2024年新高一数学初升高衔接《集合间的基本关系》含答案解析

数学PAGE1数学第02讲集合间的基本关系模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解集合之间的包含与相等的含义;2．能够识别给定集合的子集和真子集，了解空集的含义;3．能够进行自然语言、图形语言（Venn图）、符号语言的转换，提升数学抽象素养;4．掌握集合子集、相等、真子集的定义，辨析集合间的关系与上一节内容的区别与联系，能使用适当的符号表示集合间的关系．知识点1子集与真子集1、韦恩图：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．（1）表示集合的Venn图边界是封闭曲线，它可以是圆、椭圆、矩形，也可以是其他封闭曲线．（2）用Venn图表示集合的方法叫图示法，其优点是能直观地表示出集合间的关系，缺点是集合元素的共同特征不明显．2、子集定义一般地，对于两个集合、，如果集合A中任意一个元素都是集合中的元素，就称集合为集合的子集．记法与读法记作⊆(或⊇)，读作“包含于”(或“包含”)图示性质（1）任意一个集合都是它本身的子集，即集合的子集也包括它本身，记作；（2）传递性：对于集合，如果，，则．【注意】（1）“是的子集”的含义：集合中的任何一个元素都是集合的元素，即由任意，能推出．（2）如果集合中存在着不是集合的元素，那么不包含于，或不包含．3、真子集定义如果集合A是集合的子集，但存在元素x∈B，且，就称集合A是集合的真子集．记法与读法记作AB或(BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”)图示性质（1）任意集合都不是它本身的真子集．（2）传递性：对于集合，如果，，则．【注意】（1）真子集也可以叙述为：若集合，存在元素且，则称集合是集合的真子集．（2）如果集合是集合的真子集，那么集合一定是集合的子集，反之不成立．知识点2集合相等1、集合相等的概念定义一般地，如果集合A的任何一个元素都是B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等．记法与读法记作，读作“等于”图示【注意】（1）若两个集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关。如．（2）如果，，则；反之，则且。这就给出了我们证明两个集合相等的方法，欲证，只需证明与都成立即可．2、判断两个集合是否相等的方法重点是要把握住两个原则：（1）对于元素较少的有限集，可用列举法将元素一一列举出来，看两个集合中的元素是否完全相同；（2）若两个集合是无限集，则从“互为子集”入手进行判断．知识点3空集1、空集的定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集．2、0，{0}，，的关系与0与{0}与相同点都表示无的意思都是集合都是集合不同点是集合；0是实数中不含任何元素；{0}含一个元素0不含任何元素；含一个元素，该元素是关系∅{∅}或∅∈{∅}【注意】空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．知识点4集合间的关系1、韦恩图表示集合间关系2、集合间的关系与实数大小的关系类比实数集合定义包含两层含义：或包含两层含义：或相等若且，则若，，则传递性若，，则若，，则．若，，则若，，则3、有限集的子集个数确定如果集合A中含有n个元素，则有（1）A的子集的个数有2n个．（2）A的非空子集的个数有2n－1个．（3）A的真子集的个数有2n－1个．（4）A的非空真子集的个数有2n－2个．考点一：子集、真子集的确定例1．（23-24高一上·天津滨海新·期中）已知集合，则集合的子集有.【变式1-1】（22-23高一·全国·课堂例题）已知集合，则集合A的所有非空子集的元素之和为．【变式1-2】（23-24高一上·全国·专题练习）已知集合，则含有元素0的A的子集个数是（

）A．2 B．4 C．6 D．8【变式1-3】（23-24高三上·四川·期末）集合的一个真子集可以为（

）A． B． C． D．考点二：子集与真子集的个数例2.（23-24高一上·全国·专题练习）集合的非空真子集有（

）.A．13个 B．14个 C．15个 D．16个【变式2-1】（23-24高一·安徽黄山·期中）已知集合，则集合A的真子集有个．【变式2-2】（23-24高一上·浙江·期中）已知集合满足，这样的集合有（

