5.6.2 切线的性质与判定 同步练习

第五章圆6直线和圆的位置关系第2课时切线的性质与判定基础过关全练知识点2切线的性质1.(2023重庆中考A卷)如图,AC所在直线是☉O的切线,B为切点,连接OA,OC.若∠A=30°,AB=23,BC=3,则OC的长度是()A.3 B.23 C.13 D.62.(2023山东泰安岱岳三模)如图,AB是☉O的直径,C,D是☉O上的点,∠CDB=15°,过点C作☉O的切线交AB的延长线于点E,若OE=2,则☉O的半径为()A.3 B.2 C.32 D.3.(2022山东泰安中考)如图,在△ABC中,∠B=90°,☉O过点A、C,与AB交于点D,与BC相切于点C,若∠A=32°,则∠ADO=°.4.(2022湖南株洲中考)中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”.“方田一段,一角圆池占之.”意思是说:“一块正方形田地,在其一角有一个圆形的水池(其中圆与正方形一角的两边均相切)”,如图所示.问题:此图中,正方形一条对角线AB与☉O相交于点M、N(点N在点M的右上方),若AB的长度为10米,☉O的半径为2米,则BN的长度为米.5.(2022浙江金华中考)如图,木工用角尺的短边紧靠☉O于点A,长边与☉O相切于点B,角尺的直角顶点为C.已知AC=6cm,CB=8cm,则☉O的半径为cm.6.如图,△ABC内接于☉O,过点A作☉O的切线AD,连接OD交☉O于点E,点E恰为AC的中点,试猜想∠B与∠D的数量关系,并说明理由.7.(2023江苏连云港中考)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O交边AC于点D,连接BD,过点C作CE∥AB.(1)请用无刻度的直尺和圆规作图:过点B作☉O的切线,交CE于点F;(不写作法,保留作图痕迹,标明字母)(2)在(1)的条件下,求证:BD=BF.8.(2023山东东营河口三模)如图,CD与☉O相切于点D,点C在直径AB的延长线上.(1)求证:∠CAD=∠BDC;(2)若BD=239.(2022天津中考)已知AB为☉O的直径,AB=6,C为☉O上的一点,连接CA,CB.(1)如图①,若C为AB的中点,求∠CAB的度数和AC的长;(2)如图②,若AC=2,OD为☉O的半径,且OD⊥CB,垂足为E,过点D作☉O的切线,与AC的延长线相交于点F,求FD的长.图①图②知识点3切线的判定10.(2023广西中考节选)如图,PO平分∠APD,PA与☉O相切于点A,延长AO交PD于点C,过点O作OB⊥PD,垂足为B.求证:PB是☉O的切线.11.(2022四川南充中考节选)如图,AB为☉O的直径,点C是☉O上一点,点D是☉O外一点,∠BCD=∠BAC,连接OD交BC于点E.求证:CD是☉O的切线.12.(2023甘肃武威中考)如图,△ABC内接于☉O,AB是☉O的直径,D是☉O上的一点,CO平分∠BCD,CE⊥AD,垂足为E,AB与CD相交于点F.(1)求证:CE是☉O的切线;(2)当☉O的半径为5,sinB=35能力提升全练13.(2023四川泸州中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D在斜边AB上,以AD为直径的半圆O与BC相切于点E,与AC相交于点F,连接DE.若AC=8,BC=6,则DE的长是()A.4109 B.8109 C.14.(2023山东泰安东平模拟)如图,☉O中,AB=CB,过点A作BC的平行线交过点C的圆的切线于点D,连接OB,OC,若∠ABC=46°,则∠ADC的度数是.15.(2023河南中考)如图,PA与☉O相切于点A,PO交☉O于点B,点C在PA上,且CB=CA.若OA=5,PA=12,则CA的长为.第15题图第16题图16.(2021山东淄博博山模拟)如图,Rt△ACB中,∠C=90°,AC=BC=6,点O在BC边上,且OB=2,P是AB边上的动点,连接OP,以点O为圆心,OP长为半径作☉O.当☉O与Rt△ACB的边相切时,BP的长为.

