寒假作业09 锐角三角函数（17道经典题型+4道中考真题）

完成时间：________月________日天气：寒假作业09锐角三角函数积累运用1、锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=．根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.2、特殊角的三角函数值（要求准确记忆）．3、解直角三角形：在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则：1）三边关系：a2+b2=c2；2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=；4）sin2A+cos2A=1．4、解直角三角形的应用1）仰角和俯角仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．2）坡度和坡角坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．3)方向角（或方位角）指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．基础过关练1.在中，，，那么下列结论正确的是（）A． B． C． D．2．如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆，，的最大仰角为.当时，则点到桌面的最大高度是（

）A． B． C． D．3．如图，在平面直角坐标系中，有三点，，，则（

）A． B． C． D．4．为测量此塔顶的高度，在地面选取了与塔底共线的两点、，、在的同侧，在处测量塔顶的仰角为，在处测量塔顶的仰角为，到的距离是米．设的长为米，则下列关系式正确的是(

)A． B． C． D．5．如图，大坝横截面的迎水坡的坡比为∶，即∶∶，若坡面长度米，则坡面的水平宽度长为（

）A．米 B．米 C．米 D．米6．如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向距离灯塔海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处，则海轮行驶的路程的值为（）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里7．若，则锐角的度数是______________．8．计算：(1)；(2)．9．位于河南省登封市嵩山南麓嵩岳寺内的嵩岳寺塔是中国现存最早的砖塔，也是全国古塔中的孤例．嵩岳寺塔建于北魏正光年间，历经1400多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，也是中国唯一的一座十二边形塔．某数学小组测量嵩岳寺塔的高度，如图，在台阶底端A处用测角仪测得嵩岳寺塔顶端D的仰角为，在台阶顶端B处用测角仪又测得嵩岳寺塔顶端D的仰角为．已知测角仪的高度为，平台的高度为，台阶的坡度，图中所有点均在同一竖直平面内，点A，H与点C在同一水平线上，求嵩岳寺塔的高度．（结果精确到．参考数据：，，）

10．翠湖公园中有一四边形空地，如图1，已知空地边缘，且、之间的距离为30米，经测量，，长度为42米．（参考数据：，）(1)求空地边缘的长度（结果精确到1米）；(2)为了打造更具观赏性、娱乐性、参与性的城市名片，如图2，公园管理处准备在四边形空地内修建宽度为2米的园林卵石步道，其余地面铺成颗粒塑胶，经调研每平米卵石步道成本为80元，每平米颗粒塑胶成本为45元，公园目前可用资金有75000元，请用（1）的结果计算此次修建费用是否足够？能力提升练11．如图，某人在山坡坡脚C处测得一座建筑物顶点A的仰角为，沿山坡向上走到P处再测得该建筑物顶点A的仰角为．已知BC=90米，且B、C、D在同一条直线上，山坡坡度i=5：12，求此人从所在位置点P走到建筑物底部B点的路程（）米.（结果精确到0.1米）（测倾器的高度忽略不计，参考数据：，）A． B． C． D．12．图1是某电动沙发的实物图，图2是该沙发主要功能介绍，其侧面示意图如图3所示．沙发通过开关控制，靠背和脚托可分别绕点B，C旋转调整角度，坐深与地面水平线平行．图2中的度数指的是的度数，如“看电视”模式时．已知，，，，初始状态时．

(1)直接写出“阅读”模式下的度数为_____°，该沙发从初始位置调至该模式时点D运动的路径长为_______cm．(2)调至“睡觉”模式时，该沙发占地长度最大，请计算此时A，之间的水平距离（结果精确到0.1）．（参考数据：，）13．请阅读下面材料，并根据提供的解题思路求解问题：如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D，N和E，C，和相交于点P，求的值．【解题思路】要求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察发现问题中不在直角三角形中，我们可以利用网格画平行线等方法解获此类问题，比如连接格点M，N，可发现，则，连接，那么就变换到中，进而求出答案．【解决问题】(1)根据上述方法归纳，请求图1中的值；(2)如图2，在边长为1的正方形网格中，与相交于点P，求的值．拓展培优练14．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积，弧田(如图)是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心O到弦的距离之差.在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为3，则(

