【高中数学课件】平面向量平行的坐标表示及运算课件

平面向量平行的坐标表示及运算本节课我们学习平面向量的平行关系，了解其坐标表示的简洁表达方式。同时，我们将深入探讨平面向量平行的向量运算，包括向量加减、数乘等运算。课程目标掌握向量平行条件理解两个向量平行的坐标表示方法。运用坐标表示法判断两个向量是否平行。熟练向量运算掌握向量加法、减法、数乘、数量积的运算规则。能运用向量运算解决平面几何问题。什么是向量11.有大小向量表示方向和大小。22.有方向向量有明确的起始点和终点，表示方向。33.可加减向量可以进行加减法运算。44.可缩放向量可以进行缩放，改变大小。向量的表示几何表示向量可以用带箭头的线段表示，起点表示向量起点，箭头表示方向，长度表示大小。坐标表示向量也可以用坐标表示，即用一对有序实数表示向量的起点和终点在坐标系中的坐标。符号表示向量通常用字母表示，例如a，b，c，也可以用字母上加箭头表示，例如→a，→b，→c。向量的平行条件方向相同两个向量方向相同或相反，则它们平行。坐标比例若两个向量坐标成比例，则它们平行。数量积为零若两个向量数量积为零，且它们不为零向量，则它们平行。向量的相等条件方向一致两个向量方向相同或相反。长度相等两个向量的长度相同。向量运算1加法首尾相连2减法平行移动3数乘长度变化4数量积投影长度向量运算在平面向量中非常重要。可以帮助我们更轻松地进行向量之间的加减、数乘、数量积等运算。通过向量运算，可以解决很多数学问题，比如求两个向量的夹角、求两个向量的距离等等。向量的加法平行四边形法则两个向量相加，结果为以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线。可以用图形表示。三角形法则将两个向量首尾相接，则这两个向量和为从第一个向量起点指向第二个向量终点的向量。坐标法则两个向量的坐标分别相加得到和向量的坐标，即a+b=(a1+b1,a2+b2)。向量的减法向量的减法是向量加法的逆运算，可以用向量加法的法则推导出。向量减法是向量运算中的一个重要概念，它代表着两个向量之间的差值，在实际应用中具有广泛的意义。1定义向量a减去向量b，即向量b的反向量加向量a。2运算向量a-b=a+(-b)3几何意义向量a-b表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量。向量的数乘1定义向量与一个实数相乘，得到一个新的向量，称为原向量的数乘.2性质数乘的结果仍然是向量，其方向与原向量相同或相反，长度为原向量的长度乘以实数的绝对值.3运算数乘运算可以通过将向量的每个分量分别乘以实数来进行.向量的数量积1定义两个向量数量积是一个标量，表示它们在同一方向上的投影长度的乘积。2计算公式设向量a=(x1,y1)，向量b=(x2,y2)，则a·b=x1x2+y1y23几何意义向量数量积的值等于两个向量长度的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。向量的夹角定义两个非零向量之间的夹角是指这两个向量所对应的有向线段所成的角，且这个角的度数不超过180度。公式向量a和b的夹角θ可以用以下公式计算：cosθ=(a·b)/(||a||||b||)，其中a·b表示向量a和b的数量积，||a||和||b||分别表示向量a和b的模长。应用向量夹角的计算在物理、工程等领域都有广泛的应用，例如计算力的合力、速度的分解等。向量成比例定义两个向量成比例，是指其中一个向量是另一个向量的倍数，且比例系数为非零实数。几何意义两个向量成比例，意味着它们的方向相同或相反，且长度成比例关系。坐标表示如果两个向量a=(a1,a2)和b=(b1,b2)成比例，则存在一个非零实数k，使得a1=kb1，a2=kb2。向量的分解定义将一个向量表示成两个或多个向量的和，称为向量的分解。方法通常将向量分解为互相垂直的两个方向上的分向量，例如，将一个向量分解为水平方向和垂直方向的分向量。