数电-第一章-逻辑代数基础

长安大学电控学院

电工电子教学部《数字电子技术》第1章逻辑代数基础1.1概述1.3三种基本逻辑运算1.2数制与码制1.5逻辑函数及其表示方法1.4逻辑代数的基本定律1.6逻辑函数的化简现实世界中两大系统：

模拟系统与数字系统电子计算机是最典型的数字系统，模拟量经采样、量化可转换为数字量在数字系统中进行处理。

数字系统的特点：便于加工、处理、传输、存储等，可靠，抗干扰能力强。1.1概述1.数字逻辑领域的前沿问题多值逻辑模糊逻辑计算机辅助逻辑设计集成电路设计自动化可编程逻辑设计数字系统与模拟系统的混合设计逻辑电路的故障诊断，等等2.数字电路的特点（1）数字电路中的信号在时间上是离散的脉冲信号，而模拟电路中的信号是随时间连续变化的信号。（2）数字电路所研究的是电路的输入、输出之间的逻辑关系，而模拟电路则是研究电路的输入输出之间的大小相位等问题。数字电路的特点（3）数字电路中晶体管工作在开关状态，也就是交替地工作在饱和与截止两种状态，而在模拟电路中晶体管多工作在放大状态。（4）数字电路采用二进制，主要分析工具是逻辑代数，而模拟电路采用十进制，主要分析工具是普通代数。3.数字电路的分类按电路组成结构分立元件集成电路小规模集成电路中规模集成电路大规模集成电路超大规模集成电路集成电路数字电路的分类按电路所用器件双极型电路(TTL)单极型电路(CMOS)按电路逻辑功能组合逻辑电路时序逻辑电路学习基本要求1.注重三个结合：理论和实践结合、课堂和课外相结合、学习和应用相结合。3.学习方法得当，学习效果良好。课堂注重老师对重点、难点的讲解，课后总结复习，认真完成作业。2.同时注意两个重点：一是理论知识的学习，二是能力和方法的培养、提高。课程考核平时成绩占30%：考勤、作业、实验；期末成绩占70%：期末考试卷面分。

为了让大家学完本课程有较大的收获，有以下两个作业：（1）查询资料，有关自己所学专业和电子技术方面的新技术、新方法，学习科技小论文的撰写方法，查询有关资料。（2）利用计算机，学习电子技术仿真软件的应用——Multisim课外作业课程设计

利用自己所学的电子技术基本理论知识，综合设计电子实际应用电路，培养综合设计能力.数制即为计数体制，它是计数的方法

以10为基数，有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个数码，逢十进一。表示方法位置计数法各个数码在不同的位置位权不同以权展开式1.2.1数制1.2数制与编码1.十进制（D）(2001.9)10＝2×103十0×102十0×101十1×100十9×10-1【例如】以2为基数，有0、1两个数码，逢二进一。位置计数法例：1011B11110111B

二进制数的波形表示00001110000111以权展开式2.二进制（B）

【例如】(101.101)2=1×22十0×21十1×20十1×2-1十0×2-2十1×2-3

以8为基数的计数体制，有0、1、2、3、4、5、6、7共8个数码，逢八进一。位置计数法例：741O306O

以权展开式3.八进制（O）【例如】(67.73)8=6×81十7×80十7×8-1十3×8-2

以16为基数，有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F共16个数码，逢十六进一。位置计数法例：1AEFH8C0H

以权展开式4.十六进制（H）【例如】(8AE6)16=8×163十A×162十E×161十3×160

NDNHNBNDNHNB整数部分：除基数取余法小数部分：乘基数取整法NDNHNB通式展开法1.2.2数制之间的相互转换1.十进制

二进制、八进制、十六进制十进制→二进制数时，按除2取余方法进行

十进制→八进制数时，按除8取余方法进行

十进制→十六进制数时，按除16取余方法进十进制→二进制数时，按乘2取整方法进行。十进制→八进制数时，按乘8取整方法进行。

十进制→十六进制小数时，按乘16取整方法进（1）整数部分：除基数取余法，先余位低，后余位高（2）小数部分：乘基数取整法，先整位高，后整位低【例如】(725)10=(100001101)2

