高考数学必修五-第二章-2.2-第1课时等差数列的概念及通项公式

高中数学高考数学高中数学高考数学§2.2等差数列第1课时等差数列的概念及通项公式学习目标1.理解等差数列的定义.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念.知识点一等差数列的概念思考给出以下三个数列：(1)0,5,10,15,20；(2)4,4,4,4，…；(3)18,15.5,13,10.5,8,5.5.它们有什么共同的特征？答案从第2项起，每项与它的前一项的差是同一个常数.梳理一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，可正可负可为零.知识点二等差中项的概念思考下列所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：(1)2,4；(2)－1,5；(3)0,0；(4)a，b.答案插入的数分别为3,2,0，eq\f(a＋b,2).梳理如果三个数a，A，b组成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且A＝eq\f(a＋b,2).知识点三等差数列的通项公式思考对于等差数列2,4,6,8，…，有a2－a1＝2，即a2＝a1＋2；a3－a2＝2，即a3＝a2＋2＝a1＋2×2；a4－a3＝2，即a4＝a3＋2＝a1＋3×2.试猜想an＝a1＋()×2.答案n－1明.

1.若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.(×)2.任意两个实数都有等差中项.(√)3.从通项公式可以看出，若等差数列的公差d>0，则该数列为递增数列.(√)4.若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定成等差数列.(√)类型一等差数列的概念例1判断下列数列是不是等差数列？(1)9,7,5,3，…，－2n＋11，…；(2)－1,11,23,35，…，12n－13，…；(3)1,2,1,2，…；(4)1,2,4,6,8,10，…；(5)a，a，a，a，a，….考点等差数列的概念题点等差数列概念的理解运用解由等差数列的定义得(1)，(2)，(5)为等差数列，(3)，(4)不是等差数列.反思与感悟判断一个数列是不是等差数列，就是判断该数列的每一项减去它的前一项差是否为同一个常数，但当数列项数验证an＋1－an(n≥1，n∈N*)是不是一个与n无关的常数.跟踪训练1数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列()A.是公差为2的等差数列B.是公差为5的等差数列C.是首项为5的等差数列D.是公差为n的等差数列考点等差数列的概念题点等差数列概念的理解运用答案A解析∵an＋1－an＝2(n＋1)＋5－(2n＋5)＝2，∴{an}是公差为2的等差数列.类型二等差中项例2在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列.考点等差中项题点等差中项及其应用解∵－1，a，b，c,7成等差数列，∴b是－1与7的等差中项，∴b＝eq\f(－1＋7,2)＝3.又a是－1与3的等差中项，∴a＝eq\f(－1＋3,2)＝1.又c是3与7的等差中项，∴c＝eq\f(3＋7,2)＝5.∴该数列为－1,1,3,5,7.反思与感悟在等差数列{an}中，由定义有an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，即an＝eq\f(an＋1＋an－1,2)，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项.跟踪训练2若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项.考点等差中项题点等差中项及其应用解由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.两式相加，得m＋n＝6.所以m和n的等差中项为eq\f(m＋n,2)＝3.类型三等差数列通项公式的求法及应用eq\x(命题角度1基本量a1，d的计算)例3在等差数列{an}中，已知a6＝12，a18＝36，求通项公式an.考点等差数列基本量的计算问题题点求等差数列的项解由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋5d＝12，,a1＋17d＝36.))解得d＝2，a1＝2.∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.反思与感悟根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称为方程思想.等差数列{an}中的每一项均可用a1和d表示，这里的a1和d就像构成物质的基本粒子，我们可以称为基本量.