)A． B． C． D．15．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给出了这样的一个结论：三边分别为a、b、c的△的面积为．△的边a、b、c所对的角分别是∠A、∠B、∠C，则．下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．16．刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的周长．如图，正十二边形的边长是4，则可求出此十二边形的周长近似代替其外接圆周长，便可估计π的值，下面π的值正确的是（）A．π＝ B．π＝ C．π＝6sin15° D．π＝12sin15°17．阅读理解学习：在学习《锐角三角函数》这一章时，小迪同学勤学好问，在课外学习活动中，探究发现，三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系，下面是她的学习笔记．请仔细阅读下列材料并完成相应的任务．【阅读材料】：在△中，的对边分别记为△的面积记为，过点作，垂足为，，，同理可得：，即：．①由以上推理得结论①：三角形的面积等于两边及其夹角正弦积的一半．又，将等式两边同除以得．②由以上推理得结论②：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等．【理解应用】请你学习上述阅读材料解答以下问题：如图，甲船以海里/时的速度向正北方向航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，且乙船从处沿北偏东方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达处时，乙船航行到甲船的南偏西方向的处，此时两船相距海里．(1)求的面积；(2)求乙船航行的路程是多少海里（结果保留根号）．中考真题练18．（2023年山东省淄博市中考真题）如图，与斜坡垂直的太阳光线照射立柱（与水平地面垂直）形成的影子，一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上．若米，米，斜坡的坡角，则立柱的高为________________米（结果精确到米）．科学计算器按键顺序计算结果（已取近似值）

19．（2023年浙江省绍兴市中考真题）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筺与支架在同一直线上，米，米，．

(1)求的度数．(2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据）20．（2023年浙江省宁波市中考真题）某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．(1)如图2，在点观察所测物体最高点，当量角器零刻度线上两点均在视线上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为，设仰角为，请直接用含的代数式示．(2)如图3，为了测量广场上空气球离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点分别测得气球的仰角为，为，地面上点在同一水平直线上，，求气球离地面的高度．（参考数据：，）21．（2023年四川省自贡市中考真题）为测量学校后山高度，数学兴趣小组活动过程如下：(1)测量坡角：如图1，后山一侧有三段相对平直的山坡，山的高度即为三段坡面的铅直高度之和，坡面的长度可以直接测量得到，要求山坡高度还需要知道坡角大小．如图2，同学们将两根直杆的一端放在坡面起始端A处，直杆沿坡面方向放置，在直杆另一端N用细线系小重物G，当直杆与铅垂线重合时，测得两杆夹角的度数，由此可得山坡AB坡角的度数．请直接写出之间的数量关系．(2)测量山高：同学们测得山坡的坡长依次为40米，50米，40米，坡角依次为，为求，小熠同学在作业本上画了一个含角的（如图3），量得．求山高．（，结果精确到1米）(3)测量改进：由于测量工作量较大，同学们围绕如何优化测量进行了深入探究，有了以下新的测量方法．如图4，5，在学校操场上，将直杆NP置于的顶端，当与铅垂线重合时，转动直杆，使点N，P，D共线，测得的度数，从而得到山顶仰角，向后山方向前进40米，采用相同方式，测得山顶仰角；画一个含的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为厘米，厘米，再画一个含的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为厘米，厘米．已知杆高MN为米，求山高．（结果用不含的字母表示）

寒假作业09锐角三角函数参考答案基础过关练1.在中，，，那么下列结论正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图，∵，∴可设，∴，A、，故本选项错误，不符合题意；B、，故本选项错误，不符合题意；C、，故本选项错误，不符合题意；D、，故本选项正确，符合题意.故选D.2．如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆，，的最大仰角为.当时，则点到桌面的最大高度是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图，过点作于，过点作于，在中，，在中，，点到桌面的最大高度，故选D．3．如图，在平面直角坐标系中，有三点，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图，取格点D，连接，，则B在上，∵，，，∴，，，∴，∴.故选C.4．为测量此塔顶的高度，在地面选取了与塔底共线的两点、，、在的同侧，在处测量塔顶的仰角为，在处测量塔顶的仰角为，到的距离是米．设的长为米，则下列关系式正确的是(

