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文档简介
海南省白沙中学2024届高三下学期第三次质检(期中)数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.将函数图象上所有点向左平移个单位长度后得到函数的图象,如果在区间上单调递减,那么实数的最大值为()A. B. C. D.2.一个盒子里有4个分别标有号码为1,2,3,4的小球,每次取出一个,记下它的标号后再放回盒子中,共取3次,则取得小球标号最大值是4的取法有()A.17种 B.27种 C.37种 D.47种3.已知数列的前项和为,且,,则()A. B. C. D.4.曲线在点处的切线方程为()A. B. C. D.5.集合,则集合的真子集的个数是A.1个 B.3个 C.4个 D.7个6.如图,平面与平面相交于,,,点,点,则下列叙述错误的是()A.直线与异面B.过只有唯一平面与平行C.过点只能作唯一平面与垂直D.过一定能作一平面与垂直7.给出个数,,,,,,其规律是:第个数是,第个数比第个数大,第个数比第个数大,第个数比第个数大,以此类推,要计算这个数的和.现已给出了该问题算法的程序框图如图,请在图中判断框中的①处和执行框中的②处填上合适的语句,使之能完成该题算法功能()A.; B.;C.; D.;8.已知集合,集合,若,则()A. B. C. D.9.甲、乙、丙三人相约晚上在某地会面,已知这三人都不会违约且无两人同时到达,则甲第一个到、丙第三个到的概率是()A. B. C. D.10.若,满足约束条件,则的取值范围为()A. B. C. D.11.设,其中a,b是实数,则()A.1 B.2 C. D.12.四人并排坐在连号的四个座位上,其中与不相邻的所有不同的坐法种数是()A.12 B.16 C.20 D.8二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.有以下四个命题:①在中,的充要条件是;②函数在区间上存在零点的充要条件是;③对于函数,若,则必不是奇函数;④函数与的图象关于直线对称.其中正确命题的序号为______.14.运行下面的算法伪代码,输出的结果为_____.15.割圆术是估算圆周率的科学方法,由三国时期数学家刘徽创立,他用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积,从而得出圆周率.现在半径为1的圆内任取一点,则该点取自其内接正十二边形内部的概率为________.16.已知函数有两个极值点、,则的取值范围为_________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知等差数列中,,数列的前项和.(1)求;(2)若,求的前项和.18.(12分)已知椭圆C的离心率为且经过点(1)求椭圆C的方程;(2)过点(0,2)的直线l与椭圆C交于不同两点A、B,以OA、OB为邻边的平行四边形OAMB的顶点M在椭圆C上,求直线l的方程.19.(12分)在中,角,,的对边分别为,,,,,且的面积为.(1)求;(2)求的周长.20.(12分)语音交互是人工智能的方向之一,现在市场上流行多种可实现语音交互的智能音箱.主要代表有小米公司的“小爱同学”智能音箱和阿里巴巴的“天猫精灵”智能音箱,它们可以通过语音交互满足人们的部分需求.某经销商为了了解不同智能音箱与其购买者性别之间的关联程度,从某地区随机抽取了100名购买“小爱同学”和100名购买“天猫精灵”的人,具体数据如下:“小爱同学”智能音箱“天猫精灵”智能音箱合计男4560105女554095合计100100200(1)若该地区共有13000人购买了“小爱同学”,有12000人购买了“天猫精灵”,试估计该地区购买“小爱同学”的女性比购买“天猫精灵”的女性多多少人?(2)根据列联表,能否有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关?附:0.100.050.0250.010.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82821.(12分)在锐角三角形中,角的对边分别为.已知成等差数列,成等比数列.(1)求的值;(2)若的面积为求的值.22.(10分)已知函数.(1)当时,解不等式;(2)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
