专题05“三大思维体系”搞定恒能成立问题与零点问题(原卷版)

专题05“三大思维体系”，搞定恒、能成立问题与零点问题目录一重难点题型方法1<思维一：分离参数>1题型一：恒成立问题（一）1题型二：存在性问题（一）3题型三：零点问题（一）5<思维二：带参讨论>7题型四：恒成立问题（二）7题型五：存在性问题（二）8题型六：零点问题（二）9<思维三：数形结合>10题型七：恒成立问题（三）10题型八：存在性问题（三）11题型九：零点问题（三）12<拓展方法>12题型十：恒、能成立的四种混合问题12题型十一：同构问题14题型十二：{min,max}问题16二针对性巩固练习17重难点题型方法<思维一：分离参数>题型一：恒成立问题（一）【典例分析】典例11．（2023·全国·高二专题）若在恒成立，则k的取值范围为（

）A． B． C． D．典例12．（2023·全国·本溪高中校联考模拟预测）已知函数满足，若，，则m的取值范围为（

）A． B．C． D．典例13．（2023·全国·高三专题练习）设函数，曲线恒与x轴相切于坐标原点．(1)求常数b的值；(2)当时，恒成立，求实数a的取值范围；(3)求证：恒成立．典例14．（2023春·湖南湘潭·高二湘潭县一中校考阶段练习）已知函数（其中，为自然对数的底数）．(1)讨论的单调性；(2)当时，，求a的取值范围．【方法技巧总结】1.，；2.，；【变式训练】1．（2023·广东·高三校联考阶段练习）已知函数对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．2．（2023·北京·高三专题练习）已知函数，若对于任意的时，恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2023·山西·校联考模拟预测）设函数．(1)讨论的单调性；(2)若当时，不等式恒成立，求m的取值范围．4．（2023春·山西运城·高二校联考阶段练习）已知函数.(1)若，求函数在处的切线方程；(2)已知，若在上恒成立，求实数的取值范围.题型二：存在性问题（一）【典例分析】典例21．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）若存在，使得关于的不等式成立，则实数的最小值为（

）A．2 B． C． D．典例22．（2022秋·陕西商洛·高三校联考阶段练习）若函数在上存在单调递增区间，则的取值范围是（

）A． B． C． D．典例23．（2023·安徽宿州·统考一模）已知函数（e为自然对数的底数），a，.(1)当时，讨论在上的单调性；(2)当时，若存在，使，求a的取值范围.典例24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝－2alnx－，g(x)＝ax－(2a＋1)lnx－，其中a∈R.(1)若x＝2是函数f(x)的驻点，求实数a的值；(2)当a>0时，求函数g(x)的单调区间；(3)若存在x[，e2]（e为自然对数的底），使得不等式f(x)g(x)成立，求实数a的取值范围．【方法技巧总结】1.，；2.，.【变式训练】1．（2022秋·河南洛阳·高三洛阳市第一高级中学校考阶段练习）已知函数，存在x0>0，使得f（x0）≤0有解，则实数a的取值范围是（）A．（2，＋∞） B．（－∞，－3）C．（－∞，1] D．[3，＋∞）2．（2022秋·江西·高三校联考阶段练习）若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．3．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，当时，函数有极小值0.(1)求函数的解析式；(2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.4．（2022秋·吉林长春·高三长春市第二中学校考阶段练习）已知函数在处取得极值，其中、、为常数．(1)试确定、的值；(2)若存在，不等式有解，求的取值范围．题型三：零点问题（一）【典例分析】典例31．（2023·全国·高二专题练习）已知函数区间内有唯一零点，则不可能取值为（

）A． B． C． D．典例32．（2023·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）若方程有两个不等的实数根，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．典例33．（2023春·河南·高二校联考期末）已知函数，．(1)当时，证明：在上恒成立；(2)若有2个零点，求a的取值范围．典例34．（2023·贵州·统考模拟预测）已知.(1)讨论的单调性；(2)确定方程的实根个数.【方法技巧总结】1.分参，然后构造新函数，利用导数画出新函数的图象，再根据函数与方程把零点问题转化为图象交点问题。【变式训练】1．（2023春·天津静海·高二静海一中校考阶段练习）已知函数有三个零点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．2．（2023春·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）已知函数有两个零点，且存在唯一的整数，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．3．（2023·陕西·校联考模拟预测）已知函数．(1)设．①求曲线在点处的切线方程．②试问有极大值还是极小值？并求出该极值．(2)若在上恰有两个零点，求a的取值范围．4．（2023·安徽安庆·统考二模）已知函数，，..(1)若曲线在点处的切线方程是，求和的值；(2)若，且的导函数恰有两个零点，求的取值范围.<思维二：带参讨论>题型四：恒成立问题（二）【典例分析】典例41．（2023·贵州黔西·校考一模）已知，设函数，若关于x的不等式在上恒成立，则a的取值范围为（

