上海市民办上宝中学2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年上海市闵行区上宝中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）如果x：y＝2：3，那么下列各式不成立的是（）A．＝ B．＝﹣ C．＝ D．＝2．（4分）在比例尺为1：2000的地图上测得A、B两地间的图上距离为5cm，则A、B两地间的实际距离为（）A．10m B．25m C．100m D．10000m3．（4分）若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的最长边的比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：16 D．无法确定4．（4分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（）A．（2，3） B．（3，2） C．（3，3） D．（4，3）5．（4分）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）A． B． C． D．6．（4分）如图，在菱形ABCD中，AB＝AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE＝BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AC于点O，则下列结论：①△ABF≌△CAE；②∠FHC＝∠B；③△AEH∽△DAH；④AE•AD＝AH•AF；其中正确的结论个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）cos30°＝．8．（4分）把长度为4cm的线段进行黄金分割，则较长线段的长是cm．9．（4分）如果两个相似三角形的对应角平分线之比为1：4，那么它们的周长之比是．10．（4分）如果抛物线y＝（m﹣1）x2+2mx+1的图象开口向下，那么m的取值范围是．11．（4分）将二次函数y＝﹣2x2的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为．12．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则m的值为．x﹣2﹣101234y72﹣1﹣2m2713．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，AB＝2，那么BC＝．（结果用α的锐角三角函数表示）14．（4分）如图，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，那么与相等的向量是．15．（4分）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A（﹣4，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．点P是直线AC上方抛物线上一点，过点P作PG⊥x轴，垂足为点G，PG与直线AC交于点H．如果PH＝AH，则点P的坐标是．16．（4分）如图，在▱ABCD中，点F在边AD上，AF＝2FD，直线BF与对角线AC相交于点E，交CD的延长线于点G，如果BE＝2，那么EG的长是．17．（4分）如图，已知在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AB＝AD，点E、F分别在线段CD、AD上．如果AE⊥BF，，那么cot∠ABD＝．18．（4分）如图，已知在矩形ABCD中，连接AC，，将矩形ABCD绕点C旋转，使点B恰好落在对角线AC上的点B′处，点A、D分别落在点A′、D′处，边A′B′、A′C分别与边AD交于点M、N，MN﹣AM＝5，那么线段MN的长为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：．20．（10分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，BC＝2AD，OD＝1．（1）求BD的长：（2）如果，，试用、表示向量．21．（10分）如图所示，BA和CD表示前后两幢楼，按照有感规定两幢楼间的间距不得小于楼的高度，即图中AC大于等于CD，小明想测量一下他家所著AB楼与前面CD楼是否符合规定，于是他在AC间的点M处架了测角仪，测得CD楼顶D的仰角为45°，已知AM＝4米，测角仪距地面MN＝1.5米．（1）问：两楼的间距是否符合规定？并说出你的理由；（2）为了知道前面CD楼的高度，小明又到家里（点P处），用测角仪再次测得CD楼顶D的仰角为α，如果AP＝7.5米，sinα＝0.6，请你来计算一下CD楼的高度．22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线M：y＝﹣x2+bx+c过点A（2，2）、点B（0，2），顶点为点C，抛物线M的对称轴交x轴于点D．（1）直接写出抛物线M的表达式和点C的坐标；（2）点P在x轴上，当△AOP与△ACD相似时，求点P坐标．23．