2024-2025学年广东省珠海市六校联考高二（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省珠海市六校联考高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为29，30，38，25，37，40，42，32，那么这组数据的第75百分位数为(

)A.38 B.39 C.40 D.412.直线x−2y+1=0的一个方向向量是(

)A.(1,−2) B.(1,2) C.(2,−1) D.(2,1)3.从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，给出以下事件：

①两球都不是白球；

②两球中恰有一白球；

③两球中至少有一个白球．

其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是(

)A.①② B.①③ C.②③ D.①②③4.若直线l1：2x+(m+1)y+4=0与直线l2：mx+3y−2=0平行，则m的值为(

)A.2 B.−3 C.2或−3 D.−2或−35.设x，y∈R，a=(1,1,1)，b=(1,y,z)，c=(x,−4,2)，且a⊥c，bA.22 B.10 C.36.如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，E为BC的中点，AB=A.a−12b+c

B.a−7.在如图所示的电路中，三个开关A，B，C闭合与否相互独立，且在某一时刻A，B，C闭合的概率分别为12，13，14，则此时灯亮的概率为(

)A.34B.58

C.128.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点A(−3,4)的直线l的一个法向量为(1,−3)，则直线l的点法式方程为：1×(x+3)+(−3)×(y−4)=0，化简得x−3y+15=0.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点M(1,2,3)的平面的一个法向量为m=(1,2,−4)，则该平面的方程为(

)A.x−2y−4z+7=0 B.x+2y+4z+7=0

C.x+2y−4z+7=0 D.x+2y−4z−7=0二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知直线l：y=kx+k+1，下列说法正确的是(

)A.直线l过定点(−1,1)

B.当k=1时，l关于x轴的对称直线为x+y+2=0

C.点P(3,−1)到直线l的最大距离为25

D.直线10.已知事件A，B发生的概率分别为P(A)=12,P(B)=1A.若A与B互斥，则P(A+B)=23

B.若A与B相互独立，则P(A+B)=23

C.若P(AB−)=13，则A与B11.关于空间向量，以下说法正确的是(

)A.向量a，b，若a⋅b=0，则a⊥b

B.若对空间中任意一点O，有OP=16OA+13OB+12OC，则P，A，B，C四点共面

C.设{a,b,c三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知数据x1，x2，x3，…，xn的平均数5，则数据3x1+2，3x213.直线l的方向向量为m=(1,1,−1)，且l过点A(−1,1,1)，则点P(0,1,−1)到l的距离为______．14.在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20人，其平均数和方差分别为170和10，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为160和15.则估计出总样本的方差为______．四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC边上的高AD所在直线的方程为x−2y+2=0，∠A的平分线所在直线的方程为y=0，点B的坐标为(1,3)．

(1)求直线BC的方程；

(2)求直线AC的方程及点C的坐标．16.(本小题12分)

第22届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行.为庆祝这场体育盛会的胜利召开，某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市A社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表A社区参加市亚运知识竞赛.已知A社区甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为12，13，14，通过初赛后再通过决赛的概率均为12，假设他们之间通过与否互不影响．

(1)求这3人中至多有2人通过初赛的概率；

(2)求这3人都参加市知识竞赛的概率；

(3)某品牌商赞助了A社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了奖励方案：只参加了初赛的选手奖励200元，参加了决赛的选手奖励500元.17.(本小题12分)

某省实行“3+1+2”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式，某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的生物成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定A，B，C，D，E共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分.其中，A等级排名占比15%，赋分分数区间是86～100；B等级排名占比35%，赋分分数区间是71～85；C等级排名占比35%，赋分分数区间是56～70；D等级排名占比13%，赋分分数区间是41～55；E等级排名占比2%，赋分分数区间是30∼40；现从全年级的生物成绩中随机抽取100名学生的原始成绩(未赋分)进行分析，其频率分布直方图如图．

(1)求图中a的值；

(2)从生物原始成绩为[60,80)的学生中用分层抽样的方法抽取6人，从这6人中任意抽取2人，求2人均在[70,80)的概率；

(3)用样本估计总体的方法，估计该校本次生物成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的B等级及以上(含B等级)？(结果保留整数)18.(本小题12分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，