根据条件先求出的解析式,结合三角函数的单调性进行求解即可.【详解】将函数图象上所有点向左平移个单位长度后得到函数的图象,则,设,则当时,,,即,要使在区间上单调递减,则得,得,即实数的最大值为,故选:B.【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换,考查根据三角函数的单调性求参数,属于中档题.2、C【解析】
由于是放回抽取,故每次的情况有4种,共有64种;先找到最大值不是4的情况,即三次取出标号均不为4的球的情况,进而求解.【详解】所有可能的情况有种,其中最大值不是4的情况有种,所以取得小球标号最大值是4的取法有种,故选:C【点睛】本题考查古典概型,考查补集思想的应用,属于基础题.3、C【解析】
根据已知条件判断出数列是等比数列,求得其通项公式,由此求得.【详解】由于,所以数列是等比数列,其首项为,第二项为,所以公比为.所以,所以.故选:C【点睛】本小题主要考查等比数列的证明,考查等比数列通项公式,属于基础题.4、A【解析】
将点代入解析式确定参数值,结合导数的几何意义求得切线斜率,即可由点斜式求的切线方程.【详解】曲线,即,当时,代入可得,所以切点坐标为,求得导函数可得,由导数几何意义可知,由点斜式可得切线方程为,即,故选:A.【点睛】本题考查了导数的几何意义,在曲线上一点的切线方程求法,属于基础题.5、B【解析】
由题意,结合集合,求得集合,得到集合中元素的个数,即可求解,得到答案.【详解】由题意,集合,则,所以集合的真子集的个数为个,故选B.【点睛】本题主要考查了集合的运算和集合中真子集的个数个数的求解,其中作出集合的运算,得到集合,再由真子集个数的公式作出计算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.6、D【解析】
根据异面直线的判定定理、定义和性质,结合线面垂直的关系,对选项中的命题判断.【详解】A.假设直线与共面,则A,D,B,C共面,则AB,CD共面,与,矛盾,故正确.B.根据异面直线的性质知,过只有唯一平面与平行,故正确.C.根据过一点有且只有一个平面与已知直线垂直知,故正确.D.根据异面直线的性质知,过不一定能作一平面与垂直,故错误.故选:D【点睛】本题主要考查异面直线的定义,性质以及线面关系,还考查了理解辨析的能力,属于中档题.7、A【解析】
要计算这个数的和,这就需要循环50次,这样可以确定判断语句①,根据累加最的变化规律可以确定语句②.【详解】因为计算这个数的和,循环变量的初值为1,所以步长应该为1,故判断语句①应为,第个数是,第个数比第个数大,第个数比第个数大,第个数比第个数大,这样可以确定语句②为,故本题选A.【点睛】本题考查了补充循环结构,正确读懂题意是解本题的关键.8、A【解析】
根据或,验证交集后求得的值.【详解】因为,所以或.当时,,不符合题意,当时,.故选A.【点睛】本小题主要考查集合的交集概念及运算,属于基础题.9、D【解析】
先判断是一个古典概型,列举出甲、乙、丙三人相约到达的基本事件种数,再得到甲第一个到、丙第三个到的基本事件的种数,利用古典概型的概率公式求解.【详解】甲、乙、丙三人相约到达的基本事件有甲乙丙,甲丙乙,乙甲丙,乙丙甲,丙甲乙,丙乙甲,共6种,其中甲第一个到、丙第三个到有甲乙丙,共1种,所以甲第一个到、丙第三个到的概率是.故选:D【点睛】本题主要考查古典概型的概率求法,还考查了理解辨析的能力,属于基础题.10、B【解析】
根据约束条件作出可行域,找到使直线的截距取最值得点,相应坐标代入即可求得取值范围.【详解】画出可行域,如图所示:由图可知,当直线经过点时,取得最小值-5;经过点时,取得最大值5,故.故选:B【点睛】本题考查根据线性规划求范围,属于基础题.11、D【解析】
根据复数相等,可得,然后根据复数模的计算,可得结果.【详解】由题可知:,即,所以则故选:D【点睛】本题考查复数模的计算,考验计算,属基础题.12、A【解析】
先将除A,B以外的两人先排,再将A,B在3个空位置里进行插空,再相乘得答案.【详解】先将除A,B以外的两人先排,有种;再将A,B在3个空位置里进行插空,有种,所以共有种.故选:A【点睛】本题考查排列中不相邻问题,常用插空法,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、①【解析】