（12分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点M在边BC上，且∠MDB＝∠ADB，BD2＝AD•BC．（1）求证：BM＝CM；（2）作BE⊥DM，垂足为点E，并交CD于点F．求证：2AD•DM＝DF•DC．24．（12分）已知，如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y＝x﹣2经过A、C两点．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）P为抛物线上一点，若点P关于直线AC的对称点Q落在y轴上，求P点坐标；（3）现将抛物线平移，保持顶点在直线y＝x﹣，若平移后的抛物线与直线y＝x﹣2交于M、N两点．①求：MN的长度；②结合（2）的条件，直接写出△QMN的周长的最小值．25．（14分）如图，已知正方形ABCD，点H是边BC上的一个动点（不与点B、C重合），点E在DH上，满足AE＝AB，延长BE交CD于点F．（1）求：sin∠FED；（2）点M、N分别是边AB、AD的中点，已知点P在线段MN上，连结AP、BP，此时∠APB＝90°，求：cot∠ABP；（3）连结CE．如果△CEF是以CE为腰的等腰三角形，求∠FBC的正切值．

2024-2025学年上海市闵行区上宝中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）如果x：y＝2：3，那么下列各式不成立的是（）A．＝ B．＝﹣ C．＝ D．＝【分析】根据比例的基本性质，可分别设出x和y，分别代入各选项进行计算即可得出结果．【解答】解：设x＝2k，y＝3k．通过代入计算，进行约分，A，B，C都正确；D不能实现约分，故错误．故选：D．【点评】此题考查了比例的性质，已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现约分．2．（4分）在比例尺为1：2000的地图上测得A、B两地间的图上距离为5cm，则A、B两地间的实际距离为（）A．10m B．25m C．100m D．10000m【分析】设A、B两地间的实际距离为xm，根据比例线段得＝，然后解方程即可．【解答】解：设A、B两地间的实际距离为xm，根据题意得＝，解得x＝100．所以A、B两地间的实际距离为100m．故选：C．【点评】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．3．（4分）若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的最长边的比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：16 D．无法确定【分析】根据相似三角形的性质求出答案即可．【解答】解：∵两个相似三角形的面积之比为1：4，∴它们的最长边的比是1：2，故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的性质，能熟记相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解此题的关键．4．（4分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（）A．（2，3） B．（3，2） C．（3，3） D．（4，3）【分析】已知抛物线的对称轴为直线x＝2，知道A的坐标为（0，3），由函数的对称性知B点坐标．【解答】解：由题意可知抛物线的y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝2，∵点A的坐标为（0，3），且AB与x轴平行，可知A、B两点为对称点，∴B点坐标为（4，3）故选：D．【点评】本题主要考查二次函数的对称性．5．（4分）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）A． B． C． D．【分析】直接连接DC，得出CD⊥AB，再结合勾股定理以及锐角三角函数关系得出答案【解答】解：连接DC，由网格可得：CD⊥AB，则DC＝，AC＝，故sinA＝．故选：D．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确构造直角三角形是解题关键．6．（4分）如图，在菱形ABCD中，AB＝AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE＝BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AC于点O，则下列结论：①△ABF≌△CAE；②∠FHC＝∠B；③△AEH∽△DAH；④AE•AD＝AH•AF；其中正确的结论个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】由菱形ABCD中，AB＝AC，易证得△ABC是等边三角形，则可得∠B＝∠EAC＝60°，由SAS即可证得△ABF≌△CAE，可得∠BAF＝∠ACE，EC＝AF，由外角性质可得∠FHC＝∠B，可判断①②，由点A，H，C，D四点共圆，可得∠AHD＝∠ACD＝60°，∠ACH＝∠ADH＝∠BAF，可证△AEH∽△DAH，可判断③，通过