）个A．6 B．7 C．8 D．9【变式2-3】（23-24高一上·上海嘉定·期中）集合的子集个数为.考点三：判断是否为同一个集合例3.（23-24高一上·全国·专题练习）下列四组集合中表示同一集合的为（

）A．， B．，C．， D．，【变式3-1】（22-23高一上·天津·月考）下列说法正确的是（

）A．由1，2，3组成的集合可表示为或B．与是同一个集合C．集合与集合是同一个集合D．集合与集合是同一个集合【变式3-2】（23-24高一上·广东深圳·月考）下面说法中，正确的为（

）A．且或B．C．D．集合不满足元素的互异性【变式3-3】（23-24高一上·辽宁沈阳·月考）下列关于集合相等的说法正确的有（

）①；②；③；④A．0个 B．1个 C．2个 D．3个考点四：根据集合相等求参数例4.（23-24高一上·山西太原·月考）若m，，且满足集合，则．【变式4-1】（23-24高一上·山东临沂·期末）集合，，且，则实数．【变式4-2】（22-23高一上·海南海口·月考）含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为.【变式4-3】（23-24高一上·全国·专题练习）含有三个实数的集合既可表示为，也可表示为，则的值为．考点五：空集的概念及性质应用例5.（23-24高一上·全国·专题练习）下列四个集合中是空集的是（

）A． B．C． D．【变式5-1】（23-24高一上·北京东城·期中）下列正确的是（

）A． B． C． D．【变式5-2】（23-24高一上·重庆·期中）下列关于0与说法不正确的是（

）A． B． C． D．【变式5-3】（23-24高一上·全国·期末）下列式子表示正确的是（

）A． B． C． D．考点六：集合关系的Venn图表示例6.（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列能正确表示集合和关系的是（

）A．B．C．D．【变式6-1】（23-24高一上·全国·期中）已知全集U=R，那么正确表示集合M={-1，0}和N={x|x2-x=0}关系的韦恩(Venn)图是（

）A． B．C． D．【变式6-2】（23-24高一上·宁夏吴忠·月考）已知集合，，则正确表示与的关系的示意图是（

）A． B． C． D．【变式6-3】（22-23高一上·宁夏银川·月考）（多选）已知集合，，集合A与的关系如图，则集合可能是（

）A． B． C． D．考点七：判断两个集合的包含关系例7.（22-23高一上·江苏宿迁·月考）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【变式7-1】（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）设集合，则下列选项中正确的是（

）A．⫋ B．⫌ C． D．【变式7-2】（23-24高三下·浙江·开学考试）已知集合，则（

）A． B． C． D．【变式7-3】（23-24高三上·浙江宁波·期末）设全集，集合，，则（

）A． B． C． D．考点八：根据集合的包含关系求参数例8.（23-24高二下·上海闵行·月考）已知集合，且，则．【变式8-1】（23-24高一上·河北石家庄·月考）已知集合，，若，则所有a的取值构成的集合为（

）．A． B． C． D．【变式8-2】（23-24·四川德阳·三模）已知集合，，若，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式8-3】（23-24高一上·全国·专题练习）若集合，则能使成立的a的取值集合为．一、单选题1．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）若集合，则集合的子集共有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2．（23-24高一上·全国·期末）集合的真子集的个数是（

）A．15 B．8 C．7 D．633．（23-24高一上·全国·月考）下列集合中表示同一集合的是（

）A．整数，整数集B．，C．，D．，4．（23-24高一上·广东汕头·月考）有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥其中不正确的是（

