2023-2024学年四川省成都市校级联考高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年四川省成都市校级联考高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量a=(1,1,2),b=(−3,2,0)，则aA.(32,32,322.平面直角坐标系内，与点A(1,1)的距离为1且与圆(x−1)2+(y−4)A.4条 B.3条 C.2条 D.0条3.设A−、B−分别是事件A、B的对立事件，P(A)>0，P(B)>0，则下列结论不正确的是(

)A.P(A)+P(A−)=1

B.若A、B是互斥事件，则P(A∩B)=P(A)P(B)

C.P(A∪A−)=1

D.4.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1A.12

B.1

C.32

5.在样本频率分布直方图中共有9个小矩形，若其中1个小矩形的面积等于其他8个小矩形面积和的25，且样本容量为210，则该组的频数为(

)A.28 B.40 C.56 D.606.已知双曲线C：x22−y24=1的左、右焦点分别为F1，F2A.3 B.23 C.27.已知抛物线y2=4x的焦点为F，其上有两点A，B，若AB的中点为M，满足MF的斜率等于1，则|BF|的最大值是(

)A.7 B.8 C.5+23 8.半径为R的光滑半球形碗中放置着4个半径为r的质量相同的小球，且小球的球心在同一水平面上，今将另一个完全相同的小球至于其上方，若小球不滑动，则Rr的最大值是(

)A.25+1 B.27+1二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知方程x22m+y24m+10=1(m为实数A.曲线C不可能表示一个圆 B.曲线C可以表示焦点在x轴上的椭圆

C.曲线C可以表示焦点在y轴上的椭圆 D.曲线C可以表示焦点在y轴上的双曲线10.如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB//DC，若PC=5，AB=1，AB=12DC,PD=AD=1，MA.BM//平面PAD

B.二面角P−DM−B的余弦值为−66

C.二面角P−DM−B的正弦值为66

D.若在线段PA上存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是11.已知|a|=|b|=A.若(2c−a)⋅(c−b)=0，则c⋅b的最大值为72+3

B.若(2c−a)12.已知抛物线C：y2=4x，过焦点F的直线l与C交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，y1>2A.sinα>tanβ B.∠AEF=∠BEF

C.∠AEB<90° D.α<2β三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.对任意的实数λ，圆C：x2+y2=1上一点到直线(2+λ)x−(1+λ)y−2(3+2λ)=014.已知n个人独立解决某问题的概率均为14，且互不影响，现将这n个人分为一组，若解决这个问题概率超过910，则n的最小值是______．15.把椭圆x225+y216=1的长轴分为2024等份，过每个等分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于2023个点，F是椭圆的个焦点，则这16.如图，在矩形ABCD中，|AB|=2|AD|，A1，A2分别为边AB，CD的中点，M，N分别为线段A2C(不含端点)和AD上的动点，满足|MA2||CD|=|DN||AD|四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，分别从两厂随机选取了10个轮胎，将每个轮胎的宽度(单位：mm)记录下来并绘制出折线图：

(1)分别计算甲、乙两厂提供10个轮胎宽度的平均值；

(2)轮胎的宽度在[193,195]内，则称这个轮胎是标准轮胎，试比较甲、乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好．18.(本小题12分)

已知圆C：(x−4)2+y2=r2(r>0)，两点A(−3,0)，B(−5,0)．

(1)若r=8，直线l过点B且被圆C所截的弦长为6，求直线l的截距式；

(2)动点P(x,y)满足|PA19.(本小题12分)

设动点P到两定点.F1(−1,0)和F2(1,0)的距离分别为d1和d2，∠F1PF2=2θ，使得d1d2sin2θ=12．

(1)证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出20.(本小题12分)

如图，平面ADEF⊥平面ABCD，四边形ADEF为矩形，且M为线段EF的中点，AB//CD，∠ABC=90°，AD=2DE，AB=2CD=2BC=3．

(1)求证：AM⊥平面BDM；

(2)求直线AM与平面MBC所成角的余弦值．21.(本小题12分)

已知圆的方程x2+y2=16，A(−2,0)，B(2,0)，抛物线过A，B两点，且以圆的切线为准线．

(1)求抛物线焦点的轨迹C的方程；

(2)已知P(4,0)，设x轴上一定点T(t,0)(−4<t<4)，过T的直线交轨迹C于M，22.(本小题12分)