证明△AEH∽△CEA，可得，可得AE•AD＝AH•AF，可判断④，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC，即△ABC是等边三角形，同理：△ADC是等边三角形∴∠B＝∠EAC＝60°，在△ABF和△CAE中，，∴△ABF≌△CAE（SAS）；∴∠BAF＝∠ACE，EC＝AF，∵∠FHC＝∠ACE+∠FAC＝∠BAF+∠FAC＝∠BAC＝60°，∴∠FHC＝∠B，故①正确，②正确；∵∠AHC+∠ADC＝120°+60°＝180°，∴点A，H，C，D四点共圆，∴∠AHD＝∠ACD＝60°，∠ACH＝∠ADH＝∠BAF，∴∠AHD＝∠FHC＝∠AHE＝60°，∴△AEH∽△DAH，故③正确；∵∠ACE＝∠BAF，∠AEH＝∠AEC，∴△AEH∽△CEA，∴，∴AE•AC＝AH•EC，∴AE•AD＝AH•AF，故④正确；故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度较大，注意数形结合思想的应用．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）cos30°＝．【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解．【解答】解：cos30°＝．故答案为：．【点评】考查了特殊角的三角函数值，是基础题目，比较简单．8．（4分）把长度为4cm的线段进行黄金分割，则较长线段的长是（2﹣2）cm．【分析】根据黄金分割的定义得到较长线段的长＝×4，然后进行二次根式的运算即可．【解答】解：较长线段的长＝×4＝（2﹣2）cm．故答案为．【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．9．（4分）如果两个相似三角形的对应角平分线之比为1：4，那么它们的周长之比是1：4．【分析】直接根据相似三角形的性质进行解答．【解答】解：∵两个相似三角形的对应角平分线之比为1：4，∴那么它们的周长之比是1：4．故答案为：1：4．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形对应边的比、对应角平分线的比、周长的比等于相似比．10．（4分）如果抛物线y＝（m﹣1）x2+2mx+1的图象开口向下，那么m的取值范围是m＜1．【分析】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向下时，二次项系数m﹣1＜0，然后解一元一次不等式即可求出m的取值范围．【解答】解：∵抛物线y＝（m﹣1）x2+2mx+1的图象开口向下，∴m﹣1＜0，解得：m＜1．故答案为：m＜1．【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，明确二次函数图象的开口方法有二次项系数决定是解题的基础．11．（4分）将二次函数y＝﹣2x2的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y＝﹣2（x﹣1）2﹣2．【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则即可得出结论．【解答】解：二次函数y＝﹣2x2的图象向右平移1个单位，再向下平移2单位后，所得二次函数的解析式为y＝﹣2（x﹣1）2﹣2．故答案为：y＝﹣2（x﹣1）2﹣2．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．12．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则m的值为﹣1．x﹣2﹣101234y72﹣1﹣2m27【分析】利用待定系数法求出二次函数的解析式，即可求解．【解答】解：把点（﹣2，7）（﹣1，2），（0，﹣1）代入y＝bx+c，得：，解得：，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣1，当x＝2时，y＝m＝22﹣2×2﹣1＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查了求二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握用待定系数法求出二次函数的解析式的方法是解题的关键．13．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，AB＝2，那么BC＝2cosα．（结果用α的锐角三角函数表示）【分析】根据余弦的定义可得BC＝AB•cosB＝2cosα．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，AB＝2，∵cosB＝，∴BC＝AB•cosB＝2cosα．故答案为：2cosα．【点评】本题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是关键．14．（4分）如图，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，那么与相等的向量是和．