17.(2023山东威海中考)如图,在平面直角坐标系中,点P在第一象限内,☉P与x轴相切于点C,与y轴相交于点A(0,8),B(0,2).连接AC,BC.(1)求点P的坐标;(2)求cos∠ACB的值.18.(2023山东威海乳山一模)如图,已知AB是☉O的直径,点P在BA的延长线上,AB=BE,PD切☉O于点D,交EB于点C,连接AE,点D恰好在AE上.(1)求证:BE⊥PC;(2)连接OC,如果PD=23,∠ABC=60°,求OC的长.19.(2023山东烟台中考)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点E,☉O经过A,D两点,交对角线AC于点F,连接OF交AD于点G,且AG=GD.(1)求证:AB是☉O的切线;(2)已知☉O的半径与菱形的边长之比为5∶8,求tan∠ADB的值.素养探究全练20.(2023浙江丽水中考改编)如图,在☉O中,AB是一条不过圆心O的弦,点C,D是AB的三等分点,直径CE交AB于点F,连接AD交CF于点G,连接AC,过点C的切线交BA的延长线于点H.(1)求证:AD∥HC;(2)若OGGC(3)连接BC交AD于点N,若☉O的半径为5.①若OF=52②若AH=10,求△ANB的周长;③若HF·AB=88,求△BHC的面积.

第五章圆6直线和圆的位置关系第2课时切线的性质与判定答案全解全析基础过关全练1.C如图,连接OB.∵AC所在直线是☉O的切线,∴OB⊥AC.∴∠ABO=∠CBO=90°.∵∠A=30°,AB=23,∴OB=AB·tanA=2.∵BC=3,∴OC=BC2+OB2方法解读已知圆的切线时,常连接圆心和切点,得到的半径垂直于切线,进一步通过构造直角三角形来解决问题,即“见切线,连半径,得垂直”.2.A如图,连接OC.∵∠CDB=15°,∴∠COB=2∠CDB=30°.∵直线CE为☉O的切线,∴OC⊥CE.∴OC=OE·cos∠COB=2×32=33.答案64解析如图,连接OC.∵∠A=32°,∴∠DOC=2∠A=64°.∵BC与☉O相切于点C,∴OC⊥BC,即∠OCB=90°.∵∠B=90°,∴∠B+∠OCB=180°.∴AB∥OC.∴∠ADO=∠DOC=64°.4.答案(8-22)解析如图,设正方形的一边与☉O的切点为C,连接OC,则OC⊥AC,∵AB是正方形的对角线,∴∠OAC=45°,∴OA=2OC=22(米),∴BN=AB-AO-ON=10-22-2=(8-22)米.5.答案25解析连接OA,OB,过点A作AD⊥OB于点D,如图.∵角尺长边与☉O相切于点B,∴OB⊥BC.∵AC⊥BC,AD⊥OB,∴四边形ACBD为矩形.∴BD=AC=6cm,AD=BC=8cm.设☉O的半径为rcm,则OA=OB=rcm,∴OD=OB-BD=(r-6)cm.在Rt△OAD中,AD2+OD2=OA2,即82+(r-6)2=r2,解得r=253.故☉O的半径为256.解析∠B+∠D=90°.理由:如图,连接AO并延长交☉O于点F,连接CF.∵点E为AC的中点,∴OE⊥AC.∴∠CAD+∠D=90°.∵AD与☉O相切于点A,∴∠FAD=90°.∴∠CAD+∠FAC=90°.∵AF是☉O的直径,∴∠ACF=90°,∴∠AFC+∠FAC=90°.∴∠AFC=∠CAD.∵∠AFC=∠B,∴∠B+∠D=90°.7.解析(1)方法不唯一,如图所示.(2)证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵AB∥CE,∴∠ABC=∠BCF,∴∠BCF=∠ACB.∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠BDC=90°.∵BF为☉O的切线,∴∠ABF=90°.∵AB∥CE,∴∠BFC+∠ABF=180°,∴∠BFC=90°,∴∠BDC=∠BFC.在△BCD和△BCF中,∠∴△BCD≌△BCF(AAS),∴BD=BF.8.解析(1)证明:如图,连接OD.