)A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意得，，在中，米，∴米，在中，，∴，故选A．5．如图，大坝横截面的迎水坡的坡比为∶，即∶∶，若坡面长度米，则坡面的水平宽度长为（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】D【解析】坡面的坡度为：，，即，由勾股定理得，，则，解得，故斜坡的水平宽度的长为米．故选D．6．如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向距离灯塔海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处，则海轮行驶的路程的值为（）A．海里 B．海里C．海里 D．海里【答案】C【解析】由题意得，，，∵，∴，∵，，，∴，∴（海里）.故选C．7．若，则锐角的度数是______________．【答案】【解析】∵，∴，那么锐角的度数为．故答案为：．8．计算：(1)；(2)．【解析】（1）原式；（2）原式．9．位于河南省登封市嵩山南麓嵩岳寺内的嵩岳寺塔是中国现存最早的砖塔，也是全国古塔中的孤例．嵩岳寺塔建于北魏正光年间，历经1400多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，也是中国唯一的一座十二边形塔．某数学小组测量嵩岳寺塔的高度，如图，在台阶底端A处用测角仪测得嵩岳寺塔顶端D的仰角为，在台阶顶端B处用测角仪又测得嵩岳寺塔顶端D的仰角为．已知测角仪的高度为，平台的高度为，台阶的坡度，图中所有点均在同一竖直平面内，点A，H与点C在同一水平线上，求嵩岳寺塔的高度．（结果精确到．参考数据：，，）

【解析】过点E作于点M，过点F作于点N，延长交于点K，延长交于点L，如图所示，则，．

由题意得，，．∵台阶的坡度，∴，即，设嵩岳寺塔的高度为，则，．在中，，∴．在中，，，∴，解得．经检验，是分式方程的解，且符合实际意义．答：嵩岳寺塔的高度约为．10．翠湖公园中有一四边形空地，如图1，已知空地边缘，且、之间的距离为30米，经测量，，长度为42米．（参考数据：，）(1)求空地边缘的长度（结果精确到1米）；(2)为了打造更具观赏性、娱乐性、参与性的城市名片，如图2，公园管理处准备在四边形空地内修建宽度为2米的园林卵石步道，其余地面铺成颗粒塑胶，经调研每平米卵石步道成本为80元，每平米颗粒塑胶成本为45元，公园目前可用资金有75000元，请用（1）的结果计算此次修建费用是否足够？【解析】（1）如图，过作交于，过作交的延长线于，，，，，，，∴四边形是矩形，，，在中，，，，，在中，，，，（米）答：空地边缘的长度为64米．（2）由题得，四边形为平行四边形，，，，∴总花费为：（元），，答：此次修建费用足够．能力提升练11．如图，某人在山坡坡脚C处测得一座建筑物顶点A的仰角为，沿山坡向上走到P处再测得该建筑物顶点A的仰角为．已知BC=90米，且B、C、D在同一条直线上，山坡坡度i=5：12，求此人从所在位置点P走到建筑物底部B点的路程（）米.（结果精确到0.1米）（测倾器的高度忽略不计，参考数据：，）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图：过点P作PE⊥AB于E，PH⊥BD于H，设PH=BE=5x米，CH=12x米，在Rt△ABC中，，BC=90米，则，即，∴AB=180(米)，在Rt△AEP中，，AE=AB-BE=180-5x，BH=EP=BC+CH=90+12x，∴，解得，经检验是原方程的解，且符合题意，∴(米)，在Rt△PHC中，(米)，故此人从所在位置点P走到建筑物底部B点的路程是：(米)，故选D．12．图1是某电动沙发的实物图，图2是该沙发主要功能介绍，其侧面示意图如图3所示．沙发通过开关控制，靠背和脚托可分别绕点B，C旋转调整角度，坐深与地面水平线平行．图2中的度数指的是的度数，如“看电视”模式时．已知，，，，初始状态时．

