据条件列出不等式，解之即得.【小问1详解】当时，，所以或，又或x>5，所以；【小问2详解】由题可得，当时，则，即时，此时满足，②当时，则，所以，综上，实数的取值范围为.16.已知函数．（1）当时，函数在上单调，求b的取值范围；（2）若的解集为，求关于x的不等式的解集．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据在区间上的单调性列不等式，由此求得的取值范围.（2）根据的解集求得的关系式，从而求得不等式的解集.【小问1详解】当时，的对称轴为，由于函数在上单调，所以或，解得或，所以的取值范围是.【小问2详解】由于的解集为，所以，即，所以，所以不等式，即，所以，，解得或，所以不等式的解集为.17.习近平总书记一直重视生态环境保护，十八大以来多次对生态文明建设作出重要指示，在不同场合反复强调“绿水青山就是金山银山”，随着中国经济的快速发展，环保问题已经成为一个不容忽视的问题.某污水处理厂在国家环保部门的支持下，引进新设备，新上了一个从生活垃圾中提炼化工原料的项目.经测算，该项目月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可以近似地表示为，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的化工原料的价值为400元.（1）当时，判断该项目能否获利，如果获利，求出最大利润.（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？【答案】（1）该项目会获利，当时，S取得最大值（2）当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低【解析】【分析】（1）当时，由项目获利为求解；（2）根据题意求的解析式，结合二次函数以及基本不等式求解.【小问1详解】当时，该项目获利为S，则，当时，则，可得，因此该项目会获利，当时，S取得最大值.【小问2详解】由题意可知，生活垃圾每吨平均处理成本为：，当时，，所以当时，取得最小值240；当时，，当且仅当，即时，取得最小值200，因为，所以当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．18.已知是定义在上的函数，若满足且.（1）求的解析式；（2）判断单调性，并利用定义证明你的结论；（3）设函数，若对都有成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）函数在上为单调递增，证明见详解（3）【解析】【分析】（1）根据奇函数定义和函数值求得，，即可得解析式；（2）根据题意结合函数单调性的定义分析证明；（3）根据题意分析可知，结合单调性可知在1,2上有解，利用参变分离结合存在性问题分析求解.【小问1详解】因为，可知为奇函数，则，即，且，即，则，且，可知为奇函数，即，符合题意，所以.【小问2详解】函数在上为单调递增，证明如下：对任意，且，则，因为，则，，可得，即，所以函数在上为单调递增.【小问3详解】对都有成立，可知，由（2）可知在单调递增，则，可得在1,2上有解，只需在1,2上有解，因为在内单调递减，在上单调递增，且，可知在1,2上的最小值为，可得，解得，即实数的取值范围为.19.对于数集M，定义M的特征函数：，对于两个数集，定义.（1）已知集合，（i）求的值，并用列举法表示；（ii）若用表示有限集合M所包含的元素个数，已知集合X是正整数集的子集，求的最小值（无需证明）；（2）证明：.【答案】（1）①；；②4（2）证明见详解【解析】【分析】（1）分析可知当元素与数集的关系相同时，，不同时.①结合题意直接运算即可；②根据给定的定义分析得出取最小值的条件，即可求得答案