）A．①③ B．③④⑤ C．①②⑤⑥ D．③④5．（23-24高一上·福建南平·期末）下列Venn图能正确表示集合和关系的是（

）A． B．C． D．6．（23-24·山西·三模）设集合是4与6的公倍数，，则（

）A． B． C． D．二、多选题7．（23-24高一上·江苏南京·期中）下列各个选项中，满足的集合有（

）A． B． C． D．8．（23-24高一上·重庆沙坪坝·月考）若，则称集合为幸福集合.对集合的所有非空子集，下列叙述正确的是（

）A．幸福集合个数为8 B．幸福集合个数为7C．不含1的幸福集合个数为4 D．元素个数为3的幸福集合有2个三、填空题9．（23-24高一上·陕西榆林·期中）已知集合，则集合的一个非空子集为.10．（23-24高二上·河北张家口·月考）写出集合的所有真子集.11．（23-24高一下·上海·期中）已知集合，，且．则实数的取值范围为．四、解答题12．（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）已知集合，其中是关于的方程的两个不同的实数根.（1）若，求出实数的值；（2）若，求实数的取值范围.13．（23-24高一上·福建泉州·月考）已知集合.（1）写出集合M的子集、真子集;（2）求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数;（3）猜想:含n个元素的集合的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集的个数呢?第02讲集合间的基本关系模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解集合之间的包含与相等的含义;2．能够识别给定集合的子集和真子集，了解空集的含义;3．能够进行自然语言、图形语言（Venn图）、符号语言的转换，提升数学抽象素养;4．掌握集合子集、相等、真子集的定义，辨析集合间的关系与上一节内容的区别与联系，能使用适当的符号表示集合间的关系．知识点1子集与真子集1、韦恩图：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．（1）表示集合的Venn图边界是封闭曲线，它可以是圆、椭圆、矩形，也可以是其他封闭曲线．（2）用Venn图表示集合的方法叫图示法，其优点是能直观地表示出集合间的关系，缺点是集合元素的共同特征不明显．2、子集定义一般地，对于两个集合、，如果集合A中任意一个元素都是集合中的元素，就称集合为集合的子集．记法与读法记作⊆(或⊇)，读作“包含于”(或“包含”)图示性质（1）任意一个集合都是它本身的子集，即集合的子集也包括它本身，记作；（2）传递性：对于集合，如果，，则．【注意】（1）“是的子集”的含义：集合中的任何一个元素都是集合的元素，即由任意，能推出．（2）如果集合中存在着不是集合的元素，那么不包含于，或不包含．3、真子集定义如果集合A是集合的子集，但存在元素x∈B，且，就称集合A是集合的真子集．记法与读法记作AB或(BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”)图示性质（1）任意集合都不是它本身的真子集．（2）传递性：对于集合，如果，，则．【注意】（1）真子集也可以叙述为：若集合，存在元素且，则称集合是集合的真子集．（2）如果集合是集合的真子集，那么集合一定是集合的子集，反之不成立．知识点2集合相等1、集合相等的概念定义一般地，如果集合A的任何一个元素都是B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等．记法与读法记作，读作“等于”图示【注意】（1）若两个集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关。如．（2）如果，，则；反之，则且。这就给出了我们证明两个集合相等的方法，欲证，只需证明与都成立即可．2、判断两个集合是否相等的方法重点是要把握住两个原则：（1）对于元素较少的有限集，可用列举法将元素一一列举出来，看两个集合中的元素是否完全相同；（2）若两个集合是无限集，则从“互为子集”入手进行判断．知识点3空集1、空集的定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集．2、0，{0}，，的关系与0与{0}与相同点都表示无的意思都是集合都是集合不同点是集合；0是实数中不含任何元素；{0}含一个元素0不含任何元素；含一个元素，该元素是关系∅{∅}或∅∈{∅}【注意】空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．知识点4集合间的关系1、韦恩图表示集合间关系2、集合间的关系与实数大小的关系类比实数集合定义包含两层含义：或包含两层含义：或相等若且，则若，，则传递性若，，则若，，则．若，，则若，，则3、有限集的子集个数确定如果集合A中含有n个元素，则有（1）A的子集的个数有2n个．（2）A的非空子集的个数有2n－1个．（3）A的真子集的个数有2n－1个．（4）A的非空真子集的个数有2n－2个．考点一：子集、真子集的确定例1．（23-24高一上·天津滨海新·期中）已知集合，则集合的子集有.【答案】，，，【解析】∵，所以集合的子集有：，，，.【变式1-1】（22-23高一·全国·课堂例题）已知集合，则集合A的所有非空子集的元素之和为．【答案】36【解析】集合A的非空子集分别是：，，，，，，．故所求和为为．【变式1-2】（23-24高一上·全国·专题练习）已知集合，则含有元素0的A的子集个数是（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【解析】含有元素0的A的子集有，，，，，，，，故含有元素0的A的子集个数为8.故选：D.【变式1-3】（23-24高三上·四川·期末）集合的一个真子集可以为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，故A错误；，故B错误；因为是集合的子集，但不是真子集，故D错误；是集合的真子集，故C正确.故选：C.考点二：子集与真子集的个数例2.（23-24高一上·全国·专题练习）集合的非空真子集有（

