第27章 圆 综合检测VIP

第27章圆综合检测（满分100分，限时60分钟）一、选择题（每小题3分，共30分）1.（2023江苏镇江期中）下列说法正确的是（）A．弧长相等的弧是等弧 B．直径是最长的弦C．三点确定一个圆 D．平分弦的直径垂直于弦2.（2023河南中考）如图，点A，B，C在☉O上，若∠C=55°，则∠AOB的度数为（）A.95° B.100° C.105° D.110°3.（2023四川广元苍溪期末）如图，点P为☉O外一点，PA为☉O的切线，A为切点，PO交☉O于点B，∠P=30°，OB=3，则线段OP的长为（）A.3 B.33 C.6 D.94.（2023四川泸州泸县模拟）在平面直角坐标系xOy中，以点（—3，4）为圆心，4为半径的圆与x轴的位置关系是（）A．相交 B．相离 C．相切 D．无法判断5.（2023吉林松原前郭模拟）如图，四边形ABCD内接于☉O，AB是☉O的直径，EF与☉O相切于点A，若∠C=120°，则∠DAE的度数为（）A.20° B.30° C.50° D.60°6.（2023湖北恩施州巴东期中）扇子最早称“翣”，在我国已有两千多年历史．“打开半个月亮，收起兜里可装，来时荷花初放，去时菊花正黄．”这则谜语说的就是扇子．如图，一竹扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC的夹角为135°，AB的长为30cm，扇面BD的长为20cm，则扇面的面积为（） A．πcm2 B.600πcm2 C.300πcm2 D.30πcm27.（2023陕西中考）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图2是从正面看到的一个“老碗”（图1）的形状示意图，AB是☉O的一部分，D是AB的中点，连结OD，与弦AB交于点C，连结OA，OB．已知AB=24cm，碗深CD=8cm，则☉O的半径OA为（） A.13cm B.16cm C.17cm D.26cm8.（2023湖南张家界中考）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边△ABC的三个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形就是“莱洛三角形”．若等边△ABC的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于（）A．π B.3π C.2π D.2π—39.（2023河南开封龙亭模拟）如图，☉O的半径为1，AD，BC是☉O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发（P点与O点不重合），沿O→C→D的路线运动，设AP=x，sin∠APB=y，那么y与x之间的关系图象大致是（） 10.（2023湖南永州冷水滩京华中学期末）如图，PA、PB是☉O的切线，切点分别为A、B，BC是☉O的直径，PO交☉O于E点，连结AB交PO于F，连结CE交AB于D点，连结AC．下列结论：①PA=PB；②OP⊥AB；③CE平分∠ACB；④OF=12AC；⑤E是△PAB的内心；⑥△CDA≌△EDF．其中一定成立的有（A.5个 B.4个 C.3个 D.2个二、填空题（每小题3分，共18分）11.（2023浙江杭州保俶塔申花实验学校模拟）如图，PA，PB与☉O分别相切于点A，B，PA=3，∠P=60°，则AB=．

12.（2023广东佛山南海平洲二中月考）如图，在☉O中，AB=CD，A、C之间的距离为4，则线段BD=．

13.在☉O的圆周上任意标出三个点A、B、C，然后顺次连结点O、A、B、C得到一个四边形，若∠AOC=∠ABC，则∠ABC=．

14.（2023山西晋城阳城模拟）点P是非圆上一点，若点P到☉O上的点的最小距离是4cm，最大距离是9cm，则☉O的半径是．

15.（2023河北保定高碑店模拟）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问积及为米几何？”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，那么这个米堆遮挡的墙面面积为平方尺．

16.（2023甘肃天水麦积模拟）由四个图1所示的四边形和四个图2所示的菱形拼成一个正八边形（如图3），则图3中阴影部分面积与空白部分面积之比为．

三、解答题（共52分）17.（2023吉林长春经开区模拟）（6分）如图，点A、B、C都在☉O上，∠CAB=∠CBA．求证：△OAC≌△OBC．18.（2023安徽安庆怀宁模拟）（8分）如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径CA=3，圆心角∠ACB=120°，求此圆锥的高OC．19.（2023贵州中考）（12分）如图，已知☉O是等边三角形ABC的外接圆，连结CO并延长交AB于点D，交☉O于点E，连结EA，EB．（1）写出图中一个度数为30°的角：，图中与△ACD全等的三角形是；