(725)10=(1325)8

(725)10=(2D5)16(0.8125)10=(0.1101)2(0.8125)10=(0.64)8(0.8125)10=(0.CF)162.二进制、八进制、十六进制转换成十进制

二进制、八进制或十六进制转换成等值的十进制数时，可按权相加的方法进行。

【例如】(1011.01)2=1×23十0×22十1×21十1×20十0×2-1十1×2-2=8+0+2+1+0+0.25=(11.25)10(167)8=1×82十6×81+7×80=64+48+7=(119)10

(2A.7F)16=2×161十10×160十7×16-1十15×16-2=(42.4960937)103.八进制、十六进制与二进制数的转换

一位八进制数表示的数值恰好相当于三位二进制数表示的数值。

一位十六进制数表示的数值恰好相当于四位二进制数表示的数值。

因此彼此之间的转换极为方便：只要从小数点开始，分别向左右展开。【例如】(67．731)8＝(110111．111011001)2

(3AB4)16＝(0011101010110100)2NHNB4位一组分组转换法：整数部分：由小数点向左4位一组，高位不足补0小数部分：由小数点向右4位一组，低位不足补0例10011100110.1010011B=()H

010011100110.10100110B4E6.A64E6.A64.八进制、十六进制与二进制数的转换编码一一对应N项信息2n≥Nn位二进制码

二——十进制码（BCD）用4位二进制码表示0～9十个数字。4位二进制有16种状态，任取10种进行组合有2.9X1010种。常用的有以下几种：1.2.3二进制码1问题的提出文字、数值信息二进制代码如何表示各种文字、数值信息？2几种常见的代码十进制数的二进制编码常用十进制数码十进制数8421码2421码5211码余3码格雷码000000000000000110000100010001000101000001200100010001101010011300110011010101100010401000100011101110110501011011100010001110601101100100110011010701111101110010101000810001110110110111100910011111111111000100有权码无权码用多位二进制码表示文字、符号、数值格雷码（可4位或多位），相邻代码仅有一位不同。二进制码格雷码00000001001000110100010101100111100010011010101111001101111011110000000100110010011001110101010011001101111111101010101110011000ASCII码（美国标准信息交换码），它是用7位二进制码表示字母、符号、数值等。部分ASCII码如下：7位ASCII码字符ABCDEFGHIJKLMNOP100000110000101000011100010010001011000110100011110010001001100101010010111100100110111101001111101000016进制4142434445464748494A4B4C4D4E4F507位ASCII码字符0123456789()=$+01100000110001011001001100110110100011010101101100110111011100001110010101000010100101111010100100010101116进制3031323334353637383928293D242B1.3基本逻辑运算

逻辑代数表达的是电路输入与输出间的逻辑关系，而不是数量关系。

F＝f(A，B，C…)其中：A、B、C...为输入逻辑变量，取值是0或l；

F为输出逻辑变量，取值是0或l；

F称为A、B、C...的输出逻辑函数。三种基本逻辑运算：与运算、或运算、非运算。一、逻辑代数的基本运算1、“与”运算EABCF真值表设：开关打开—“0”闭合—“1”灯灭—“0”亮—“1”0000001010011100101110111ABCF0000001逻辑函数式F=A•B•C逻辑符号ABCF&ABCFABCF2、“或”运算AEBCF设：开关打开—“0”闭合—“1”灯灭—“0”亮—“1”ABCF00010111110111100001111010101011或逻辑真值表逻辑函数式F=A+B+C逻辑符号FABC>1FABC+ABCF3、“非”运算EFARAF0011非逻辑真值表逻辑函数式逻辑符号AFAFA1FABF=ABF=A+BF=AF=A例：根据输入波形画出输出波形ABY1有“0”出“0”，全“1”出“1”有“1”出“1”，全“0”出“0”&ABY1>1ABY2Y2二、复合逻辑关系1、“与非”F=A•BABFABF&F=ABACACDBD“与非”表达式ABCDF2、“或非”F=A+B+CFABC+FABC>1F=A+B+A+C+D+B+D“或非”表达式3、“与或非”F=AB+CDF+ABCDABFCD