应用向量的分解在物理学、工程学等领域中有着广泛的应用，例如力的分解、速度的分解等。示例将一个力向量分解为水平方向和垂直方向的分力，分别表示该力在水平方向和垂直方向上的作用效果。向量的投影1定义向量a在向量b方向上的投影，就是向量a在向量b方向上的长度。2计算投影长度等于向量a与向量b的点积除以向量b的模长。3应用向量投影可以用于计算两个向量之间的夹角。向量投影是向量运算中一个重要的概念，可以帮助我们理解向量在不同方向上的分量。向量间的距离11.坐标表示向量间的距离可以通过坐标表示计算,利用勾股定理计算两点间的距离.22.平行向量平行向量间的距离可以用平行向量和两个端点组成的三角形计算.33.投影计算利用向量的投影,可以直接计算两点间的距离,方便快捷.平行向量的计算1向量分量确定向量在坐标轴上的投影长度2平行条件判断两个向量方向一致3方向向量确定向量方向4坐标表示用坐标表示向量计算平行向量时，首先需要了解向量的坐标表示，并判断两个向量是否满足平行条件。通过确定向量方向和向量分量，可以方便地进行计算。平行向量的分量1方向一致分量对应成比例2方向相反分量对应成反比3坐标表示两个向量的分量相同或成比例平行向量的分量具有特殊的性质。方向一致的平行向量，分量对应成比例；方向相反的平行向量，分量对应成反比。在坐标表示中，两个向量平行，则它们的坐标相同或成比例。平行向量的夹角夹角定义平行向量之间的夹角为0度或180度。方向判断如果两个平行向量方向相同，夹角为0度；方向相反，夹角为180度。公式计算利用数量积公式计算平行向量之间的夹角。平行向量的积数量积两个平行向量数量积等于它们模的乘积，符号为“·”。数量积结果是一个标量，反映了两个向量在方向上的相似程度。向量积两个平行向量向量积等于零向量，符号为“×”。向量积结果是一个向量，垂直于两个向量所在的平面，反映了两个向量构成的面积大小。实例演示1已知向量a=(2,-1)，向量b=(4,2)，求向量a与向量b是否平行。利用向量平行条件：向量a与向量b平行等价于a与b成比例，即存在实数k使得a=kb。计算：a=kb，即(2,-1)=k(4,2)，则k=1/2。a=1/2b，所以向量a与向量b平行。实例演示2假设向量a=(2,1)，向量b=(-1,3)。求向量a与向量b的夹角。实例演示3求向量a=(1,2)和向量b=(3,-1)的夹角θ。首先，我们计算向量a和向量b的数量积：a·b=1*3+2*(-1)=1。然后，我们计算向量a和向量b的模长：|a|=√(1²+2²)=√5，|b|=√(3²+(-1)²)=√10。根据向量数量积的定义，有a·b=|a||b|cosθ，因此，cosθ=(a·b)/(|a||b|)=1/(√5*√10)=√2/10。所以，向量a和向量b的夹角θ=arccos(√2/10)。实例演示4若向量a=(1,2)，b=(3,4)，则向量a+b和a-b的坐标分别为：根据向量的加减运算，可得a+b=(1,2)+(3,4)=(4,6)和a-b=(1,2)-(3,4)=(-2,-2)。实例演示5向量在实际生活中有着广泛的应用，比如在物理学中，速度、加速度、力等物理量都可以用向量来表示。在工程学中，向量可以用来表示力和运动。在计算机图形学中，向量可以用来表示点、线、面等几何图形。知识小结11.平行向量的坐标表示两个向量平行，则它们的坐标成比例。22.平行向量的运算平行向量的加减运算仍然得到平行向量。33.平行向量的性质平行向量具有相同的斜率和方向。44.平行向量应用平行向量在几何、物理和工程等领域有广泛应用。课后思考复习巩固回顾本节课学习的知识点，比如向量的坐标表示、平行条件、运算规则等。尝试用自己的语言描述这些概念，并举例说明。拓展延伸尝试思考向量在其他学科或实际生活中的应用，比如物理学中的力、速度、加速度等，以及如何在实际问题中运用向量解决问题。达标测试通过本次学习，同学们可以巩固对平面向量平行坐标