浙江省9+1高中联盟2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题 含解析

2024学年第一学期浙江省9+1高中联盟高二年级期中考试数学命题：新昌中学赵洋审题：富阳中学李小平桐乡高级中学李亮考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷；4.参加联批学校的学生可关注“启望教育”公众号查询个人成绩分析.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分别解指数不等式和二次不等式得到集合，再由集合交集的定义得到结果.【详解】解，∴，则，解，∴，则，∴.故选：B2.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据复数的四则运算求解.【详解】由，则，可得.故选：C.3.已知向量，，若，则（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】由向量垂直得到向量数量积为0，建立方程，解得的值.【详解】∵，∴，∴.故选：A.4.从两位数中随机选择一个数，则它的平方的个位数字为1的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依题意找出个位数字为1或9的总个数除以两位数的总个数即可得出结果.【详解】两位数的平方个位数字为1的数字需满足个位数字为1或9，这样的两位数字共个；两位数共有个，所以它的平方的个位数字为1的概率是.故选：D.5.已知函数，，且，则函数可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可先得到和，再代入得到，由选项解析式代入化简，得到结论.【详解】由题意得：，∵，∴，∴，若，则，舍去；若，则，舍去；若，则，成立；若，则，舍去.故选：C.6.已知双曲线：，过点的直线与双曲线交于，两点.若点为线段的中点，则直线的方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】运用点差法，设，代入双曲线方程，作差变形，由是线段AB的中点，求得直线的斜率，再用点斜式可得直线方程.【详解】设，代入双曲线方程，可得，作差，因为点为线段的中点，所以所以，即，所以直线的方程是，即，经检验，直线满足题意.故选：A.7.设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】我们先根据已知条件求出的值，再利用向量夹角公式求出.【详解】已知向量是单位向量，则，即，因为向量与的夹角为，根据向量夹角公式可得：，即，联立方程，将代入可得：，解得，当时，；当时，，因为向量是单位向量，则，即，又因为向量与的夹角为，根据向量夹角公式可得：，即，联立方程，将代入可得：，解得，当时，；当时，，根据向量夹角公式，，当时，；当时，，所以.故选：B.8.已知函数，，则方程的实根个数是（）A.2 B..3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】作出函数的草图，数形结合，分析两个函数图象交点个数，可得方程实根的个数.【详解】如图：函数在上单调递增，且，.在上，因为，，，所以方程在上有1解；又，所以是方程的1解；又，，所以方程在上有1解；当时，由图可知，恒成立，所以1,+∞上，方程无解.所以方程实根的个数为：3.故选：B二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分.9.若直线：与直线：平行，则实数可能为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】BC【解析】【分析】两直线平行的条件：对于直线和直线，若两直线平行，则，且或者.我们先根据求出可能的值，再检验是否满足后面的条件.【详解】对于直线和直线.由可得：,解得或者.当时：直线，直线.此时，两直线平行.当时：直线，直线.此时，两直线平行.故选：BC.10.下列从总体中抽得的样本是简单随机抽样的是（）A.总体编号为1～75，在0～99之间产生随机整数.若或，则舍弃，重新抽取B.总体编号为1～75，在0～99之间产生随机整数，除以75的余数作为抽中的编号.若余数为0，则抽中75C.总体编号为6001～6879，在1～879之间产生随机整数，把作为抽中的编号D.总体编号为1～712，用软件的命令“sample（1:712，50，replace＝F”）得到抽中的编号【答案】ACD【解析】【分析】根据抽中的可能性是否相等依次判断每个选项得到答案.【详解】对于A：总体编号为1～75，在0～99之间产生随机整数.若或，则舍弃，重新抽取，则编号为1~75可能被抽中，被抽中的可能性相同，故A正确；对于B：总体编号为1～75，在0～99之间产生随机整数，除以75的余数作为抽中的编号.若余数为0，则抽中75.因为1~24，75号与25~74号抽中的可能性不同，所以不是简单随机抽样，故B错误；总体编号为6001~6879，在1~879范围内产生一个随机整数，把作为抽中的编号.每个编号抽中的可能性相同，所以是简单随机抽样，故C正确；由R软件的简单统计功能，“sample（1:712，50，replace＝F”）表示在区间内随机产生50个不重复随机整数，故每个编号抽中的可能性相同，故D正确故选：ACD11.已知椭圆：，直线：，（）A.若直线与椭圆有公共点，则B.若，则椭圆上的点到直线的最小距离为C.若直线与椭圆交于两点，则线段的长度可能为6D.若直线与椭圆交于两点，则线段的中点在直线上【答案】ABD【解析】【分析】可设椭圆上的点为，结合三角函数有界性分析判断AB；对于C：结合椭圆性质分析判断；对于D：利用点差法分析判断.【详解】由椭圆方程可知：，且焦点在x轴上，设椭圆上的点为.