跟踪训练3(1)求等差数列8,5,2，…的第20项；(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？考点等差数列基本量的计算问题题点求等差数列的项解(1)由a1＝8，a2＝5，得d＝a2－a1＝5－8＝－3，由n＝20，得a20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.(2)由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为an＝－5＋(n－1)×(－4)＝－4n－1.由题意，令－401＝－4n－1，得n＝100，即－401是这个数列的第100项.eq\x(命题角度2等差数列的实际应用)例4某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km(不含4km)计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？考点等差数列的应用题题点等差数列的应用题解每增加1km，乘客需要支付1.2元.所以，可以建立一个等差数列{an}来计算车费.令a1＝11.2，表示4km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14km处时，n＝11，此时a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2.即需要支付车费23.2元.反思与感悟在实际问题中，若一组数依次成等数额增长或下降，则可考虑利用等差数列方法解决.在利用数列方法解决实际问题时，一定要确认首项、项数等关键因素.跟踪训练4在通常情况下，从地面到10km高空，高度每增加1km，气温就下降某一个固定数值.如果1km高度的气温是8.5℃，5km高度的气温是－17.5℃，求2km，4km,8km高度的气温.考点等差数列的应用题题点等差数列的应用题解用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a1＝8.5，a5＝－17.5，由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，解得d＝－6.5，∴an＝15－6.5n.∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37，即2km,4km,8km高度的气温分别为2℃，－11℃，－37℃.1.下列数列不是等差数列的是()A.1,1,1,1,1 B.4,7,10,13,16C.eq\f(1,3)，eq\f(2,3)，1，eq\f(4,3)，eq\f(5,3) D.－3，－2，－1,1,2考点等差数列的概念题点等差数列概念的理解运用答案D2.已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差d为()A.2B.3C.－2D.－3考点等差数列的通项公式题点通项公式的综合应用答案C解析由等差数列的定义，得d＝a2－a1＝－1－1＝－2.3.已知在△ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，则角B等于()A.30°B.60°C.90°D.120°考点等差中项题点等差中项及其应用答案B解析因为A，B，C成等差数列，所以B是A，C的等差中项，则有A＋C＝2B，又因为A＋B＋C＝180°，所以3B＝180°，从而B＝60°.4.已知等差数列－5，－2,1，…，则该数列的第20项为()A.52 B.62C.－62 D.－52考点等差数列的通项公式题点通项公式的综合应用答案A解析公差d＝－2－(－5)＝3，a20＝－5＋(20－1)d＝－5＋19×3＝52.5.已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是()A.92 B.47C.46 D.45考点等差数列的通项公式题点通项公式的综合应用答案C解析d＝－1－1＝－2，设－89为第n项，则－89＝1＋(n－1)d＝1＋(n－1)·(－2)，∴n＝46.1.判断一个数列是否为等差数列的常用方法(1)an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列；(2)2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列；(3)an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列.但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可.2.由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量.一、选择题1.若数列{an}满足3an＋1＝3an＋1，则数列{an}是()A.公差为1的等差数列B.公差为eq\f(1,3)的等差数列C.公差为－eq\f(1,3)的等差数列D.不是等差数列考点等差数列的概念题点等差数列概念的理解运用答案B解析由2.在数列{an}中，a1＝2，2an＋1－2an＝1，则a101的值为()A.52B.51C.50D.49考点等差数列的概念题点等差数列概念的理解运用答案A解析因为2an＋1－2an＝1，a1＝2，所以数列{an}是首项a1＝2，公差d＝eq\f(1,2)的等差数列，所以a101＝a1＋100d＝2＋100×eq\f(1,2)＝52.3.若a≠b，则等差数列a，x1，x2，b的公差是()A.b－a B.eq\f(b－a,2)C.eq\f(b－a,3) D.eq\f(b－a,4)考点等差数列基本量的计算问题题点等差数列公差有关问题答案C解析由等差数列的通项公式，得b＝a＋(4－1)d，所以d＝eq\f(b－a,3).4.已知在等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5等于()A.15B.22C.7D.29考点等差数列基本量的计算问题题点求等差数列的项答案A解析设{an}的首项为a1，公差为d，根据题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＋a8＝a1＋2d＋a1＋7d＝22，,a6＝a1＋5d＝7，))解得a1＝47，d＝－8.所以a5＝47＋(5－1)×(－8)＝15.5.等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是()A.第7项 B.第8项C.第9项 D.第10项考点等差数列的通项公式题点通项公式的综合应用答案B解析∵a1＝20，d＝－3，∴an＝20＋(n－1)×(－3)＝23－3n，∴a7＝2＞0，a8＝－1<0.