【分析】由点D、E、F分别是△ABC三边的中点，根据三角形中位线的性质，即可得DF∥AC，DF＝CE＝EA＝CA，从而可得与相等的向量．【解答】解：∵D、F分别是BC、BA的中点，∴DF是△ABC的中位线，∴DF∥AC，DF＝CE＝EA＝CA，故与相等的向量是和．故答案为：和．【点评】本题考查了向量及三角形的中位线定理，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握三角形中位线的性质及向量相等的含义．15．（4分）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A（﹣4，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．点P是直线AC上方抛物线上一点，过点P作PG⊥x轴，垂足为点G，PG与直线AC交于点H．如果PH＝AH，则点P的坐标是．【分析】用待定系数法可得，由A（﹣4，0），C（0，3）可得直线AC解析式为，，设，可得，由△AHG∽△ACO，可得，故，即可解得P点坐标．【解答】解：把A（﹣4，0），C（0，3）代入得：，解得，∴；如图：设直线AC解析式为y＝px+q，由A（﹣4，0），C（0，3）可得：，解得，∴直线AC解析式为，，设，则，∴，，∵∠HAG＝∠CAO，∠AGH＝90°＝∠AOC，∴△AHG∽△ACO，∴，即，∴，∵PH＝AH，∴，解得或m＝﹣4（与A重合，舍去），∴，故答案为：．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的综合应用，涉及待定系数法，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．16．（4分）如图，在▱ABCD中，点F在边AD上，AF＝2FD，直线BF与对角线AC相交于点E，交CD的延长线于点G，如果BE＝2，那么EG的长是3．【分析】由平行四边形的性质得AD∥BC，AD＝BC，再证△AEF∽△CEB，求出EF的长，然后证△GFD∽△GBC，求出GF的长，即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵AF＝2FD，∴AF＝AD＝BC，DF＝AD＝BC，∵AD∥BC，∴△AEF∽△CEB，∴＝＝，∴EF＝EB＝×2＝，∵AD∥BC，∴△GFD∽△GBC，∴＝＝，即＝，解得：GF＝，∴EG＝EF+GF＝+＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的性质，求出EF和GF的长是解题的关键．17．（4分）如图，已知在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AB＝AD，点E、F分别在线段CD、AD上．如果AE⊥BF，，那么cot∠ABD＝．【分析】过B作BG⊥AD于G，交AE于点H，证明△BGF∽△ADE，即可得，设BG＝2t，则AB＝AD＝3t，由勾股定理可得，最后求出cot∠ABD的值即可．【解答】解：如图，过B作BG⊥AD于G，交AE于点H，∵BG⊥AD，AE⊥BF，∴∠BOA＝∠BGA＝90°，∵∠BHO＝∠AHG，∴∠GBF＝∠DAE，又∵∠BGF＝∠ADE．∴△BGF∽△ADE．∴，设BG＝2t，则AB＝AD＝3t，∴，∴，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∴．故答案为：．【点评】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形解决问题．18．（4分）如图，已知在矩形ABCD中，连接AC，，将矩形ABCD绕点C旋转，使点B恰好落在对角线AC上的点B′处，点A、D分别落在点A′、D′处，边A′B′、A′C分别与边AD交于点M、N，MN﹣AM＝5，那么线段MN的长为15．【分析】连接BD，作A′E⊥AD于E，设AB＝CD＝3x，AD＝BC＝4x，则AC＝5x，由旋转的性质可得：B′C＝BC＝4x，A′B′＝AB＝3x，∠A′B′C＝∠ABC＝90°，证明△B′AM∽△DAC，得出，由勾股定理得出，推出，证明△AMB′∽△A′ME，求出，，得到，证明△A′EN∽△CDN，得出，求出，结合MN﹣AM＝5得到关于x的方程，求出x的值即可得解．【解答】解：如图，连接BD，作A′E⊥AD于E，∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD＝∠ADC＝∠ABC＝90°，AB＝CD，AD＝BC，∵，∴设AB＝3x，AD＝4x，∴AB＝CD＝3x，AD＝BC＝4x，∴，由旋转的性质可得：B′C＝BC＝4x，A′B′＝AB＝3x，∠A′B′C＝∠ABC＝90°，∴AB′＝AC﹣B′C＝x，∠AB′M＝180°﹣∠A′B′C＝90°，∵∠B′AM＝∠DAC，∴△B′AM∽△DAC，∴，∴，∴，∴，∵A′E⊥AD，∴∠A′EM＝∠AB′M＝90°，∵∠AMB′＝∠A′ME，∴△AMB′∽△A′ME，∴，∴，，∴，∵∠A′EN＝∠CDN＝90°，∠A′NE＝∠CND，∴△A′EN∽△CDN，∴，∴，∴，∵MN﹣AM＝5，∴，∴x＝8，∴，故答案为：15．