）.A．13个 B．14个 C．15个 D．16个【答案】B【解析】集合的非空真子集有，，，，，，，，，，，，，，共14个.故选：B【变式2-1】（23-24高一·安徽黄山·期中）已知集合，则集合A的真子集有个．【答案】15【解析】集合，所以集合A的真子集个数是.【变式2-2】（23-24高一上·浙江·期中）已知集合满足，这样的集合有（

）个A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【解析】由得且不全部是的元素，令，所以集合个数等于集合的个数，即的真子集个数，为个，故选：B.【变式2-3】（23-24高一上·上海嘉定·期中）集合的子集个数为.【答案】【解析】因为，所以当时，不成立，当时，成立，当时，成立，当时，成立，当时，成立，当时，成立，当时，成立，当时，不成立，所以满足题意的为，，所以集合的子集个数为：.考点三：判断是否为同一个集合例3.（23-24高一上·全国·专题练习）下列四组集合中表示同一集合的为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】选项A：两个集合中元素对应的坐标不同，A错误；选项B：集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，B正确；选项C：两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，C错误；选项D：是以0为元素的集合，是数字0，D错误.故选：B【变式3-1】（22-23高一上·天津·月考）下列说法正确的是（

）A．由1，2，3组成的集合可表示为或B．与是同一个集合C．集合与集合是同一个集合D．集合与集合是同一个集合【答案】A【解析】集合中的元素具有无序性，故A正确；是不含任何元素的集合，是含有一个元素0的集合，故B错误；集合，集合，故C错误；集合中有两个元素，集合中只有一个元素，为方程，故D错误.故选：A.【变式3-2】（23-24高一上·广东深圳·月考）下面说法中，正确的为（

）A．且或B．C．D．集合不满足元素的互异性【答案】C【解析】对于选项A：例如且，但或，所以且或，故A错误；对于选项B：集合是点集，集合是数集，两个集合的元素不相同，所以，故B错误；对于选项C：因为集合元素相同，所以，故C正确；对于选项D：集合只有一个元素，符合集合的互异性，故D错误；故选：C.【变式3-3】（23-24高一上·辽宁沈阳·月考）下列关于集合相等的说法正确的有（