∵CD与☉O相切于点D,∴∠ODC=90°,∴∠ODB+∠BDC=90°.∵AB是☉O的直径,∴∠BDA=90°,∴∠ODB+∠ODA=90°.∴∠BDC=∠ODA.∵OA=OD,∴∠ODA=∠CAD.∴∠CAD=∠BDC.(2)∵∠DCB=∠ACD,∠BDC=∠DAC,∴△CDB∽△CAD.∴BDDA=CDCA,即23∴CD的长是4.9.解析(1)∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°.∵C为AB的中点,∴AC=BC,∴AC=BC,∴∠ABC=∠CAB.在Rt△ABC中,∠ABC+∠CAB=90°,∴∠CAB=45°.根据勾股定理,得AC2+BC2=AB2.又AB=6,∴2AC2=36.∴AC=32(舍负).(2)∵FD是☉O的切线,∴OD⊥FD,即∠ODF=90°.∵OD⊥CB,垂足为E,∴∠CED=90°,CE=12∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠FCE=90°.∴∠FCE=∠CED=∠ODF=90°.∴四边形ECFD为矩形.∴FD=CE=12在Rt△ABC中,AB=6,AC=2,∠ACB=90°,∴CB=AB2-AC210.证明∵PA与☉O相切于点A,∴PA⊥OA.∵PO平分∠APD,OB⊥PD,OA⊥PA,∴OB=OA.∴点B在☉O上.∵OB是☉O的半径,且PB⊥OB,∴PB是☉O的切线.11.证明如图,连接OC.∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.∵OA=OC,∴∠BAC=∠OCA.∵∠BCD=∠BAC,∴∠OCA=∠BCD.∵∠OCA+∠OCB=90°,∴∠BCD+∠OCB=90°,即∠OCD=90°,∴OC⊥CD.又OC是☉O的半径,∴CD是☉O的切线.12.解析(1)证明:∵OB=OC,∴∠B=∠OCB.∵∠ADC=∠B,∴∠OCB=∠ADC.∵CO平分∠BCD,∴∠OCB=∠OCD.∴∠ADC=∠OCD.∵CE⊥AD,∴∠ADC+∠ECD=90°,∴∠OCD+∠ECD=90°,即CE⊥OC.∵OC为☉O的半径,∴CE是☉O的切线.(2)连接OD(图略),∵OD=OC,∴∠ODC=∠OCD.∵∠OCD=∠OCB=∠B,∴∠ODC=∠B,∵CO=CO,∴△OCD≌△OCB,∴CD=CB.∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,∴AC=AB·sinB=10×35∴CB=AB2-A∴CE=CD·sin∠ADC=CD·sinB=8×35=24能力提升全练13.B在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,由勾股定理,得AB=AC如图,连接AE,OE.设半圆O的半径为r,则OA=OE=r,∴OB=AB-OA=10-r.∵BC与半圆O相切,∴OE⊥BC.∵∠C=90°,即AC⊥BC,∴OE∥AC.∴△BOE∽△BAC.∴BEBC=BOAB=OEAC,即BE6=由10−r10=r8,得r=409.由BE6∴CE=BC-BE=6-103=8在Rt△ACE中,AC=8,CE=83由勾股定理,得AE=AC2+C∵AD为半圆O的直径,∴∠AED=90°.∴DE=AD2-AE214.答案67°解析连接OA(图略).∵AB=CB,∴AB=BC.∴∠AOB=∠BOC.∵OB=OC,OB=OA,∴∠BCO=∠OBC,∠OAB=∠OBA.∴∠OBA=∠OBC.∵∠ABC=46°,∴∠OBA=∠OBC=23°.∴∠BCO=23°.∵CD是圆的切线,∴OC⊥CD.∴∠OCD=90°.∴∠BCD=∠BCO+∠OCD=113°.∵CB∥AD,∴∠ADC=180°-∠BCD=180°-113°=67°.15.答案10解析如图,连接OC.∵PA与☉O相切于点A,∴∠OAP=90°.∵OA=OB,OC=OC,CA=CB,∴△OAC≌△OBC(SSS).