6.若5，x，y，z,21成等差数列，则x＋y＋z的值为()A.26B.29C.39D.52考点等差中项题点等差中项及其应用答案C解析∵5，x，y，z,21成等差数列，∴y既是5和21的等差中项也是x和z的等差中项.∴5＋21＝2y，∴y＝13，x＋z＝2y＝26，∴x＋y＋z＝39.7.一个等差数列的前4项是a，x，b,2x，则eq\f(a,b)等于()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(2,3)考点等差中项题点等差中项及其应用答案C解析∵b是x,2x的等差中项，∴b＝eq\f(x＋2x,2)＝eq\f(3x,2)，又∵x是a，b的等差中项，∴2x＝a＋b，∴a＝eq\f(x,2)，∴eq\f(a,b)＝eq\f(1,3).8.已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是()A.15B.30C.31D.64考点等差数列基本量的计算问题题点求等差数列的项答案A解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＝a1＋3d＝1，,a7＋a9＝2a1＋14d＝16，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－\f(17,4)，,d＝\f(7,4)，))∴a12＝a1＋11d＝－eq\f(17,4)＋11×eq\f(7,4)＝15.二、填空题9.若一个等差数列的前三项为a，2a－1，3－a，则这个数列的通项公式为________.考点等差数列的通项公式题点求通项公式答案an＝eq\f(n,4)＋1，n∈N*解析∵a＋(3－a)＝2(2a－1)，∴a＝eq\f(5,4).∴这个等差数列的前三项依次为eq\f(5,4)，eq\f(3,2)，eq\f(7,4)，∴d＝eq\f(1,4)，an＝eq\f(5,4)＋(n－1)×eq\f(1,4)＝eq\f(n,4)＋1，n∈N*.10.现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升.考点等差数列的应用题题点等差数列的应用题答案eq\f(67,66)解析设此等差数列为{an}，公差为d，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＋a4＝3，,a7＋a8＋a9＝4，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝3，,3a1＋21d＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(13,22)，,d＝\f(7,66)，))∴a5＝a1＋4d＝eq\f(13,22)＋4×eq\f(7,66)＝eq\f(67,66).11.首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是________.考点等差数列的通项公式题点通项公式的综合应用答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，3))解析设an＝－24＋(n－1)d，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a9＝－24＋8d≤0，,a10＝－24＋9d>0，))解得eq\f(8,3)<d≤3.三、解答题12.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n，设bn＝eq\f(an,2n－1).(1)证明：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式.考点等差数列的概念题点等差数列概念的理解运用(1)证明由已知an＋1＝2an＋2n，得bn＋1＝eq\f(an＋1,2n)＝eq\f(2an＋2n,2n)＝eq\f(an,2n－1)＋1＝bn＋1.又b1＝a1＝1，因此{bn}是首项为1，公差为1的等差数列.(2)解13.已知等差数列{an}：3,7,11,15，….(1)135,4m＋19(m∈N*)是{an}中的项吗？试说明理由；(2)若ap，aq(p，q∈N*)是数列{an}中的项，则2ap＋3aq是数列{an}中的项吗？并说明你的理由.考点等差数列的通项公式题点通项公式的综合应用解由题意可知，a1＝3，d＝4，则an＝a1＋(n－1)d＝4n－1.(1)令an＝4n－1＝135，∴n＝34，∴135是数列{an}的第34项.令an＝4n－1＝4m＋19，则n＝m＋