）①；②；③；④A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【解析】因为，所以①正确；因为，，所以②不正确；因为，，故③正确；，故④错误.故选：C考点四：根据集合相等求参数例4.（23-24高一上·山西太原·月考）若m，，且满足集合，则．【答案】【解析】，故①或②，由①解得，不满足，舍去，由②解得，故.【变式4-1】（23-24高一上·山东临沂·期末）集合，，且，则实数．【答案】【解析】由题意得，则，解得.【变式4-2】（22-23高一上·海南海口·月考）含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为.【答案】0【解析】因为，且，所以，则有，所以，且，得，所以，.【变式4-3】（23-24高一上·全国·专题练习）含有三个实数的集合既可表示为，也可表示为，则的值为．【答案】0【解析】由题意，可得，根据集合相等和元素的互异性，可得且，解得，此时集合，所以.考点五：空集的概念及性质应用例5.（23-24高一上·全国·专题练习）下列四个集合中是空集的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】对于A,集合中有一个元素，故不是空集，对于B,方程无实数解，∴集合为空集，对于C，是无限集，所以不是空集，对于D,，不是空集.故选：B．【变式5-1】（23-24高一上·北京东城·期中）下列正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】选项，不是的元素，即不成立，则错误；选项，中没有任何元素，即，则错误；选项，中没有任何元素，而表示集合里面只有一个元素，即两者不相等，则错误；选项，元素为集合中的元素，即，则正确；故选：D.【变式5-2】（23-24高一上·重庆·期中）下列关于0与说法不正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为是不含任何元素的集合，故A正确，C不正确；对于选项B：，故B正确；对于选项D：因为是任何集合的子集，所以，故D正确；故选：C.【变式5-3】（23-24高一上·全国·期末）下列式子表示正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】对于选项A，由空集的定义可得：空集是任意非空集合的真子集，即，正确；对于选项B，根据集合的关系知，错误；对于选项C，根据集合的关系知，错误；对于选项D，根据元素与集合的关系知，错误.故选：A.考点六：集合关系的Venn图表示例6.（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列能正确表示集合和关系的是（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】易知，显然，且互不包含.故选：A【变式6-1】（23-24高一上·全国·期中）已知全集U=R，那么正确表示集合M={-1，0}和N={x|x2-x=0}关系的韦恩(Venn)图是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，集合没有包含关系故选：A【变式6-2】（23-24高一上·宁夏吴忠·月考）已知集合，，则正确表示与的关系的示意图是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，即，所以集合的元素集合也有，即.故选：B【变式6-3】（22-23高一上·宁夏银川·月考）（多选）已知集合，，集合A与的关系如图，则集合可能是（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】由图知：，，根据选项可知或．故选：BD.考点七：判断两个集合的包含关系例7.（22-23高一上·江苏宿迁·月考）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，，故，故选：B【变式7-1】（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）设集合，则下列选项中正确的是（

）A．⫋ B．⫌ C． D．【答案】B【解析】由题意，在中，，，∴，∴⫌，故选：B.【变式7-2】（23-24高三下·浙江·开学考试）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】易知方程无解，所以，所以选项A正确，因为，所以选项B错误，因为集合是以为元素的集合，由元素与集合间的关系，知选项C正确，又空集是任何集合的子集，所以选项D正确，故选：ACD.【变式7-3】（23-24高三上·浙江宁波·期末）设全集，集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】集合,，，,，．故选：B．考点八：根据集合的包含关系求参数例8.（23-24高二下·上海闵行·月考）已知集合，且，则．【答案】2【解析】∵，且，∴集合A里面的元素均可在集合B里面找到，∴a=2．【变式8-1】（23-24高一上·河北石家庄·月考）已知集合，，若，则所有a的取值构成的集合为（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】，故中至多一个元素.又，且，则或或，当时，，当时，，当时，，∴．故选：D.【变式8-2】（23-24·四川德阳·三模）已知集合，，若，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】集合，，又，则，所以实数a的取值范围是.故选：B【变式8-3】（23-24高一上·全国·专题练习）若集合，则能使成立的a的取值集合为．【答案】或【解析】当，则时，；当，则时，，要使，须有，解得，综上可知，能使成立的a的取值集合为或．一、单选题1．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）若集合，则集合的子集共有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【解析】因为集合，所以集合的子集有：，，，.所以集合的子集共有4个.故选：C.2．（23-24高一上·全国·期末）集合的真子集的个数是（

）A．15 B．8 C．7 D．63【答案】C【解析】由于，，又，，，即集合，该集合的所有真子集为，该集合的真子集个数为，故选：C.3．（23-24高一上·全国·月考）下列集合中表示同一集合的是（

）A．整数，整数集B．，C．，D．，【答案】C【解析】A选项，整数中的元素是整数，整数集中的元素是整数集，故不是同一集合；B选项，中的元素是，中的元素是，故不是同一集合；C选项，与都表示直线上的所有点，故是同一集合；D选项，中的元素是数1，2，中的元素是有序数对，故不是同一集合；故选：C.4．（23-24高一上·广东汕头·月考）有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥其中不正确的是（

）A．①③ B．③④⑤ C．①②⑤⑥ D．③④【答案】D【解析】由集合的性质及关系知，、，①②对；由空集的性质知，、、，③④错，⑤对；由元素与集合关系知，，⑥对.故选：D5．（23-24高一上·福建南平·期末）下列Venn图能正确表示集合和关系的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，又，所以，选项B符合，故选：B.6