∴∠OAP=∠OBC=90°,在Rt△OAP中,OA=5,PA=12,∴OP=OA2+A解法一(面积法):∵△OAC的面积+△OCP的面积=△OAP的面积,∴12OA·AC+12OP·BC=∴OA·AC+OP·BC=OA·AP,即5AC+13BC=5×12,∴AC=BC=103解法二(三角函数法):∵tanP=BCBP=OAAP,∴AC13−5=516.答案2或14+2解析∵∠C=90°,AC=BC=6,∴∠B=45°.当☉O与AB相切时,如图1.∵OP⊥AB,∴∠OPB=90°.∴BP=OB·cosB=2×22=2图1图2当☉O与AC相切时,如图2,过P点作PH⊥BC于H.易知OP=OC=4.设OH=x,则PH=BH=x+2.在Rt△POH中,OH2+PH2=OP2,即x2+(x+2)2=42,解得x1=7-1,x2=-7-1(舍去).∴PH=x+2=7+1.∴PB=2PH=14+2.综上所述,当☉O与Rt△ACB的边相切时,BP的长为2或14+2.17.解析此题以平面直角坐标系为背景,考查切线的性质和圆的性质.(1)如图,连接PC,PB.∵点A(0,8),B(0,2),∴AB=6.过P作PH⊥AB于H,∴AH=BH=3.∴OH=5.∵☉P与x轴相切于点C,∴PC⊥x轴.易知四边形OHPC为矩形,∴PC=OH=5.∴PB=5.∴PH=PB(2)如图,连接AP并延长交☉P于M,连接BM,则∠ABM=90°.∴BM=AM2-A∴cos∠ACB=cos∠AMB=BMAM=810=18.解析(1)证明:如图1,连接OD.∵AB=BE,∴∠E=∠BAE.∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA.∴∠ODA=∠E.∴OD∥BE.∵PD切☉O于点D,∴OD⊥PD.∴∠ODP=∠BCP=90°.∴BE⊥PC.图1图2(2)如图2,连接OD.∵OD∥BE,∠ABC=60°,∴∠DOP=∠ABC=60°.∵PD⊥OD,∴tan∠DOP=DPOD,即3=2∴OP=4,∴PB=6.∵BE⊥PC,∴sin∠ABC=PCPB,即32=∴PC=33.∴DC=3.∴OC=OD2+CD219.解析(1)证明:如图,连接OA,则OF=OA,∴∠OAF=∠OFA.∵AG=GD,∴OF⊥AD.∴∠AGF=90°.∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD,AC⊥BD.∴∠BAE=∠DAE.∴∠OAB=∠OAF+∠BAE=∠OFA+∠DAE=90°.∴AB⊥OA.又OA是☉O的半径,∴AB是☉O的切线.(2)∵OAAD=58,AD=2AG,∴OAAG设AG=4m,则OF=OA=5m.∵∠AGO=90°,∴OG=OA2-A∴FG=OF-OG=5m-3m=2m.∵∠AED=∠AGF=90°,∴∠ADB=∠AFG=90°-∠DAE.∴tan∠ADB=tan∠AFG=AGFG=4∴tan∠ADB的值是2.方法解读作辅助线判定圆的切线的常用方法:①如果已知直线经过圆上的一点,那么连接这点和圆心,得到辅助半径,再证明所作半径与这条直线垂直即可,简记为有切点,连半径,证垂直.②如果已知条件中不知道直线与圆是否有公共点,那么过圆心作直线的垂线段,再证明垂线段的长度等于半径即可,简记为无切点,作垂直,证半径.素养探究全练20.解析(1)证明:∵点C,D是AB的三等分点,∴AC=CD=DB.又CE是☉O的直径,∴CE⊥AD,∵HC是☉O的切线,∴HC⊥CE.∴AD∥HC.(2)连接AO(图略),∵BD=CD,∴∠BAD=∠CAD.由CE⊥AD易证△CAG≌△FAG,∴CG=FG.设CG=a,则FG=a,∵OGCG∴OG=2a,∴AO=CO=3a.在Rt△AOG中,由勾股定理得AO2=AG2+OG2,∴(3a)2=AG2+(2a)2,∴AG=5a.∴tan∠FAG=FGAG=a5a(3)①如图,连接OA,∵OF=52,OC=OA=5,∴CF=5∴CG=FG=54,∴OG=15∴AG=OA2-OG2∵CE⊥AD,∴AD=2AG=52