专项04 构造“隐圆”解决问题

专项04构造“隐圆”解决问题类型一定点定长型类型解读定点定长型:动点P到定点O的距离保持不变,为r,则点P的运动轨迹为以点O为圆心,r为半径的圆.或者几个点到某个定点的距离相等,则这几个点在以定点为圆心,相等距离为半径的圆上.(如图,若AB=AC=AD,则点B,C,D在以点A为圆心,AB为半径的圆上)1.如图,等边△ABC的边长为8,点P是AB边上的一点,且PB=6,直线l经过点P,把△ABC沿直线l折叠,点B的对应点为点B',在直线l变化的过程中,求△ACB'面积的最大值.类型二四点共圆型类型解读四点共圆型:在四边形ABCD中,若∠A+∠C=180°,即对角互补,则A,B,C,D四点共圆.或者四边形中,外角等于内对角,则这四点共圆.如图.2.如图,等边△ABC中,AB=6,P为AB上一动点,PD⊥BC于D,PE⊥AC于E,求DE的最小值.3.如图,在菱形ABCD中,AB=BD=3,点E、F分别是AB、AD上的动点(不与端点重合),且AE=DF,连接BF、DE交于点G,求四边形BCDG的面积的最大值.类型三定弦对定角型类型解读定弦对定角型:如果固定线段AB所对动角∠P为定值,则动点P的运动轨迹为过A,B,P三点的圆.如图.4.在△ABC中,∠ABC=90°,AB=2,BC=3.点D为平面上一个动点,∠ADB=45°,求线段CD的最小值.类型四直角对直径类型解读直角对直径:在△ABC中,若∠C=90°,则点C在以AB为直径的圆上(不与A,B重合).如图.5.如图,在矩形ABCD中,AB=10,AD=12,点P为矩形内一点,∠APB=90°,连接PD,求PD的最小值.6.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D是△ABC内部的一个动点,且满足DA2+DB2=AB2,求线段CD的最小值.类型五定角夹定高类型解读定角夹定高:如图,在△ABC中,∠ABC=α(定值),BD垂直AC于点D,BD=m,则可以作△ABC的外接圆,由OB+OH≥BD可以得出线段AC、△ABC的面积与周长均有最小值.7.如图,在四边形ABCD中,AB=AD=CD=4,AD∥BC,∠B=60°,点E、F分别为边BC、CD上的动点,且∠EAF=60°,则△AEF的面积是否存在最小值?若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由.

专项04构造“隐圆”解决问题答案全解全析1.解析由对称性可知,PB=PB',∴B'在以P为圆心,PB为半径的圆上,如图,过点P作PH⊥AC于点H,当B'、P、H三点共线时,△ACB'的面积最大.∵PB=6,AB=8,∴AP=2.在Rt△APH中,∠PAH=60°,∴PH=AP·sin60°=2×32∴B'H=6+3,∴S△AB'C=12×8×(6+32.解析如图,连接PC,取PC的中点O,连接OE,OD,过点O作OH⊥DE于点H.∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB=60°,AB=BC=AC=6.∵PD⊥BC,PE⊥AC,∴∠PEC=∠PDC=90°,∴∠PEC+∠PDC=180°,∴C,D,P,E四点共圆,点O为圆心,∴OE=OP=OC=OD,∠EOD=2∠ECD=120°,∴当OE的值最小时,DE的值最小.根据垂线段最短可知,当CP⊥AB时,PC的值最小,即OE的值最小,此时PC=BC×32=6×=33,∴OE=1∠EOH=60°,∴DH=EH=332×323.解析∵四边形ABCD是菱形,AB=BD=3,∴AB=AD=CD=BC=BD=3,∴△ABD和△BDC都是等边三角形,∴∠A=∠BDF=∠BCD=60°.又∵AE=DF,∴△ADE≌△DBF(SAS),∴∠ADE=∠DBF,∴∠BGE=∠GBD+∠BDG=∠ADE+∠BDG=∠ADB=60°,∴∠BGE=∠BCD,∴∠BGD=120°,∴∠BGD+∠BCD=180°,∴点B,C,D,G四点共圆,如图,由题可知△BCD的面积固定,∴当△BDG的面积最大时,四边形BCDG的面积最大.易知,当点G为BD的中点时,△BDG的面积最大,此时点G在点G'处.过G'作G'N⊥BD于N,此时G'N=12BDtan30°=12×3×∴S四边形BCDG'=S△BCD+S△BDG'=12×3×3324.解析如图所示,作△ABD的外接圆☉O(因求CD的最小值,故圆心O在AB的右侧),连接OA、OB、OC,过O作OE⊥BC于点E,则当O、D、C三点共线时,CD的值最小.∵∠ADB=45°,∴∠AOB=90°,∴△AOB为等腰直角三角形,∵AB=2,∴AO=BO=2.∵∠OBA=45°,∠ABC=90°,∴∠OBE=45°,∴△OBE为等腰直角三角形.∴OE=BE=1,∴CE=BC-BE=3-1=2,在Rt△OEC中,OC=OE故线段CD的最小值为OC-OD=5−5.解析∵∠APB=90°,∴点P在以AB为直径的圆上,设圆心为点E,如图,连接EP,易知当点E,P,D在同一条直线上时,PD的值最小.∵AB=10,点E是AB的中点,EP是圆的半径,∴EP=AE=12在Rt△AED中,ED=AD∴PD=ED-EP=13-5=8.∴PD的最小值为8.6.解析∵DA2+DB2=AB2,∴∠ADB=90°,∴点D在以AB为直径的圆上,如图,取AB的中点O,作出☉O,连接OC交☉O于点D',当点D移动到D'时,线段CD的值最小.∵AB=4,∴OB=2.在Rt△OBC中,BC=3,∴OC=OB2+B∴CD'=OC-OD'=13-2,∴线段CD的最小值是13-2.7.解析存在.将△ADF绕点A顺时针旋转120°得到△ABF',易知F'、B、E三点共线.由旋转得AF'=AF,∠F'AB=∠FAD.∵AD∥BC,∠ABC=60°,∴∠BAD=120°,∵∠EAF=60°,∴∠EAB+∠DAF=60°,∴∠F'AE=∠F'AB+∠BAE=∠FAD+∠BAE=60°=∠EAF,∵AE=AE,AF'=AF,∴△FAE≌△F'AE(SAS).作△AEF'的外接圆☉O,过O作OH⊥EF'于点H,过A作AG⊥BC于点G,连接OF',OE,则∠