&4、“异或”F=AB+ABABF101000011110=AB

ABF=1ABF5、“同或”F=AB+AB=AB

ABF=ABFABF1000010101113、“异或”性质AA=0AA=1A0=AA1=AAB=AB=(AB)1AB=BAA(BC)=(AB)CA•(BC)=(A•B)(A•C)“异或”门电路的用处(1)可控的数码原/反码输出器(2)作数码同比较器(3)求两数码的算术和A0=AA1=AABF101000011110门电路符号AXAXBAXBAXBAXBAXBAXBAX&BAX+BAX≥1AX1BAX&门电路符号BAXBAXBAXBAX+BAX=1BAX=BAX⊕BAX⊕BAX≥11.4逻辑代数的基本定理1、基本公式00=01+1=11A=A0+A=A0A=01+A=101=01+0=111=10+0=00=11=0AA=0A+A=1A+A=AA•A=AA=A1.4.1基本定律AB=BAA+B=B+A交换律A(BC)=(AB)CA+(B+C)=(A+B)+C结合律A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)分配律2、基本定律摩根定律的应用①

、求反函数F=AB+BC+ACDF=AB+BC+ACD=AB•BC•ACD②

、将“与或”表达式化为“与非”表达式F=AD+BCD+ABC+CD=AD•BCD•ABC•CD(德•摩根定律)A•B=A+BA+B=A•B10000111ABA•BA+B111111002、基本定律吸收律A+AB=A+BA•(A+B)=A•BA+A•B=AA(A+B)=A证：由分配律A+AB=(A+A)(A+B)=A+B3、常用公式包含律(A+B)(A+C)(B+C)=(A+B)(A+C)AB+AC+BC=AB+AC证：AB+AC+BC=AB+AC+BC(A+A)=AB+AC+ABC+ABC=AB(1+C)+AC(1+B)=AB+AC推论：AB+AC+BCDEF=AB+AC课堂练习：证明：一、代入规则：【例如】

任何一个含有变量A的等式，如果将出现变量A的位置都代之一个函数，则等式仍成立。带入规则的作用是可扩展基本公式的应用范围若C=XYZ则：1.4.2基本定律二、反演规则：F:若：“•”“+”,“+”“•”,“0”“1”,“1”“0”

原变量反变量，反变量原变量则：FF【例如】F1=AB+BD+ACD+0F1=(A+B)(B+D)(A+C+D)1F2=A+BD+ABCDF2=A•(B+D)•(A+B+C+D)保持原式的运算优先顺序不变不是一个变量上的非号应保持不变注意：三、对偶规则：若：“•”“+”,“+”“•”,“0”“1”,“1”“0”F:则：FFF与F

互为对偶函数如果两个函数相等，则它们的对偶函数也相等。1•A=A0+A=AAB+AC+BC=AB+AC(A+B)(A+C)函数对偶式的对偶式为函数本身。(A+B)(A+C)(B+C)=1.4.3基本定律的应用1.证明等式利用基本定律证明等式的成立。例1：证明证：即：课堂练习：证明：例：将逻辑函数进行转换；与或表达式与非－与非表达式与或非表达式或非－或非表达式或与表达式2.逻辑函数的代数变换3.逻辑函数的化简1.5逻辑函数及其表示方法2.表示方法逻辑式逻辑状态表逻辑图波形图1.逻辑函数：Y＝f（A、B、C········

）其中，A、B、C

是输入变量，

Y是输出变量，

f是逻辑运算。1.5.1逻辑函数的定义在逻辑系统中，输入量与输出量之间的对应关系称作逻辑函数2.逻辑函数的表示方法逻辑表达式真值表表示方法逻辑式逻辑状态表逻辑图波形图逻辑图波形图

1.列逻辑状态表设：开关闭合其状态为“1”，断开为“0”灯亮状态为“1”，灯灭为“0”0000

A

B

C

Y0011010101101001101011001111

例：有一T形走廊，在相会处有一路灯,在进入走廊的A、B、C三地各有控制开关，都能独立进行控制。任意闭合一个开关，灯亮；任意闭合两个开关，灯灭；三个开关同时闭合，灯亮。设A、B、C代表三个开关（输入变量）；Y代表灯（输出变量）。2.逻辑式