）A．0,e2 B． C． D．典例42．（2023春·四川成都·高二校考阶段练习）已知函数，若对任意恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．典例43．（2023·广东湛江·统考一模）已知函数．(1)证明：函数只有一个零点；(2)在区间上函数恒成立，求a的取值范围．典例44．（2023·陕西·统考一模）已知函数，.(1)若，讨论函数的单调性；(2)若，求证：对，恒成立.【方法技巧总结】1.对于不适合分参的题可进行带参讨论。【变式训练】1．（2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知m，n为实数，，若对恒成立，则的最小值是（

）A． B．0 C．1 D．22．（2022·江苏·高二期末）对，不等式恒成立，则实数取值范围是（

）A．B．C．D．3．（2023·辽宁沈阳·高三校联考学业考试）已知实数，函数，．(1)若不等式恒成立，求a的取值范围；(2)若不等式恒成立，求a的取值范围．4．（2023·广东梅州·统考二模）已知函数，其中．(1)当时，讨论的单调性；(2)当时，恒成立，求实数a的取值范围．题型五：存在性问题（二）【典例分析】典例51．（2022·河南驻马店·河南省驻马店高级中学校考模拟预测）已知e是自然对数的底数．若，使，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．典例52．（2023·江苏宿迁·江苏省沭阳高级中学校考模拟预测）已知函数，为的导函数.(1)讨论的极值；(2)若存在，使得不等式成立，求a的取值范围.【方法技巧总结】1.对于不适合分参的题可进行带参讨论。【变式训练】1．（2023·全国·高二专题练习）当时，不等式有解，则实数m的范围为（

）A． B． C． D．2．（2023·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）已知函数.(1)当时，证明函数只有一个零点.(2)若存在，使不等式成立，求的取值范围.题型六：零点问题（二）【典例分析】典例61．（2023秋·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考期末）已知函数存在零点，则整数的最小值是（

）A． B． C．0 D．1典例62．（2023春·四川成都·高二统考期中）已知函数其中，为的导函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若，试讨论函数在上的零点个数．【方法技巧总结】1.对于不适合分参的题可进行带参讨论。【变式训练】1．（2022春·浙江·高二阶段练习）函数在内存在零点，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2023春·山西·高三校联考阶段练习）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)设函数，若有三个不同的零点，求的取值范围.<思维三：数形结合>题型七：恒成立问题（三）【典例分析】典例71．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知函数，若恒成立，则实数a的最大值为（

）A． B． C．2e D．【方法技巧总结】1.注意不完全分参，进行数形结合；【变式训练】1．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）若存在，使得对于任意，不等式恒成立，则实数的最小值为（

）A． B． C． D．题型八：存在性问题（三）【典例分析】典例81．（2023春·山西运城·高二校联考阶段练习）已知函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【方法技巧总结】1.注意不完全分参，进行数形结合；【变式训练】1．（2021·全国·高三专题练习）已知函数，若存在唯一的整数，使，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．题型九：零点问题（三）【典例分析】典例91．（2023春·福建福州·高二福州三中校考期中）已知函数，若恰有四个不同的零点，则取值范围为（

）A． B． C． D．【方法技巧总结】1.结合嵌套函数进行数形结合；【变式训练】1．（2023·吉林长春·校联考一模）已知函数，若关于x的方程有且仅有四个相异实根，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．<拓展方法>题型十：恒、能成立的四种混合问题【典例分析】典例101．（2023·贵州·校联考二模）已知函数，，对任意，，都有不等式成立，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．典例102．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知函数，若，使得成立，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【方法技巧总结】1.一般地，已知函数，，，.（1）若，，有成立，则；（2）若，，有成立，则；（3）若，，有成立，则；（4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集.【变式训练】1．（2023春·江苏常州·高二常州市北郊高级中学校考阶段练习）已知函数，若，使得成立，则实数a的取值范围是（）A．（，+∞] B．（∞，] C． D．（∞，）2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．题型十一：同构问题【典例分析】典例111．（2023春·上海浦东新·高二上海市建平中学校考阶段练习）若关于x的不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．典例112．（2023·江西·校联考模拟预测）已知有解，则实数a的取值范围为（）A． B．C． D．典例113．（2023春·山东枣庄·高二枣庄八中校考阶段练习）已知函数有两个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．典例114．（2023·广东·统考一模）已知函数.(1)求的极值；(2)当时，，求实数的取值范围.【方法技巧总结】1.指对数的运算性质相关的恒等式：（1）且时，有（2）当且时，有2.结合指数运算和对数运算的法则，可以得到下述结论：（其中）（1）（2）（3）（4）3.结合常用的切线不等式lnxx1，等，可以得到更多的结论：（1）；（2）；【变式训练】1．（2023春·河南郑州·高三安阳一中校联考阶段练习）已知，若不等式在上恒成立，则的取值范围为（