（2）求证：△AED∽△CEB；（3）连结OA，OB，判断四边形OAEB的形状，并说明理由．20.（2023湖南常德中考）（12分）如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，AB是直径，C是BD的中点，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E．（1）求证：CE是☉O的切线；（2）若BC=6，AC=8，求CE，DE的长．21.（14分）在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”（如图），其原理为在磨盘的边缘连结一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1所示，两个固定长度的“连杆”AP，BP的连结点P在☉O上，当点P在☉O上转动时，带动点A，B分别在射线OM，ON上滑动，OM⊥ON．当AP与☉O相切时，点B恰好落在☉O上，如图2.根据图2解答下列问题．（1）求证：∠PAO=2∠PBO；（2）若☉O的半径为5，AP=203，求BP的 图1 图2

第27章圆综合检测答案全解全析1.B能够重合的弧是等弧，故选项A说法错误；不在同一条直线上的三点确定一个圆，故选项C说法错误；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故选项D说法错误．2.D∵∠AOB=2∠C，∠C=55°，∴∠AOB=110°．3.C如图，连结OA，∵PA为☉O的切线，∴∠OAP=90°，∵OB=3，∴AO=OB=3，∵∠P=30°，∴OP=2OA=6.4.C确定圆心与x轴的距离时易因弄错数据致错．∵圆心的坐标为（—3，4），∴圆心与x轴距离为4，等于其半径4，∴以点（—3，4）为圆心，4为半径的圆与x轴的位置关系为相切．5.B∵四边形ABCD内接于☉O，∴∠C+∠DAB=180°，∵∠C=120°，∴∠DAB=60°，∵EF与☉O相切于点A，∴OA⊥EF，∴∠OAE=90°，∴∠DAE=∠OAE—∠DAB=30°．6.C∵AB=30cm，BD=20cm，∴AD=10cm，∵∠BAC=135°，∴扇面的面积=S扇形BAC—S扇形DAE=135π×3023607.A∵AB是☉O的一部分，D是AB的中点，AB=24cm，∴OD⊥AB，AC=BC=12AB=12c设☉O的半径OA为Rcm，则OC=OD—CD=（R—8）cm．在Rt△OAC中，OA2=AC2+OC2，∴R2=122+（R—8）2，∴R=13，即☉O的半径OA为13cm．8.B∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=3，∠A=∠B=∠C=60°，∴AB=BC=AC，∵AB的长=60π×3180=π，∴该“莱洛三角形”的周长是39.C本题将函数图象与圆的性质融为一体考查，设计新颖．当P在OC上运动时，根据题意得sin∠APB=OAAP，∵OA=1，AP=x，y=sin∠APB，∴y=1x（1<x≤当P在CD上运动时，∠APB=12∠AOB=45°，此时y=22（2<x≤2），10.A如图，连结OA，BE，∵PA、PB是☉O的切线，∴PA=PB，故①正确；∵PA=PB，OA=OB，∴OP所在直线是AB的垂直平分线，∴OP⊥AB，故②正确；∵OP所在直线是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠ACE=∠BCE，∴CE平分∠ACB，故③正确；∵BC是☉O的直径，∴∠BAC=90°，∵∠BFO=90°，∴∠BAC=∠BFO，∴OF∥AC，∵OB=OC，AF=BF，∴OF=12AC，故④正确∵PB是☉O的切线，∴∠PBE+∠EBC=90°，∵BC是☉O的直径，∴∠BEC=90°，∴∠EBC+∠ECB=90°，∴∠PBE=∠ECB，∵AE=BE，∴∠ECB=∠EBA，∴∠PBE=∠EBA，∵∠APE=∠BPE，∴E是△PAB的内心，故⑤正确；∵AC∥OE，∴△CDA∽△EDF，故⑥错误．故选A．