用“与”“或”“非”等运算来表达逻辑函数的表达式。由逻辑状态表写出逻辑式一种组合中，输入变量之间是“与”关系，0000

A

B

C

Y0011010101101001101011001111各组合之间是“或”关系2.逻辑式反之，也可由逻辑式列出状态表。0000

A

B

C

Y00110101011010011010110011113.逻辑图YCBA&&&&&&&>1CBA1.6逻辑函数的化简1.6.1化简的意义

由逻辑状态表直接写出的逻辑式及由此画出的逻辑图，一般比较复杂；若经过简化，则可使用较少的逻辑门实现同样的逻辑功能。从而可节省器件，降低成本，提高电路工作的可靠性。1.最简的含义：对与或表达式而言与项的个数最少每个与项中变量的个数最少2.化简的方法：代数化简法和卡诺图化简法与或表达式与非－与非表达式与或非表达式或非－或非表达式或与表达式3.逻辑函数式的常见形式

一个逻辑函数的表达式不是唯一的，可以有多种形式，并且能互相转换。例如：4.逻辑函数化简的原则

逻辑函数化简，并没有一个严格的原则，通常遵循以下几条原则：

(1)逻辑电路所用的门最少；(2)各个门的输入端要少；(3)逻辑电路所用的级数要少；(4)逻辑电路能可靠地工作。1.6.2代数化简法

代数化简法就是反复使用逻辑代数的基本定律和常用公式，消去函数式中的多余乘积项和多余的因子1.并项法例：利用A+A=1将两项合并为一项，消去一个变量F2=试用并项法化简下列逻辑函数课堂练习：解：利用A+AB=A,消去多余项2.吸收法吸收例：化简（1）利用将中的因子消去。3.消项法3.消项法（2）利用将中的因子消去。例：课堂练习：3.消项法（3）利用将BC项消去例：课堂练习：证明：利用1=A+A,增加必要的乘积项4.配项法5.加项法利用加入相同项后，合并化简。例：例：化简吸收吸收吸收吸收6.综合法【课堂练习】[例]

化简[解]并用CT74LS20双4输入与非门组成电路。

要用CT74LS20双4输入与非门组成电路，须将上式变换为与非逻辑式。代数化简法要求：代数法化简的不足熟悉逻辑代数公式，并且需要具有一定的经验和技巧通过化简练习，能够加深对逻辑运算规则的理解要求熟练掌握基本公式要有一定的技巧化简结果是否最简较难判定

1.6.3卡诺图化简法

卡诺图是一种具有特定意义的方格图，卡诺图法是通过作图来化简逻辑函数。其特点是直观方便。卡诺图：将真值表或逻辑函数式用一个特定的方格图表示，称为卡诺图。最小项卡诺图化简规则预备知识一、最小项及其表达式1.最小项【例】

n=3，对A、B、C，有8个最小项乘积（与）项包含全部变量以原变量或反变量的形式只出现一次ABCABCABCABCABCABCABCABC最小项最小项编号m0m1m2m3编号m4m5m6m72.最小项的性质1)最小项为“1”的取值唯一。如：最小项ABC,只有ABC取值101时，才为“1”，其它取值时全为“0”。2)任意两个最小项之积为“0”。3)全部最小项之和为“1”。4)某一个最小项不是包含在函数F中，就包含在反函数F中。3.最小项表达式

全部由最小项构成的“与或”表达式为最小项表达式(标准“与或”表达式)。【例1】F=ABC+BC=ABC+BC(A+A)=ABC+ABC+ABC=m1+m5+m7=m(1，5，7)三人表决电路【例2】ABCF00000001110111100001111010101011F=ABC+ABC+ABC+ABC=m3+m5+m6+m7=m