已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，过F的直线l交于A，B两点，过F与l垂直的直线交于D，E两点，其中B，D在y轴左侧，M，N分别为AB，DE的中点，且直线MN过定点(0,3)．

(1)求抛物线C：x2=2py(p>0)的方程；

(2)设G为直线AE与直线BD的交点；

(i)证明G在定直线上；

(ii)求△MGN参考答案1.C

2.B

3.B

4.D

5.D

6.B

7.D

8.D

9.ACD

10.ABD

11.BC

12.BD

13.[0,214.9

15.10115

16.317.解：(1)根据题意，甲厂生产的轮胎宽度的平均值为：

x−甲=110(195+194+196+193+194+197+196+195+193+197)=195(mm)，

乙厂生产的胎宽度的平均值为：

x−乙=110(195+196+193+192+195+194+195+192+195+193)=194(mm)．

(2)甲厂生产的轮胎宽度都在[193,195]内的数据为195，194，193，194，195，193，

平均数为x−1=16(195+194+193+194+195+193)=194，

方差为：S12=16[(195−194)2+(194−194)2+(193−194)2+(194−194)2+(195−194)2+(193−19418.解：(1)若r=8时，圆C：(x−4)2+y2=64，可得圆心C(4,0)，

因为直线l被圆C截得的弦长为6，则圆心到直线l的距离为d=r2−(62)2=55，

当直线l的斜率不存在时，此时直线l的方程为x=−5，不满足题意；

当直l的斜率存在时，设直线l的方程为y−0=k(x+5)，即kx−y+5k=0，

则|4k−0+5k|k2+1=55，解得k=±5526=±143026，

所以直线方程为1430x−26y+51430x=0或1430x+26y+51430=0，

综上可得，所求直线l的方程为1430x−26y+5143019.解：(1)证明：在△PF1F2中，|F1F2|=2，

|F1F2|2=d12+d22−2d1d2cos2θ，

所以4=(d1−d2)2+4d1d2sin2θ，

所以4=(d1−d2)2+4⋅12，

所以4=(d1−d2)2+2，

所以|d1−d2|=2<|F1F2|=2，

所以动点P的轨迹C是以F1，F2为焦点，实轴长为2a=2的双曲线，焦距为2c=2，

所以a=20.(1)证明：过点D作DN⊥AB于N，则DN⊥CD，

在直角梯形ABCD中，AB=2CD=2BC=3，

所以DN=BC=32，AN=BN=12AB=32，BD=BC2+CD2=322，

所以AD=AN2+DN2=322，

所以AD2+BD2=AB2，即AD⊥BD，

因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，

所以BD⊥平面ADEF，

又AM⊂平面ADEF，所以BD⊥AM，

在矩形ADEF中，M为线段EF的中点，AD=2DE，

所以AM=DM=2DE，

所以AM2+DM2=AD2，即AM⊥DM，

又BD∩DM=D，BD、DM⊂平面BDM，

所以AM⊥平面BDM．

(2)解：因为四边形ADEF为矩形，所以DE⊥AD，

又平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，DE⊂平面ADEF，

所以DE⊥平面ABCD，

由(1)知，DN⊥CD，

以D为坐标原点，DN，DC，DE所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(32,−32,0)，B(32,21.解：(1)如图，l是圆O的切线，分别过A，B，O作直线l的垂直，垂足分别为E、H、G，

又O是AB中点，则OG是直角梯形AEHB的中位线，|AE|+|BH|=2|OG|=8，

设F是以l为准线的抛物线的焦点，则|AF|=|AE|，|BF|=|BH|，

所以|AF|+|BF|=2|OG|=8>4=|AB|，

所以F点轨迹是以A，B为焦点的椭圆，椭圆长轴长为8，

2a=8，2c=4，则a=4，c=2，因此b=42−22=23，

所以抛物线的焦点的轨迹方程为x216+y212=1；

(2)证明：由题意设直线MN的方程为x=my+t，设M(x1,y1)，N(x2,y2)22.详解：(1)易知直线AB，直线DE斜率均存在，且不为0，设直线AB的方程lAB：y=kx+p2，lDE：y=−1kx+p2，

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，E(x3,y3)，D(x4,y4)，

联立y=kx+p2x2=2py，整理可得：x2−2pkx−p2=0，

可得x1+x2=2pk，x1x2=−4，所以y1+y2=k(x1+x2)+p=2pk2+p，

可得AB的中点M(pk