专项05 圆的综合探究题

专项05圆的综合探究题类型一圆性质的综合探究题1.(2023山东威海文登期末)如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°.点D为BC边上一点，以AD为边作△ADE，使∠DAE=90°，AE=AD，连接CE，则CE与BD的数量关系是.

如图2，△ABC内接于☉O，BC为☉O的直径，AB=AC，点E为弧AC上一点，连接AE，BE，CE.若CE=3，BE=9，求AE的长.如图3，等边△ABC内接于☉O，点E为弧AC上一点，连接AE，BE，CE.若CE=6，BE=10，求AE的长. 图1 图2 图32.(2023吉林长春中考)【感知】如图①，点A、B、P均在☉O上，∠AOB=90°，则锐角∠APB的大小为度.

【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，☉O是等边三角形ABC的外接圆，点P在AC上(点P不与点A、C重合)，连接PA、PB、PC.求证：PB=PA+PC.小明发现，延长PA至点E，使AE=PC，连接BE，通过证明△PBC≌△EBA可推得△PBE是等边三角形，进而得证.下面是小明的部分证明过程：证明：延长PA至点E，使AE=PC，连接BE.∵四边形ABCP是☉O的内接四边形，∴∠BAP+∠BCP=180°，∵∠BAP+∠BAE=180°，∴∠BCP=∠BAE，∵△ABC是等边三角形，∴BA=BC，∴△PBC≌△EBA(SAS).请你补全余下的证明过程.【应用】如图③，☉O是△ABC的外接圆，∠ABC=90°，AB=BC，点P在☉O上，且点P与点B在AC的两侧，连接PA、PB、PC，若PB=22PA，则PBPC的值为 图① 图② 图③类型二圆位置关系的综合探究题3.(2023陕西中考A卷)(1)如图①，在△OAB中，OA=OB，∠AOB=120°，AB=24.若☉O的半径为4，点P在☉O上，点M在AB上，连接PM，求线段PM长度的最小值.(2)如图②，五边形ABCDE是某市工业新区的外环路，新区管委会在点B处，点E处是该市的一个交通枢纽，已知：∠A=∠ABC=∠AED=90°，AB=AE=10000m，BC=DE=6000m，根据新区的自然环境及实际需求，现要在矩形AFDE区域内(含边界)修一个半径为30m的圆形环道☉O，过圆心O，作OM⊥AB，垂足为M，与☉O交于点N，连接BN，点P在☉O上，连接EP，其中，线段BN、EP及MN是要修的三条道路，要在所修道路BN、EP长度之和最小的情况下，使所修道路MN最短，试求此时环道☉O的圆心O到AB的距离(即OM的长).4.(2023山东济宁中考)如图，已知AB是☉O的直径，CD=CB，BE切☉O于点B，过点C作CF⊥OE，交BE于点F，若EF=2BF.(1)如图1，连接BD，求证：△ADB≌△OBE；(2)如图2，N是AD上一点，在AB上取一点M，使∠MCN=60°，连接MN.请问：三条线段MN，BM，DN有怎样的数量关系?并证明你的结论. 图1 图2