【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的性质、解直角三角形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：．【分析】先将各个特殊角度的锐角三角函数值化简，再进行计算即可．【解答】解：原式＝＝＝＝0．【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，掌握相应的运算法则是关键．20．（10分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，BC＝2AD，OD＝1．（1）求BD的长：（2）如果，，试用、表示向量．【分析】（1）由题意可得△AOD∽△COB，则，即可得OB＝2，根据BD＝OB+OD可得答案．（2）由题意得，＝，则＝，由（1）知，OB＝，进而可得答案．【解答】解：（1）∵AD∥BC，∴∠DAO＝∠BCO，∠ADO＝∠CBO，∴△AOD∽△COB，∴，∵OD＝1，∴OB＝2，∴BD＝OB+OD＝3．（2）∵，BC＝2AD，∴＝，∴＝，由（1）知，OB＝，∴＝＝．【点评】本题考查平面向量、相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形法则、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．21．（10分）如图所示，BA和CD表示前后两幢楼，按照有感规定两幢楼间的间距不得小于楼的高度，即图中AC大于等于CD，小明想测量一下他家所著AB楼与前面CD楼是否符合规定，于是他在AC间的点M处架了测角仪，测得CD楼顶D的仰角为45°，已知AM＝4米，测角仪距地面MN＝1.5米．（1）问：两楼的间距是否符合规定？并说出你的理由；（2）为了知道前面CD楼的高度，小明又到家里（点P处），用测角仪再次测得CD楼顶D的仰角为α，如果AP＝7.5米，sinα＝0.6，请你来计算一下CD楼的高度．【分析】（1）过点N作NG⊥DC于点G，在Rt△DNG中，由∠DNG＝45°得到NG＝DG，比较AM+NG与DG+GC即可；（2）延长DP，GN交于H，由sinα＝0.6，可得tanα＝，由正切函数可求得HJ，设NG＝DG＝x，则HG＝8+4+x＝12+x，tanα＝，列方程可求得结论．【解答】解：（1）过点N作NG⊥DC于点G，在Rt△DNG中，∵∠DNG＝45°∴NG＝DG，∵AC＝AM+NG，DC＝DG+GC，AM＝4m，MN＝1.5m，AC＞DC，∴两楼的间距符合规定；（2）延长DP，GN交于H，则∠H＝α，PJ＝AP﹣MN＝7.5m﹣1.5m＝6m，∵sinα＝0.6，∴tanα＝，∴HJ＝＝8m，设NG＝DG＝x，则HG＝8+4+x＝12+x，∵tanα＝，∴＝，解得+x＝36，即DG＝36m，∴DC＝DG+GC＝36+1.5＝37.5（米），∴CD楼的高度为37.5米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，题目中涉及到了仰俯角和坡度角的问题，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线M：y＝﹣x2+bx+c过点A（2，2）、点B（0，2），顶点为点C，抛物线M的对称轴交x轴于点D．（1）直接写出抛物线M的表达式和点C的坐标；（2）点P在x轴上，当△AOP与△ACD相似时，求点P坐标．【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）当△OAP∽△CAD时，则，即，即可求解；当△OAP∽△CDA时，同理可解．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+2，∵y＝﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣1）2+3，∴顶点C（1，3）；（2）由（1）知，y＝﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣1）2+3，又∵抛物线M的对称轴交x轴于点D，如图，∴点D（1，0），∵A（2，2）、B（0，2），C（1，3），D（1，0），∴，CD＝3，，，∠AOD＝∠DCA＝45°，又∵△AOP与△ACD相似，∴点O与点C对应，分两种情况讨论：当△OAP∽△CAD时，则，即，解得：OP＝6，即点P（6，0）；当△OAP∽△CDA时，则，即，解得：，则点，综上，点P的坐标为或（6，0）．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象性质，相似三角形的判定性质等知识，熟练运用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．23．（12分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点M在边BC上，且∠MDB＝∠ADB，BD2＝AD•BC．（1）求证：BM＝CM；（2）作BE⊥DM，垂足为点E，并交CD于点F．求证：2AD•DM＝DF•DC．