11.3解析∵PA，PB分别与☉O相切于点A，B，∴PA=PB，∵∠P=60°，∴△PAB是等边三角形，∴AB=PA=3.12.4解析如图，连结BD，AC．∵AB=CD，∴AB+BC=BC+CD，∴AC=BD，∴BD=AC=4.13.120°解析如图，在优弧AC上任取一点D，连结AD、CD，∵四边形ADCB是☉O的内接四边形，∴∠ADC+∠ABC=180°，∠ADC=12∠AOC，∵∠AOC=∠ABC∴∠ADC=12∠ABC，∴12∠ABC+∠ABC=180°，14.6.5cm或2.5cm解析分两种情况讨论：（1）当点在圆内时，如图1，∵点到圆上的点的最小距离PB=4cm，最大距离PA=9cm，∴直径AB=4+9=13（cm），∴半径为6.5cm；（2）当点在圆外时，如图2，∵点到圆上的最小距离PB=4cm，最大距离PA=9cm，∴直径AB=9—4=5（cm），∴半径为2.5cm．综上所述，圆O的半径为6.5cm或2.5cm．15.80解析设圆锥的底面半径为r尺，由米堆底部的弧长为8尺可得14×2πr=8，解得r=16π，∴2×12×16π×5=80π（平方尺16.2解析本题将菱形和正多边形融合在一起，考查综合运用数学知识解决问题的能力．（解法1：局部求解）如图，正八边形的每个内角的度数为18×（8—2）×180°=135°，∴∠ABC=∠BAP=135°，∴∠BAD=∠PAE=45°，∴∠DAE=45在△ABD和△ADE中，∵AB=AD，∠BAD=∠DAE，AD=AE，∴△ABD≌△ADE，∴BD=DE，∴DF=12BD=12由对称性易知四边形DEMN为正方形，∴OD=2DG=2DF．设S△CDF=a，则S菱形ABCD=4a，S△OCD=2a，∴S阴影S空白（解法2：整体求解）过图①中菱形的顶点B作BE⊥AD于E，设图②中正八边形的中心点为点O，一边为MN，连结OM、ON，过M点作MP⊥ON于P，设正八边形的边长为a，则AB=AD=MN=a，由正八边形的性质可得∠ABC=(8-2)×180°8=135°，∠MON=360°8∵AD∥BC，∴∠BAE=45°，∴BE=22AB=22a，∴S菱形ABCD=AD·BE=22a2，∴空白部分的面积为4×22a2=22a2，∵∠MON=45°，MP⊥ON，∴∠OMP=45°=∠MON，∴OP=PM，设OP=PM=x，则OM=ON=2x，∴PN=（2—1）x，∵PM2+PN2=MN2，∴x2+（2—1）2x2=a2，∴x2=2+2∴S△OMN=12ON·PM=22x2=2+14a2，∴正八边形的面积为8×2+14a2=2（2+1）a2，∴阴影部分的面积为2（2+1）a2—2∴阴影部分面积与空白部分面积之比为2a17.证明∵∠CAB=∠CBA，∠CAB=12∠BOC，∠CBA12∠AOC，∴∠AOC=∠BOC，∴AC=BC，∵OA=OB，OC=OC，18.解析设圆锥底面圆的半径为r，∵AC=3，∠ACB=120°，∴AB的长=120π×3180=2π，∴2πr=2π，∴r=1，即OA=1，∴OC=AC2-OA2=319.解析（1）∵☉O是等边三角形ABC的外接圆，∴点O是等边三角形ABC的外心，∴CE⊥AB，∠1=∠2=30°．∴∠ADC=∠BDC=90°，∵AC=BC，CD=CD，∴Rt△ACD≌Rt△BCD．故答案为∠1（答案不唯一）；△BCD．（2）证明：∵CE为☉O的直径，∴∠CBE=90°，∴∠ADE=∠CBE，∵BE=BE，∴∠3=∠2，∴△AED∽△CEB．（3）四边形OAEB为菱形．理由：如图，∵∠CAE=90，∠1=30°，∴AE=12CE．同理BE=12CE，∴OA=OB=AE=BE，20.解析（1）证明：如图，连结OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵点C是BD的中点，∴∠OAC=∠CAE，∴∠CAE=∠OCA，∴OC∥AE，∵AE⊥CE，∴OC⊥CE，∵OC是半径，∴CE是☉O的切线．（2）∵AB为☉O的直径，∴∠ACB=90°，∵BC=6，AC=8，∴AB=BC2∵∠BAC=∠CAE，∠AEC=∠ACB=90°，∴△AEC∽△ACB，∴ECCB=ACAB，即EC6=810，∴EC=245，∵点C是BD的中点，即BC=CD，21.解析（1）证明：如图，连结OP，设BO的延长线与☉O