(1)直接写出“阅读”模式下的度数为_____°，该沙发从初始位置调至该模式时点D运动的路径长为_______cm．(2)调至“睡觉”模式时，该沙发占地长度最大，请计算此时A，之间的水平距离（结果精确到0.1）．（参考数据：，）【解析】（1）由阅读”模式知，，∵，∴，∴，故答案为：45，；（2）由“睡觉”模式知，，∵，∴，如图，过作于，由题意知，，∴A，之间的水平距离为，∴点A，D'之间的水平距离为：．13．请阅读下面材料，并根据提供的解题思路求解问题：如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D，N和E，C，和相交于点P，求的值．【解题思路】要求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察发现问题中不在直角三角形中，我们可以利用网格画平行线等方法解获此类问题，比如连接格点M，N，可发现，则，连接，那么就变换到中，进而求出答案．【解决问题】(1)根据上述方法归纳，请求图1中的值；(2)如图2，在边长为1的正方形网格中，与相交于点P，求的值．【解析】（1）∵网格都是小正方形，根据正方形的性质，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．（2）如图2中，取格点D，连接，∵，∴四边形是平行四边形，∴，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴．拓展培优练14．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积，弧田(如图)是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心O到弦的距离之差.在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为3，则(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】如图，作交于交圆弧于.由题意：，∴，∵，为半径，∴，在中由勾股定理得，∴，∴，∴，，∴．故选D．15．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给出了这样的一个结论：三边分别为a、b、c的△的面积为．△的边a、b、c所对的角分别是∠A、∠B、∠C，则．下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】∵，，∴，即，，，.故选A．16．刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的周长．如图，正十二边形的边长是4，则可求出此十二边形的周长近似代替其外接圆周长，便可估计π的值，下面π的值正确的是（）A．π＝ B．π＝ C．π＝6sin15° D．π＝12sin15°【答案】D【解析】如图，连接半径OE、OF，过O作OH⊥EF于H，∵，OE=OF，∴∠FOH=15°，EH=FH=2，∴OF=，∵正十二边形的周长近似代替其外接圆周长，∴，解得π＝12sin15°，故选D．17．阅读理解学习：在学习《锐角三角函数》这一章时，小迪同学勤学好问，在课外学习活动中，探究发现，三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系，下面是她的学习笔记．请仔细阅读下列材料并完成相应的任务．【阅读材料】：在△中，的对边分别记为△的面积记为，过点作，垂足为，，，同理可得：，即：．①由以上推理得结论①：三角形的面积等于两边及其夹角正弦积的一半．又，将等式两边同除以得．②由以上推理得结论②：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等．【理解应用】请你学习上述阅读材料解答以下问题：如图，甲船以海里/时的速度向正北方向航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，且乙船从处沿北偏东方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达处时，乙船航行到甲船的南偏西方向的处，此时两船相距海里．(1)求的面积；(2)求乙船航行的路程是多少海里（结果保留根号）．【解析】（1）由题意知：，，，由结论①知，（平方海里），所以的面积为平方海里．（2）由（1）知，，∴是等边三角形，∴，，又，∴，由题意知，，∴，在中，由材料中结论②得，∴（海里），∴乙船航行的路程为海里．中考真题练18．（2023年山东省淄博市中考真题）如图，与斜坡垂直的太阳光线照射立柱（与水平地面垂直）形成的影子，一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上．若米，米，斜坡的坡角，则立柱的高为________________米（结果精确到米）．科学计算器按键顺序计算结果（已取近似值）

【答案】19.2米【解析】如图，过点D作，垂足为H，过点C作，垂足为G，则四边形为矩形，∴米，．∴．∴．中，，（米）．∴（米）．中，，∴（米）．∴（米）．故答案为：19.2米．19．（2023年浙江省绍兴市中考真题）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筺与支架在同一直线上，米，米，．

(1)求的度数．(2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：）【解析】（1）∵，∴，∵，∴．（2）该运动员能挂上篮网，理由如下．如图，延长交于点，∵，∴，又∵，∴，在中，，∴，∴该运动员能挂上篮网．20．（2023年浙江省宁波市中考真题）某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示