【高中数学课件】复合函数求导课件

复合函数求导复合函数是一个函数被另一个函数所代替的形式。求解复合函数的导数需要运用链式法则,通过对内层函数和外层函数分别求导来得到最终结果。前置知识回顾1函数的定义对关系、映射等概念有深入理解，掌握函数的基本性质。2函数的基本类型了解常见的函数类型，如一次函数、二次函数、指数函数等。3函数图像特点掌握函数图像的形状、特征及变换规律。4基础求导法则熟悉幂函数、指数函数、三角函数等基础函数的求导。函数的定义数学概念函数是从一个数集到另一个数集的映射关系,是数学中的基础概念之一。关系定义函数是一种特殊的关系,它规定了域中每个元素都对应到对应域中唯一的一个元素。输入输出函数通过某种对应关系,将输入映射到唯一的输出,这是其核心特点。常见函数类型线性函数线性函数是最简单的函数类型之一,其图像为一条直线。它们常用于描述线性关系,如速度与时间、价格与数量等。指数函数指数函数的图像为一条指数曲线,用于描述复利、人口增长等指数级增长的现象。它们的特点是增长速度快且变化剧烈。对数函数对数函数是指数函数的倒数,其图像为一条对数曲线。它们常用于表示相对变化、半衰期等。对数函数变化缓慢,增长速度较慢。三角函数三角函数包括正弦、余弦、正切等,其图像为周期性的正弦曲线。它们常用于描述周期性变化,如机械振动、电流等。函数图像特点数学函数的图像可呈现线性、指数、对数、三角等不同形态。这些图像特点反映了函数的增长速度、对称性、周期性等性质。理解函数图像的特点,有助于分析函数的性质,并应用于解决实际问题。复合函数的概念定义复合函数是指两个函数通过特定方式组合而成的新函数。内层函数的输出作为外层函数的输入，构成了复合函数。表示复合函数用符号"°"表示，例如f(g(x))表示一个由f函数和g函数复合而成的新函数。实例常见的复合函数有三角函数、幂函数、指数函数等。例如sin(x^2)就是一个复合函数。复合函数的几何意义复合函数可以形象地理解为一个数据处理的"黑盒"过程。输入一个值后，经过两个或多个函数的连续变换，最终得到输出。这种级联的函数变换有着丰富的几何意义。每个函数都可以看作是一个坐标变换或映射，复合函数则体现了这些变换的叠加效果。理解复合函数的几何意义有助于我们更好地掌握复合函数的性质和性能。复合函数的性质可逆性复合函数(f∘g)(x)可逆,当且仅当函数f(x)和g(x)都可逆。可微性如果函数f(x)和g(x)都可微,那么复合函数(f∘g)(x)也可微。导数性质复合函数(f∘g)(x)的导数为:[(f∘g)'(x)=f'(g(x))·g'(x)]。等价无穷小如果g(x)在x0处无穷小,那么(f∘g)(x)在x0处也无穷小。复合函数求导的步骤1确定函数关系理解复合函数的组成部分2提取内层函数找出函数中的内层函数3应用链式法则利用链式法则求出导数4化简表达式整理计算得到的导数求解复合函数的导数需要遵循一定的步骤。首先要确定函数的组成关系,找出内层函数。接下来应用链式法则进行求导,最后对导数表达式进行化简整理。只有掌握好这些步骤,才能顺利地求出复合函数的导数。求导法则1：常数倍法则常数倍法则对于函数f(x)=k·g(x)进行求导时,可以将常数k提出来,即f'(x)=k·g'(x)。这个规则可以大大简化复合函数的求导过程。适用范围常数倍法则适用于任何形式的函数,只要函数外有常数因子即可应用。这是最基本但也非常实用的求导法则。推导过程从函数定义出发,运用导数定义即可推导出常数倍法则,体现了这一求导法则的内在合理性。求导法则2：加法、减法法则加法法则若函数f(x)和g(x)都可导,那么它们的和f(x)+g(x)也可导,且(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)。减法法则若函数f(x)和g(x)都可导,那么它们的差f(x)-g(x)也可导,且(f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x)。应用场景加法和减法法则适用于求解涉及多个函数的复合关系,可大大简化运算过程。求导法则3：乘法法则定义如果y=f(x)*g(x)，则y'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)。这就是复合函数中乘法法则的求导公式。应用乘法法则可用于求导涉及乘积的复合函数，如三角函数乘幂函数、指数函数乘幂函数等。优势乘法法则简单易懂,适用范围广,在复合函数求导中占据重要地位。掌握该法则可以高效地处理大量实际问题。示例设y=x^2*sin(x)，求y'。应用乘法法则可得y'=2x*sin(x)+x^2*cos(x)。求导法则4：除法法则除法法则对于以商形式表达的函数f(x)=g(x)/h(x)，其导数可以表示为f'(x)=(g'(x)h(x)-g(x)h'(x))/(h(x))^2。求导步骤1.求出分子函数g(x)的导数g'(x)。2.求出分母函数h(x)的导数h'(x)。3.带入公式计算f'(x)。应用注意事项分母函数h(x)不能等于0，否则导数会出现定义域问题。同时要注意分子函数g(x)与分母函数h(x)的相互关系。链式法则1函数嵌套链式法则适用于函数嵌套的情况,即内部函数的输出作为外部函数的输入。