【分析】（1）首先证明BM＝DM，再根据已知条件证明△ADB∽△DBC，由相似的性质可得∠BDC＝∠A＝90°，进而证明DM＝CM，所以BM＝CM；（2）由（1）可知M是BC的中点，所以DM是三角形BDC斜边上的中线，由直角三角形的性质可知BC＝2DM，证明Rt△DFB∽Rt△DBC可得，所以BD2＝DF•DC，又因为BD2＝AD•BC，所以BD2＝AD•BC＝AD•（2DM）＝2AD•DM．【解答】证明：（1）∵AD∥BC，AB⊥BC，∠MDB＝∠ADB，∴∠ADB＝∠DBC＝∠MDB，∠A＝90°，∴BM＝DM，又∵BD2＝AD•BC，即，∴△ADB∽△DBC，∴∠BDC＝∠A＝90°，∴∠C＝∠MDC＝90°﹣∠DBC，∴DM＝CM，∴BM＝CM，（2）∵∠MDC+∠DFB＝90°，∴∠DFB＝∠DBC，∴Rt△DFB∽Rt△DBC，∴，∴DF•DC＝BD2∵BD2＝AD•BC＝AD•（2DM）＝2AD•DM，∴2AD•DM＝DF•DC．【点评】本题考查了梯形的性质、直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质以及比例式的证明，题目的综合性很强，难度不小．24．（12分）已知，如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y＝x﹣2经过A、C两点．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）P为抛物线上一点，若点P关于直线AC的对称点Q落在y轴上，求P点坐标；（3）现将抛物线平移，保持顶点在直线y＝x﹣，若平移后的抛物线与直线y＝x﹣2交于M、N两点．①求：MN的长度；②结合（2）的条件，直接写出△QMN的周长的最小值4+2．【分析】（1）求出A，C点的坐标，再将点坐标代入y＝x2+bx+c，即可得解；（2）先求出∠OCA＝45°，再由对称性可知PC⊥y轴，即可求出点P的纵坐标，最后利用二次函数的解析式求出结果；（3）①先求出平移后的抛物线，再利用（x﹣m）2+m﹣＝x﹣2，得出x1+x2＝2m﹣4，x1•x2＝m2﹣4m+3，最后利用两点间的距离公式求解即可；②作KQ⊥MN，连接MK，MP，先求出KM+MP的最小值，即KP的长，最后根据△QMN的周长的最小值，即KQ+KP，得解．【解答】解：（1）在y＝x﹣2中，令y＝0，得x＝2，令x＝0，得y＝﹣2，∴A（2，0），C（0，﹣2）；抛物线y＝x2+bx+c与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，将A，C点坐标代入得：，解得，∴抛物线的解析式为：y＝x2+x﹣2；（2）如图，∵OA＝OC＝2，∴∠OCA＝45°，∵点P关于AC的对称点Q在y轴上，∴∠OCA＝∠PCA＝45°，∴PC⊥y轴，∴点P的纵坐标为﹣2，令x2+x﹣2＝﹣2，解得x＝6或x＝0（舍去），∴P（6，﹣2）；（3）①设平移后的抛物线的顶点为（m，m﹣），∴平移后的抛物线的解析式为：y＝（x﹣m）2+m﹣，令（x﹣m）2+m﹣＝x﹣2，整理得x2+（4﹣2m）x+m2﹣4m+3＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），∴x1+x2＝2m﹣4，x1•x2＝m2﹣4m+3，∴MN＝＝＝＝2，∴MN的长度为2；②如图，作KQ∥MN，并令KQ＝MN，连接MK，MP，由题可知，P（6，﹣2），Q（0，4），KQ＝MN＝2，则只需要求QM+QN的最小值即可．∵KQ∥MN，KQ＝MN，∴KM＝QN即KM+MP的最小值，即KP的长，∴K（﹣2，2），∴KP＝4，∴△QMN的周长的最小值为4+2．故答案为：4+2．【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线的平移，待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，正确作出图形是解题关键．25．（14分）如图，已知正方形ABCD，点H是边BC上的一个动点（不与点B、C重合），点E在DH上，满足AE＝AB，延长BE交CD于点F．（1）求：sin∠FED；（2）点M、N分别是边AB、AD的中点，已知点P在线段MN上，连结AP、BP，此时∠APB＝90°，求：cot∠ABP；（3）连结CE．如果△CEF是以CE为腰的等腰三角形，求∠FBC的正切值．【分析】（1）由正方形的性质得AB＝AD，∠BAD＝90°，则AE＝AD＝AB，所以∠AEB＝∠ABE，∠AED＝∠ADE，则2∠AEB+2∠ADE+90°＝360°，所以∠AEB+∠ADE＝135°，进而得到∠FED＝45°，即可得到sin∠FED的值；（2）连接AC交MN于点O，作ME⊥AP，MF⊥BP，设正方形ABCD的边长为2，根据题意可得到，△MAN为等腰直角三角形，所以AM＝AN＝1，由直角三角形中线的性质可得AM＝MP＝BM＝1，在Rt△AOM中，由勾股定理得：，可求出，在Rt△AOP中，由勾股定理求出，进而得到，在Rt△AEM中，由勾股定理求出，由平行线的性质得到∠AME＝∠ABP，从而得到，代入即可得到答案；（3）分两种情况：①FE＝CE，则∠EFC＝∠ECF，可推出∠EBC＝∠ECB，所以BE＝CE＝FE，作EL⊥AD于点L，可证明AL＝DL，所以AE＝DE＝AD，则∠EAD＝60°，可求得∠CBF＝15°，在BC上取一点K，连接FK，使FK＝BK，则∠CKF＝∠KFB+