621向量的加法运算-高一数学(人教A版2019)

高中数学

人教A版（2019）

必修第一册

第六章

平面向量及其应用6.2平面向量的运算6.2.1向量的加法运算山东沂水县第四中学教材分析本小节内容选自《普通高中数学必修第二册》人教A版（2019）第六章《平面向量及其应用》的第二节《平面向量的运算》。以下是本节的课时安排：第二节平面向量的运算课时内容向量的加法运算向量的减法运算向量的数乘运算向量的数量积所在位置教材第7页教材第11页教材第13页教材第17页新教材内容分析向量的加法是向量的第一运算，是向量其他运算的基础。通过本节课让学生知道向量也是一种量，同其他量一样也有自己的运算，学好本节课为后面的学习奠定基础，为用“数”的运算解决“形”的问题提供工具和方法。本节课先引出相反向量，再类比实数的减法运算，通过相反向量将减法运算转化为加法运算，体现了减法运算和加法运算之间的内部联系。实数与向量的乘积仍然是一个向量，即有大小又有方向，特别是与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理。教材以物理中力作功为背景引入向量的数量积，与向量的加法、减法、数乘运算一样有明显的几何意义，用途广泛，但与向量的线性运算不同的是，数量积的运算结果是数量而不是向量。

核心素养培养通过理解向量加法的概念以及向量加法的几何意义，掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会用它们解决实际问题，培养学生数学抽象、直观想象的核心素养。借助相反向量理解向量减法运算的几何意义，掌握平面向量减法运算及运算规则，培养学生逻辑推理、直观想象的核心素养。理解向量数乘的定义及几何意义，掌握向量数乘的运算律，培养学生的数学抽象、直观想象的核心素养。掌握向量共线定理，会判断或证明两个向量共线，培养学生的逻辑推理的核心素养。会计算两个向量的数量积，提升数学抽象的核心素养.通过探究投影向量的表达式，进而得到数量积的几何意义，提升直观想象，逻辑推理的核心素养.教学主线平面向量的运算学习目标

1.借助实例掌握平面向量加法运算及运算规则，培养数学抽象的核心素养；2.理解平面向量加法运算的几何意义，提升数学抽象的核心素养；3.会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，提升直观想象的核心素养。重点、难点重点：理解并掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则难点：向量加法的几何意义及运算律（一）新知导入1.创设情境，生成问题①飞机从广州飞往上海，再从上海飞往北京(如图)，这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的．

【想一想】从物理学的角度，上面实例中位移、牵引力说明了什么？体现了向量的什么运算？体现了向量的加法运算（一）新知导入2.探索交流，解决问题【思考1】上述实例中位移的和运算、力的和运算分别用什么法则？【提示】三角形法则和平行四边形法则．（二）向量的加法运算

1.向量加法的定义：求两个向量

的运算，叫做向量的加法。对于零向量与任一向量a，规定：a＋0＝

＝

.【思考】两个向量的和还是向量吗？【提示】两个向量的和仍然是一个向量．2.向量的加法运算法则（1）三角形法则

记忆口诀：

．和0＋aa

三角形法则作平移，首尾连，由起点指终点（二）向量的加法运算

【提示】可以用三角形法则作出和向量。

（2）平行四边形法则

记忆口诀：

OA，OB

平行四边形法则作平移，共起点，四边形，对角线（二）向量的加法运算【探究1】根据向量加法的三角形法则以及“三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边”,你能发现|a＋b|与|a|，|b|之间的关系吗?【提示】对于任意向量a,b,都有||a|-|b||≤|a＋b|≤|a|+|b|;(2)当a,b共线,且同向时,有|a+b|=|a|+|b|;(3)当a,b共线,且反向时,有|a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|).

答案:[3,13]【探究2】三角形法则和平行四边形法则的使用条件有何不同？【提示】1.三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和.当两个向量不共线时，两个法则是一致的.2.使用三角形法则时要注意“首尾相接”的条件，而向量加法的平行四边法则应用的前提是共起点。（二）向量的加法运算（3）加法的运算律【探究3】实数的加法满足哪些运算律?向量的加法是否也满足这些运算律?【提示】实数的加法满足交换律和结合律,向量的加法也满足.(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).（三）典型例题1.向量加法法则的应用例1.如图，已知向量a，b，c，求作和向量a＋b＋c.

（三）典型例题

【类题通法】应用三角形法则、平行四边形法则作向量和时需注意的问题：(1)三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连”．即n个向量首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量．(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合．(3)当两个向量不共线时，两个法则实质上是一致的，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半，在多个向量的加法中，利用三角形法则更为简便．如本题(2)法一比法二简单.【巩固练习1】如图，已知a、b，求作a＋b.

（三）典型例题

2.平面向量的表示（三）典型例题【类题通法】向量加法运算律的意义和应用原则(1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.(2)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.【巩固练习2】如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：（三）典型例题3.向量加法在实际问题中的应用例3.在静水中船的速度为20m/min，水流的速度为10m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向.

（三）典型例题【变式探究1】若例3条件不变，则经过3小时，该船的实际航程是多少km?

【变式探究2】若例3的条件不变，改为若船沿垂直于水流的方向航行，求船实际行进的方向的正切值(相当于与河岸的夹角).

（三）典型例题【类题通法】应用向量解决平面几何问题的基本步骤(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题.(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题.(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题.【巩固练习3】一架救援直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40km到达B地，再由B地沿正北方向飞行40km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置.

（四）操作演练素养提升1.已知四边形ABCD是菱形，则下列等式中成立的是()

答案：1.C2.B3.D4.20课堂小结知识总结学生反思（1）通过这节课，你学到了什么知识？

（2）在解决问