数学学案：互动课堂第三讲一平行射影

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精互动课堂重难突破一、正射影1。一个图形F上的各点在平面α上的正射影也组成了一个图形F′，则图形F′称作图形F在平面α上的正射影.图3—1—1就是正射影的几个例子.图3-1-12。一个图形在一个平面上的射影与图形和平面的位置关系有关,如一条直线,当它和平面α垂直时,它在平面α上的射影是一个点;当它和平面α斜交时,它在平面α上的射影是一条直线;它和平面α平行时,它在平面α上的射影是一条与原直线平行的直线.二、平行射影1.设直线l与平面α相交,把直线l的方向称为投影方向,过点A作平行于l的直线,与平面α交于点A′，那么把点A′称作点A沿直线l的方向在平面α上的平行射影.一个图形F上的各点在平面α上的平行射影也组成了一个图形F′，则图形F′称作图形F在平面α上的平行射影.于是正射影是平行射影的特例.在立体几何部分,我们对此已经有了了解，如图3—1-2就是平行射影的具体实例。图3-1-22.平行射影的性质(1）直线或线段的平行射影仍是直线或线段;(2）平行直线的平行射影是平行或重合的直线；（3)平行于投射面的线段，它的射影与这条线段平行且等长；（4)与投射面平行的平面图形，它的射影与这个图形全等;（5)在同一直线或平行直线上，两条线段平行射影的比等于这两条线段的比.三、椭圆运输油制品的油罐、圆柱形容器倾斜后所盛液体的液面等，都给我们以椭圆的形象。四、刨根问底问题1一个圆所在的平面β与平面α平行,那么该圆在平面α上的正射影是和原来的圆相同的圆，当圆所在的平面β与平面α不平行时,该圆在平面α上的正射影会是什么图形？如果β与α垂直，该圆在平面α上的正射影又会是什么图形？探究:一个圆所在的平面β与平面α平行，那么该圆在平面α上的正射影显然是一个圆,并且是和原来的圆相同的圆。如果圆所在的平面β与平面α不平行，从生活经验我们知道,正射影的形状发生了变化,就好像一个圆被压扁了,我们称之椭圆.椭圆的“圆周”上的点到其中心的距离不再相等,但它也有一个特征,就是它到两个定点的距离相等，下一节还会讲到.如果圆所在的平面β与平面α是互相垂直的,那么该圆在平面α上的射影是一条线段。活学巧用【例1】一个圆所在的平面β与平面α平行时,该圆在α上的正射影是什么图形？当β与α不平行时，圆在α上的正射影是什么图形?思路解析：依据正射影的概念,圆所在的平面β与平面α平行时,该圆在α上的正射影是圆，当β与α不平行时,圆在α上的正射影是椭圆.答案:圆；椭圆.【例2】下列语句不正确的是。(1）正射影是平行射影的特例;（2)平行于投射面的线段,它的射影与这条线段平行且相等；（3）在同一直线或平行直线上,两条线段平行射影的比等于这两条线段的比;（4)两条相交直线的平行射影还是相交直线.思路解析：要想澄清本例语句的正确与否，必须弄清正射影、平行射影以及平行射影的性质。正射影是平行射影的特例，从而（1)正确；根据平行射影的性质，（2）是正确的；同样(3）也是平行射影的性质，因此也正确.而（4）中，两条相交直线的平行射影是否是相交直线需分情况讨论:当投射线与两直线所确定的平面平行时，此两直线的平行投影是一条直线;当投射线与两直线确定的平面不平行时，此两直线的平行投影仍是两条相交直线。故（4)不正确。答案:(4）【例3】两条相交直线的平行射影还是相交直线吗?如果不相交,那它的形状是什么样子?同理,两条平行直线的平行射影还是平行直线吗？它的情形有哪些？答案:两条直线相交,可以确定一个平面，当投射线与两直线所确定的平面平行时,此两直线的平行投影是一条直线;当投射线与两直线确定的平面不平行时，此两直线的平行投影仍是两条相交直线,在考虑时一定要周全，避免漏掉特殊情况。所以两条相交直线的平行投影是两条相交直线或一条直线。同理，可以考虑两条平行直线在同一个平面上的射影，当两条平行