）A．B．C． D．2．（2023秋·浙江杭州·高二杭州市长河高级中学校考期末）已知函数对于任意时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2023春·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）若函数存在零点，则实数的取值范围为（

）A．B．C． D．4．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)已知函数有两个零点，求实数的取值范围．题型十二：{min,max}问题【典例分析】典例121．（2023·江西九江·统考二模）已知函数，．(1)若直线与曲线相切，求a的值；(2)用表示m，n中的最小值，讨论函数的零点个数．【方法技巧总结】1.注意结合函数图象将定义区间进行分类讨论。【变式训练】1．（2023·全国·高三专题练习）函数.(1)求函数在的值域；(2)记分别是的导函数，记表示实数的最大值，记函数，讨论函数的零点个数.针对性巩固练习练习一：恒成立问题（一）1．（2023春·江西·高三校联考开学考试）已知函数在区间上恒小于0，则实数的取值集合是（

）A． B．C． D．2．（2022秋·河南周口·高三校考阶段练习）设函数的导函数为，若对任意的，不等式恒成立，则实数a的最小值为（

）A． B． C． D．3．（2023春·浙江温州·高二校考阶段练习）已知函数．(1)若函数在上为增函数，求的取值范围；(2)若，恒成立，求正整数的值．4．（2022春·四川成都·高二四川师范大学附属中学校考期中）已知，.(1)若是单调函数，求实数的取值范围(2)若不等式对任意成立，求的最大整数解练习二：存在性问题（一）5．（2022春·四川成都·高二树德中学校考阶段练习）已知函数，．若存在，使得，则实数的最小值为（

）A． B． C． D．6．（2021·江苏·高二专题练习）已知函数，若存在，使得成立，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．7．（2022·全国·模拟预测）设函数，为的导函数.，（1）若函数的最大值为0，求实数的值；（2）若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围.8．（2023春·天津和平·高二天津二十中校考阶段练习）已知函数，.(1)求函数的极值；(2)若存在时，使成立，求的取值范围.(3)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.练习三：零点问题（一）9．（2023春·河南洛阳·高二宜阳县第一高级中学校考阶段练习）设为实数，若关于的方程有两个解，则的取值范围为（

）A． B．C． D．10．（2021秋·河南新乡·高三校考阶段练习）若函数有三个零点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．11．（2023春·河南郑州·高二郑州市第二高级中学校考阶段练习）已知函数.(1)求的单调性；(2)若关于的方程在上有两个不相等的零点，求的取值范围.12．（2023秋·上海浦东新·高二上海师大附中校考期末）已知，(1)当时，求函数在点处的切线方程；(2)当时，求函数的单调区间；(3)当时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围．练习四：恒成立问题（二）13．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，且对任意，恒成立，则实数a的取值集合为（

）A． B． C． D．14．（2023春·河南三门峡·高二灵宝市第一高级中学校考阶段练习）已知，不等式对恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．15．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数，．(1)当时，求在处的切线方程；(2)若时，恒成立，求的取值范围．16．（2023·河北保定·统考一模）已知函数．(1)当时，证明：当时，；(2)当时，恒成立，求a的取值范围．练习五：存在性问题（二）17．（2019·湖北荆州·统考三模）设函数，其中，若存在唯一的正整数使得，则的取值范围是（

）A． B． C． D．18．（2021春·四川成都·高二四川师范大学附属中学校考期中）已知函数，且.(1)讨论函数的单调性.(2)若存在使得成立，求实数的取值范围.练习六：零点问题（二）19．（2022春·陕西渭南·高二统考期末）若函数在定义域内有两个零点，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．20．（2023·河北石家庄·统考一模）已知函数.(1)当时，求的极小值.(2)若有两个零点，求实数的取值范围.练习七：恒成立问题（三）21．（2021秋·江西赣州·高三赣州市赣