2导数乘积复合函数的导数等于内部函数导数和外部函数导数的乘积。3灵活运用链式法则是一种常用而有效的复合函数求导方法,能帮助我们快速得出导数表达式。复合函数求导示例1给定函数设f(x)=(x^2+1)^3,求f'(x)。分析函数结构可以看出f(x)是由内层函数g(x)=x^2+1和外层函数h(x)=x^3构成的复合函数。应用链式法则根据链式法则，f'(x)=h'(g(x))*g'(x)。计算导数g'(x)=2x,h'(x)=3x^2,代入链式法则即可得到f'(x)=6(x^2+1)^2*2x。复合函数求导示例21确定函数构成确定两个函数f(x)和g(x)的形式2写出复合函数将两个函数组合成复合函数F(x)=f(g(x))3应用链式法则求导运用复合函数求导的链式法则计算F'(x)在这个例子中,我们将学习如何运用链式法则求解复合函数的导数。首先我们需要确定构成复合函数的两个基础函数,然后将它们组合成复合函数F(x)。最后运用链式法则逐步求出F(x)的导数。这个过程需要仔细推导,是掌握复合函数求导的关键。复合函数求导示例31情景描述某公司销售额与广告投放费用之间存在复合函数关系。求销售额关于广告投放费用的导数。2设定变量设销售额为y，广告投放费用为x，则存在复合函数关系y=f(g(x))。3求导步骤根据链式法则，先求内层函数g(x)的导数，再求外层函数f(g(x))的导数。复合函数求导示例41给定函数f(x)=(3x+2)²2内层函数u=3x+23外层函数v=u²4求导步骤应用链式法则求导在这个例子中,我们有一个复合函数f(x)=(3x+2)²。首先找到内层函数u=3x+2,然后外层函数v=u²。应用链式法则求导,即可得到f'(x)的表达式。这种分步求导的方法非常有助于理解复合函数的微分过程。复合函数求导示例5已知复合函数f(x)=(x^2+1)^3,g(x)=2x-1求f(g(x))的导数首先确定内层函数g(x)和外层函数f(x)。应用链式法则根据链式法则，f'(g(x))=f'(x)*g'(x)。计算导数f'(x)=3(x^2+1)^2*2x,g'(x)=2。得到结果f'(g(x))=3(2x-1+1)^2*2(2x-1)=18(2x-1)^3。复合函数求导示例61已知函数设f(x)=3x^2+5x+2,g(x)=x^3-2x+1。求复合函数(f◦g)(x)的导数。2求导步骤将内层函数g(x)代入外层函数f(x)，得到复合函数(f◦g)(x)=f(g(x))=3(x^3-2x+1)^2+5(x^3-2x+1)+2。根据链式法则进行求导，即(f◦g)'(x)=f'(g(x))*g'(x)。首先求得f'(x)=6x+5和g'(x)=3x^2-2。代入链式法则公式，得到(f◦g)'(x)=(6(x^3-2x+1)+5)*(3x^2-2)。3最终结果因此，复合函数(f◦g)(x)的导数为(f◦g)'(x)=(6(x^3-2x+1)+5)*(3x^2-2)。复合函数求导示例71f(x)=e^(sin(x))指数函数与三角函数的复合2u=sin(x)内层函数3v=e^u外层函数这个例子结合了指数函数和三角函数,体现了复合函数求导的链式法则。我们首先求出内层函数u=sin(x)的导数u'=cos(x),然后将u'带入外层函数v=e^u的导数公式,得到最终的导数函数为f'(x)=e^(sin(x))·cos(x)。复合函数求导的应用绘制函数图像将复合函数求导应用于绘制函数图像中,有助于更好地理解函数的性质。优化问题分析利用复合函数的求导公式可以帮助解决各种优化问题,如最大化利润、最小化成本等。物理应用在物理学中,复合函数的求导公式可以应用于速度、加速度等时间相关的问题。经济应用在经济学中,复合函数的求导公式可以应用于投资收益率、税率等问题的分析。利用复合函数求导解决实际问题日常生活应用复合函数求导广泛应用于工程、物理、经济等领域,例如测量建筑物高度、预测股票价格走势、优化生产流程。工程领域应用在工程设计中,复合函数可以用来计算桥梁承重力、管道系统压力和热量传递等关键参数,确保结构安全可靠。科学研究应用在物理学和化学研究中,复合函数可用于建立模型,揭示自然界的规律,推进科学发展。复合函数求导总结1复合函数的概念复合函数是两个或多个单独的函数经过合成后形成的新函数。2复合函数的求导步骤通过链式法则逐步求导,内层函数的导数乘以外层函数的导数。3复合函数的应用复合函数求导在工程、经济等实际问题中得到广泛应用。思考题1给定函数f(x)=x^3+2x^2-5x+1，求其复合函数g(x)=f(2x-1)的导数。请详细地推导计算过程，并给出最终结果。思考题2一个工厂每天生产x件产品,随着生产量的增加,单个产品的生产成本呈递减趋势。设生产成本函数为C(x)=a/x+b,其中a、b为常数。请求出生产x件产品时的总成本函数TC(x)。分析总成本函数的特点,并找出使总成本最小的x值。思考题3某公司在最近一年推出了一款新产品,该产品的销量可以表示为复合函数f(x)=x^3+2x^2-x，其中x表示销售时间（月）。请问该新产品在第几个月的销量最大？课后练习练习1求函数y=(x^2+2)/(x+1)的导数。练习2函数f(x)=(2x-1)^3，求其导数f'