AB=1，AD=2，AC=CD=5．

(1)求证：PD⊥平面PAB；(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM/​/平面PCD？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由．19.(本小题12分)

在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD、ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M、N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM=BN=a(0<a<2)．

(1)证明：MN//平面CBE；

(2)当a为何值时，MN的长最小并求出最小值；

(3)当MN的长最小时，求平面MNA与平面

参考答案1.B

2.D

3.A

4.C

5.D

6.A

7.D

8.C

9.ABC

10.BC

11.ABCD

12.17

13.214.37

15.解：(1)∵BC与AD互相垂直，且AD的斜率为12，

∴直线BC的斜率为k=−2，

结合B(1,3)，可得BC的点斜式方程：y−3=−2(x−1)，

化简整理得：2x+y−5=0，

所以直线BC的方程为2x+y−5=0．

(2)由x−2y+2=0和y=0联解，得A(−2,0)

由此可得直线AB方程为：y−03−0=x+21+2，即y=x+2，

∵AB，AC关于角A平分线x轴对称，

∴直线AC的方程为：y=−x−2，

∵直线BC方程为y=−2x+5，

∴将AC、BC方程联解，得x=7，y=−9，

因此，可得16.解：(1)由题意可得：3人全通过初赛的概率为12×13×14=124，

所以这3人中至多有2人通过初赛的概率为1−124=2324；

(2)甲参加市知识竞赛的概率为12×12=14，

乙参加市知识竞赛的概率为13×12=17.解：(1)∵(0.010+0.015+0.015+a+0.025+0.005)×10=1，

∴a=0.03；

(2)∵原始分在[60,70)和[70,80)的频率之比为0.015：0.03=1：2，

∴抽取的6人中，原始分在[60,70)的人数为6×13=2，记为A，B；原始分在[70,80)的人数为6×23=4，记为a，b，c，d；

则从6人中抽取2人所有可能的结果有：(A,B)，(A,a)，(A,b)，(A,c)，(A,d)，(B,a)，(B,b)，(B,c)，(B,d)，(a,b)，(a,c)，(a,d)，(b,c)，(b,d)，(c,d)，共15个基本事件，

其中抽取的2人原始分均在[70,80)的结果有：(a,b)，(a,c)，(a,d)，(b,c)，(b,d)，(c,d)，共6个基本事件，

∴2人均在[70,80)的概率p=615=25；

(3)由题意知：C，D，E等级排名占比为35%+13%+2%=50%，

则原始分不少于总体的中位数才能达到赋分后的B等级及以上(含B等级)，

∵(0.010+0.015+0.015)×10=0.4，(0.010+0.015+0.015+0.03)×10=0.7，

∴中位数位于[70,80)之间，设中位数为x，则0.4+(x−70)×0.03=0.5，

解得x≈73，

∴原始分不少于18.(1)证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

且AB⊥AD，AB⊂平面ABCD，

∴AB⊥平面PAD，

∵PD⊂平面PAD，

∴AB⊥PD，

又PD⊥PA，且PA∩AB=A，PA、AB⊂平面PAB，

∴PD⊥平面PAB；

(2)解：取AD中点为O，连接CO，PO，

∵CD=AC=5，

∴CO⊥AD，

又∵PA=PD，

∴PO⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

且PO⊂平面PAD，

∴PO⊥平面ABCD，

以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：

则P(0,0,1)，B(1,1,0)，D(0,−1,0)，C(2,0,0)，

则PB=(1,1,−1),PD=(0,−1,−1)，PC=(2,0,−1)，

设n=(x0,y0,z0)为平面PCD的法向量，

则由n⋅PD=0n⋅PC=0，得−y0−z0=02x0−z0=0，令z0=1，则n=(12,−1,1)．

设PB与平面PCD的夹角为θ，则

sinθ=|cos<n,PB>|=|n⋅PB|n||PB||=|12−1−11419.解：(1)证明：因为四边形ABCD为正方形，则BC⊥AB，

因为平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，BC⊂平面ABCD，

所以BC⊥平面ABCD，

又因为四边形ABEF为正方形，

所以BA、BE、BC两两互相垂直，

以点B为坐标原点，BA、BE、BC所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(1,0,0)、C(0,0,1)、F(1,1,0)、E(0,1,0)，

因为CM=BN=a，所以M(a