专项05圆的综合探究题答案全解全析1.解析CE=BD.详解：∵∠BAC=90°，∠DAE=90°，∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE=90°，∴∠BAD=∠CAE.在△BAD和△CAE中，BA∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴CE=BD.故填CE=BD.过点A作AF⊥AE，交BE于点F，如图.∵BC为☉O的直径，∴∠BAC=90°.∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°.∵∠AEB=∠ACB，∴∠AEB=45°.∵AF⊥AE，∴∠AFE=45°.∴AF=AE=22∵∠BAC=∠FAE=90°，即∠BAF+∠FAC=∠FAC+∠CAE=90°，∴∠BAF=∠CAE.在△BAF和△CAE中，BA=∴△BAF≌△CAE(SAS).∴BF=CE=3.∴EF=BE-BF=9-3=6.∴AE=32.在BE上取一点F，使AF=AE，如图.∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°.∵∠AEB=∠ACB，∴∠AEB=60°.∴△AEF为等边三角形.∴∠FAE=60°，AE=EF.∴∠BAF+∠FAC=∠FAC+∠CAE=60°.∴∠BAF=∠CAE.在△BAF和△CAE中，BA=∴△BAF≌△CAE(SAS).∴BF=CE=6.∴EF=BE-BF=10-6=4.∴AE=EF=4.2.解析补充证明过程如下：∴PB=EB，∠PBC=∠EBA，∴∠EBA+∠ABP=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，∴△PBE是等边三角形，∴PB=PE=PA+AE=PA+PC.【应用】22详解：如图，延长PA至点E，使AE=PC，连接BE.∵四边形ABCP是☉O的内接四边形，∴∠BAP+∠BCP=180°.又∵∠BAP+∠BAE=180°，∴∠BCP=∠BAE.又∵PC=EA，BC=BA，∴△PBC≌△EBA(SAS)，∴PB=EB，∠PBC=∠EBA，∴∠EBA+∠ABP=∠PBC+∠ABP=∠ABC=90°，∴PE=2PB.∵PE=PA+AE=PA+PC，∴PA+PC=2PB，又∵PB=22PA，∴PA+PC=2×22PA=4PA，∴PC=3PA，∴PBPC=22PA3.解析(1)如图①，连接OP，OM，过点O作OM'⊥AB，垂足为M'，则OP+PM≥OM≥OM'.图①∵☉O的半径为4，∴PM≥OM-4≥OM'-4.∵OA=OB，∠AOB=120°，∴∠A=30°，AM'=12∴OM'=AM'·tan30°=12×tan30°=43.∴PM≥OM'-4=43-4，∴线段PM长度的最小值为43-4.(2)如图②，分别在BC，AE上截取BB'=AA'=30m.连接A'B'，B'O、OP、OE、B'E.图②∵OM⊥AB，BB'⊥AB，∴OM∥BB'.又ON=BB'，∴四边形BB'ON是平行四边形.∴BN=B'O.∵B'O+OP+PE≥B'O+OE≥B'E，∴BN+PE≥B'E-OP.∴当点O在B'E上时，BN+PE取得最小值.作☉O'，使圆心O'在B'E上，半径=30m，作O'M'⊥AB，垂足为M'，与☉O'交于点N'，与A'B'交于点H.易证△B'O'H∽△B'EA'，∴O'HEA∵☉O'在矩形AFDE区域内(含边界)，∴当☉O'与FD相切时，B'H最短，即B'H=10000-6000+30=4030(m)，此时O'H也最短，∵M'N'=O'H，∴M'N'也最短.O'H=EA'·B'∴O'M'=O'H+M'H=4047.91(m).∴此时环道☉O的圆心O到AB的距离为4047.91m.4.解析(1)证明：∵CF⊥OE，OC是半径，∴CF与☉O相切.又∵BE与☉O相切，∴BF=CF，∴EF=2BF=2CF，∴sinE=CFEF=12，∴∠E=30°连接OD(图略)，则OD=OB.又∵CD=CB，∴OC垂直平分BD，∴∠ABD=90°-60°=30°，∴∠ABD=∠E.∵AB是直径，∴∠ADB=90°=∠EBO，在Rt△ABD中，∠ABD=30°，∴AD=12AB=BO，(2)MN=BM+DN.证明：延长ND至H，使得DH=BM，连接CH，BD，如图所示.∵∠CBM+∠NDC=180°，∠HDC+∠NDC=180°，∴∠HDC=∠CBM.又∵CD=CB，DH=BM，∴△HCD≌△MCB，∴∠BCM=∠DCH，CM=CH.由(1)可得∠ABD=30°，∠ADB=90°，∴∠A=60°，∴∠DCB=180°-∠A=120°.∵∠MCN=60°，∴∠BCM+∠NCD=60°，∴∠NCH=∠DCH+∠NCD=60°=∠NCM.又∵NC=NC，CM=CH，∴△CNH≌