(3，5，6，7)例：二逻辑函数的最小项表达式最小项表达式：一组最小项之和的表达式求最小项表达式的方法：去非号去括号配项例1、卡诺图的构成(1)、由矩形或正方形组成的图形；(2)、将矩形分成若干小方块，每个小方块对应一个最小项；2变量卡诺图ABABABAB改画成：m0m1m2m3BA0110m0m1m2m3三、用卡诺图表示逻辑函数(3)、呈现循环相邻性，上、下、左、右几何相邻。3变量卡诺图一个整体分成8个小方格BCA1000110110m1

m0

m3

m2

m5

m4

m7

m6

注意：

上表头编码按00－01―11－10循环码顺序排列，而不是00－01－10－114变量卡诺图CDAB0011011000110110m1

m0

m3

m2

m5

m4

m7

m6

m13

m12

m15

m14

m9

m8

m11

m10

CDAB001101100011011010

3

2

54

7

6

131215

14

9811

10

5变量卡诺图DEAB00001100101000110110m1

m0

m3

m2

m5

m4

m11

m9

m7

m8

m27

m26

m6

m16

m19

m10

C110111101100m12

m13

m14

m15

m17

m18

m20

m21

m22

m23

m24

m25

m28

m29

m30

m31

2、逻辑函数的卡诺图表示F(A,B,C,D)=m

(0,2,6,8,11,13,14,15)CDAB001101100011011011111111【例1】【例2】F=AB+BC+AC=ABC+ABC+ABC+ABCBCA10001101101111【例3】F=BC+AC+ABD+ABCDCDAB0011011000110110111111111100011110000111101011111010110110ABCDDACBCY=D+AC+BC【例4】四、用卡诺图化简逻辑函数1化简的依据两个相邻的最小项可以合并消去一个变量。BCA1000110110111111=ACABCABC+ABCABC+=BCABCABC+=ABBCA1000110110111111BCA1000110110111111F=AC+AB+BCF=AB+BC+AC逻辑函数的最简式不唯一BAC1000110110111111F=AB+AB+ABC+ABC不是最简式卡诺图化简BCA1000110110111111BCA1000110110111111F=AB+AC+BC+BC冗余项BCBCF=B+BCC四个相邻的最小项可以合并消去两个变量。八个相邻的最小项可以合并消去三个变量。2.卡诺图化简的步骤3.画包围圈应遵循以下原则①圈要尽量大，但要保证2n个格；①将逻辑函数写成最小项表达式；②按最小项表达式填写卡诺图；③合并最小项，即将相邻的1方格圈成一组。④将包围圈对应的乘积项相加。②圈必须要是矩形；③所有的“1”必须至少被圈一次；④每个圈中至少有一个“1”从未圈过；⑤圈的个数应最少。CDAB00110110001101101111111111【例1】F=AB+BC+BD【例2】F=ABC+ACD+ABD+AD+AC化简逻辑函数BADC0011011000110110111111111111F=BC+AC+AD+BD+ACD【例3】Y=(A,B,C,D)=m4(0,2,3,5,6,8,9,10,11,12,13,14,15)试用卡诺图化简逻辑函数CDAB00110110001101101111111111111F=A+CD+BC+BD+BCD用卡诺图化简遵循的原则：（1）每个圈应包含尽可能多的最小项；CDAB001101100011011011111111（2）每个圈至少有一个最小项未被其它圈圈过；F=BD+ABC+ACD+ACD+ABC

（3）圈的数目应尽可能少；（4）所有等于1的单元都必须被圈过；CDAB001101100011011011111111（5）最简“与或”表达式不唯一。F=AD+BD+ABC+ABCD五、具有无关项的逻辑函数化简约束项:

输入变量的取值不是任意的，其中某些取值组合不允许出现,称为约束项，或称为禁止项。无关项：把约束项和任意项统称为无关项。任意项:

当输入变量取某些值时，逻辑函数的输出值可以是任意的，或者这些变量的取值根本就不会出现，这些变量取值对应的最小项称为任意项。在对函数化简有利时，将无关项取1，否则取0。

约束项和任意项可以写入函数式，也可不包含在函数式中，因此统称为无关项。0001111000101111101ABCD00011110001x01x111xxx101xxABCD00011110001x01x111xxx101xxABCD00011110001011x111xxxx101xxABCD例2：化简【例3】求：8421码中出现奇数的逻辑函数。ABCDF00000000110010000111010000101101100011111000010011有效状态1010101111001101111