由三角形的正弦定理和边角关系可判断①;由零点存在定理和二次函数的图象可判断②;由,结合奇函数的定义,可判断③;由函数图象对称的特点可判断④.【详解】解:①在中,,故①正确;②函数在区间上存在零点,比如在存在零点,但是,故②错误;③对于函数,若,满足,但可能为奇函数,故③错误;④函数与的图象,可令,即,即有和的图象关于直线对称,即对称,故④错误.故答案为:①.【点睛】本题主要考查函数的零点存在定理和对称性、奇偶性的判断,考查判断能力和推理能力,属于中档题.14、【解析】
模拟程序的运行过程知该程序运行后计算并输出的值,用裂项相消法求和即可.【详解】模拟程序的运行过程知,该程序运行后执行:.故答案为:【点睛】本题考查算法语句中的循环语句和裂项相消法求和;掌握循环体执行的次数是求解本题的关键;属于基础题.15、【解析】
求出圆内接正十二边形的面积和圆的面积,再用几何概型公式求出即可.【详解】半径为1的圆内接正十二边形,可分割为12个顶角为,腰为1的等腰三角形,∴该正十二边形的面积为,根据几何概型公式,该点取自其内接正十二边形的概率为,故答案为:.【点睛】本小题主要考查面积型几何概型的计算,属于基础题.16、【解析】
确定函数的定义域,求导函数,利用极值的定义,建立方程,结合韦达定理,即可求的取值范围.【详解】函数的定义域为,,依题意,方程有两个不等的正根、(其中),则,由韦达定理得,,所以,令,则,,当时,,则函数在上单调递减,则,所以,函数在上单调递减,所以,.因此,的取值范围是.故答案为:.【点睛】本题考查了函数极值点问题,考查了函数的单调性、最值,将的取值范围转化为以为自变量的函数的值域问题是解答的关键,考查计算能力,属于中等题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1),;(2).【解析】
(1)由条件得出方程组,可求得的通项,当时,,可得,当时,,得出是以1为首项,2为公比的等比数列,可求得的通项;(2)由(1)可知,,分n为偶数和n为奇数分别求得.【详解】(1)由条件知,,,当时,,即,当时,,是以1为首项,2为公比的等比数列,;(2)由(1)可知,,当n为偶数时,当n为奇数时,综上,【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项的求得,以及其前n项和,注意分n为偶数和n为奇数两种情况分别求得其数列的和,属于中档题.18、(1)(2)【解析】
(1)根据椭圆的离心率、椭圆上点的坐标以及列方程,由此求得,进而求得椭圆的方程.(2)设出直线的方程,联立直线的方程和椭圆的方程,写出韦达定理.根据平行四边形的性质以及向量加法的几何意义得到,由此求得点的坐标,将的坐标代入椭圆方程,化简后可求得直线的斜率,由此求得直线的方程.【详解】(1)由椭圆的离心率为,点在椭圆上,所以,且解得,所以椭圆的方程为.(2)显然直线的斜率存在,设直线的斜率为,则直线的方程为,设,由消去得,所以,由已知得,所以,由于点都在椭圆上,所以,展开有,又,所以,经检验满足,故直线的方程为.【点睛】本小题主要考查根据椭圆的离心率和椭圆上一点的坐标求椭圆方程,考查直线和椭圆的位置关系,考查运算求解能力,属于中档题.19、(1)(2)【解析】
(1)利用正弦,余弦定理对式子化简求解即可;(2)利用余弦定理以及三角形的面积,求解三角形的周长即可.【详解】(1),由正弦定理可得:,即:,由余弦定理得.(2)∵,所以,,又,且,,的周长为【点睛】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用,三角形的面积公式,也考查计算能力,属于基础题.20、(1)多2350人;(2)有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关.【解析】
(1)根据题意,知100人中购买“小爱同学”的女性有55人,购买“天猫精灵”的女性有40人,即可估计该地区购买“小爱同学”的女性人数和购买“天猫精灵”的女性的人数,即可求得答案;(2)根据列联表和给出的公式,求出,与临界值比较,即可得出结论.【详解】解:(1)由题可知,100人中购买“小爱同学”的女性有55人,购买“天猫精灵”的女性有40人,由于地区共有13000人购买了“小爱同学”,有12000人购买了“天猫精灵”,估计购买“小爱同学”的女性有人.估计购买“天猫精灵”的女性有人.则,∴估计该地区购买“小爱同学”的女性比购买“天猫精灵”的女性多2350人.(2)由题可知,,∴有95%的把
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