对于选项A：若直线与椭圆有公共点，则存在点在直线上，则，可得，故A正确；对于选项B：若，则直线：，可得点到直线距离为，所以椭圆上的点到直线的最小距离为，故B正确；对于选项C：椭圆的最长弦长为长轴长，但直线不可能与y轴重合，所以，故C错误；对于选项D：设Ax1,y1则，，因为在椭圆上，则，两式相减可得，整理可得，即，可得，则，可知点Mx,y在直线上，即线段的中点在直线上，故D正确；故选：ABD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知双曲线：，则双曲线的离心率是______.【答案】##【解析】【分析】利用双曲线方程求出实半轴长、半焦距，进而求出离心率.【详解】双曲线：的实半轴长，虚半轴长，则半焦距，所以双曲线的离心率.故答案为：13.已知圆：，直线，若直线与圆相切，则______.【答案】9或【解析】【分析】由圆心到直线的距离等于半径可得．【详解】由得圆心，半径，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，由点到直线的距离得，解得，故或.故答案为：9或14.在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则四面体的外接球的表面积为______.【答案】【解析】【分析】以为坐标原点，，，为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，根据，，，到球心距离等于半径，求出半径，得到四面体的外接球的表面积【详解】以为坐标原点，，，为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图设四面体的外接球的球心为，半径为.因为，，，，所以解得，，故四面体的外接球的表面积为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记的内角，，的对边分别为，，，已知，（1）求；（2）过点作交于点，是的中点，连接.若，求的长度.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据余弦定理求解即可；（2）解直角三角形得出，再由中线的向量形式平方即可得解.【小问1详解】由题意可知，，由，故，故，又，所以，.【小问2详解】如图，，由（1）可知，，则，，故，因为，所以，所以，即的长度为.16.已知点与点关于直线：对称，圆：（），圆的半径为，且圆与圆交于，两点.（1）求的取值范围；（2）当时，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出点关于直线的对称点为，得到圆方程，再利用两圆位置关系得到关于的不等式组，解之即可得解；（2）先求出当时圆的圆心与半径，从而分析得是以为顶点的等腰三角形，进而利用三角形面积公式即可得解.【小问1详解】设点关于直线的对称点为，则，解得，故圆为，因为圆与圆交于，两点，所以，解得.【小问2详解】当时，圆：，：，故是以为顶点的等腰三角形，由（1）可知，，所以边上的高为，所以的面积为.17.如图，四棱锥中，底面，，，，.（1）证明：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）.【解析】【分析】（1）先证明四边形为矩形.再得到，运用线面平行判定可解.（2）求出两个面的法向量，然后利用面面角的向量公式求解即可.【小问1详解】因为平面，平面ABCD，所以，，由，，得；在中，，所以为正三角形，过作的垂线，垂足为，，有，，所以四边形为矩形.故，平面.平面，所以平面.【小问2详解】以为原点，，，分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，则A0,0,0，，，，.设平面，的法向量分别为m=x,y,z，n=，，，，得，解得；，得，解得；设平面与平面的夹角大小为，则.故平面与平面的夹角的余弦值为.18.已知圆：，点，点是圆A上任意一点.线段的垂直平分线和半径相交于点，与圆A交于，两点，则当点在圆A上运动时，（1）求点的轨迹方程；（2）证明：直线是点轨迹的切线；（3）求面积的最大值.【答案】（1）（2）证明见解析（3）.【解析】【分析】（1）根据题设得到，结合椭圆定义写出轨迹方程即可.（2）设求出直线l的方程，然后与椭圆联立消元，通过判别式等于零得方程有两个相等的根即可，（3）根据面积公式列出关于的表达式，然后根据的有界性求出最值即可【小问1详解】由线段的垂直平分线的性质可知，，故，所以点在以点A，为焦点的椭圆上，其中椭圆的长轴长为8，焦距为AB=4，短轴长，故点的轨迹方程为：.【小问2详解】设，则有：，将代入椭圆：消去整理得，故，即所以，直线是点轨迹的切线；.【小问3详解】由（2）可知，点到直线的距离为，点A到直线距离为，故线段，所以的面积为，当且仅当时，等号成立，所以当时，的面积的最大值为.19.如图，，，垂足分别为，，异面直线，所成角为，，点，点分别是直线，上的动点，且，设线段的中点为.（1）求异面直线与所成角；（2）求的取值范围；（3）求四面体的体积的最大值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）过点作的平行线，过点作的平行线交于点，可得是异面直线与所成的角，再根据几何关系求解即可；（2）思路一：建立空间直角坐标系，求出点的轨迹，进而可得的取值范围；思路二：由空间向量的线性运算可得，进而可得范围.（3）先求得，思路一：设，，根据基本不等式求得，范围，进而可得最大值.思路二：直接根据结合基本不等式求解即可.【小问1详解】如图，过点作的平行线，过点作的平行线交于点，则有是异面直线与所成的角或其补角.因为，，所以，，平面，所以平面，平面，所以，因为，，所以，所以，，所以异面直线与所成的角为.【小问2详解】如图，过的中点分别作，的平行