2024-2025学年江苏省南通市海安市高二（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江苏省南通市海安市高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若经过A(m,2)，B(1,2m−1)两点的直线的倾斜角为135°，则m=(

)A.−4 B.−2 C.43 D.2.若直线l1：x−2y+1=0与l2：ax+(1−a)y+1=0平行，则a=(

)A.−1 B.13 C.23 3.已知数列{an}满足an+1=(−1)nA.−1 B.0 C.1 D.24.已知等差数列{an}的首项为10，公差为−2，则数列{an}A.1214 B.30 C.80 D.5.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)A.334 B.32 C.6.如图，是某心形二次曲线C，则C的方程可能为(

)

A.x2+y2−|x|y=1 B.x27.已知椭圆C：y245+x220=1的一个焦点是F，过原点的直线与C相交于点A，B，A.5 B.52 C.48.已知MN是圆O：x2+y2=4的一条弦，∠MON=60°，P是MN的中点.当弦MN在圆O上运动时，直线l：y=x−4上总存在两点A，B，使得∠APB为钝角，则A.(0,42−23) B.(4二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列结论正确的是(

)A.直线的倾斜角的取值范围是[0,π]

B.斜率之积为−1的两直线相互垂直

C.在两坐标轴上截距相等的直线斜率为−1

D.直线的一般式方程可以表示平面上任意一条直线10.下列四个命题中，正确的是(

)A.要唯一确定圆，只需给出圆上三点

B.要唯一确定抛物线，只需给出焦点和准线

C.要唯一确定以坐标原点为中心的椭圆，只需给出椭圆上两点

D.要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线，只需给出一条渐近线和一个焦点11.设数列{an}的前n项和为Sn，则数列{an}为常数列A.Sn=n

B.Sn+1=Sn+1

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知圆C：(x−1)2+(y−2)2=4，试写出一个半径为1，且与13.定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项加上它的前一项所得的和都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和.已知数列{an}是等和数列，a5=−114.已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，Q为圆M：x2+(y−5)2=4上的动点，点A(0,4)，则|QA||QF|=四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在平面直角坐标系xOy中，过点T(3,0)的直线l与抛物线C：y2=3x相交于点A，B．

(1)若直线l的斜率为1，求|AB|；

(2)求证：OA⊥OB．16.(本小题15分)

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2=4，S5=30．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)记bn=Sn17.(本小题15分)

已知P为圆M：(x+1)2+y2=16上任意一点，点N(1,0)，线段PN的垂直平分线与PM交于点Q，记点Q的轨迹为C．

(1)求C的方程；

(2)过点N作直线l(与x轴不重合)与C相交于点D，E，直线l与y轴交于点B18.(本小题17分)

已知等轴双曲线Γ：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别F1，F2，且焦距为22，A，B分别是Γ在第二象限和第一象限上的一点，且AF1/​/BF2．

(1)求Γ的方程；

19.(本小题17分)

记等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d1(d1≠0)．

(1)证明：Sn是关于n的不含常数项的二次函数；

(2)等差数列{bn}的公差为d2，且Sn=anbn．

①求{bn}的通项公式；

参考答案1.D

2.A

3.C

4.B

5.A

6.A

7.D

8.D

9.BD

10.ABD

11.ACD

12.(x−1)2+(y+1)213.7

14.12

515.(1)解：已知直线AB的斜率为1，过点(3,0)，

则直线AB的方程为y=x−3，

联立y=x−3y2=3x，

消y可得：x2−9x+9=0，

显然Δ>0，

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

则x1+x2=9，x1x2=9，

则|AB|=1+12|x1−x2|=2(x1+x16.解：(1)因为等差数列{an}的前n项和为Sn，a2=4，S5=30．

设公差为d，

则a1+d=45a1+5×42d=30，解得a1=d=2，

所以an=a1+(n−1)d=2n；

证明：(2)由(1)可得Sn=na1+n(n−1)2d=n2+n，

所以bn=Snn+c=n2+n17.解：(1)由题意可知：M：(x+1)2+y2=16的圆心为M(−1,0)，半径为4，且|QP|=|QN|，

则|QM|+|QN|=|QM|+|QP|=|PM|=4>2=|MN|，

可知点Q的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，

则a=2,c=1,b=a2−c2=3，所以C的方程为x24+y23=1；

(2)因为点N(1,0)在椭圆内部，可知直线l与椭圆必相交，

设直线l：x=my+1(m≠0)，D(x1,y1)，E(x2,y2)，则B(0,−1m)，

联立方程x=my+1x18.解：(1)由题意可知：a=b2c=22c2=a2+b2，解得a=b=1c=2，

所以双曲线Γ的方程为x2−y2=1．

(2)由(1)可知：F1(−2,0)，F2(2,0)，

设直线AB：x=3y+m(m<0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

联立方程x=3y+mx2−y2=1，消去x可得8y2+6my+m2−1=0，

则Δ=36m2−32(m2−1)=4m2+32>0，可得y1+y2=−34m，y1v2=m2−18，

因为F1A=(x1+2,y1)，F2B=(x2−2,y2)，

若AF1/​/BF2，则(x1+2)y19.解：(1)证明：因为等差数列{an}的公差为d1(d1≠0)，

由题意可得Sn=na1+n(n−1)2d1=d12n2+(a1−d12)n，

则二次项系数d12≠0，且常数项为0，

所以Sn是关于n的不含常数项的二次函数．

(2)①由题意可知：Sn=anbn，

即d12n2+(a1−d12