2024年新高一数学初升高衔接《基本不等式》含答案解析

数学PAGE1数学第07讲基本不等式模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．了解基本不等式的证明过程；2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小；3．熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题；4．会用基本不等式求解实际应用题.知识点1基本不等式1、重要不等式（1）公式：对于任意的实数，有，当且仅当时，等号成立．【说明】，当且仅当时，等号成立．（2）常见变形：、、．2、基本不等式（1）公式：如果，，那么，当且仅当时，等号成立．【说明】叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数．因此基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．（2）常见变形：；（3）常用结论：=1\*GB3①（同号），当且仅当时取等号；（异号），当且仅当时取等号．=2\*GB3②（），当且仅当时取等号；（），当且仅当时取等号；知识点2最值定理1、最值定理：已知都是正数，（1）若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为eq\f(s2,4)．（2）若xy＝p(积p为定值)，则当x=y时，和x＋y有最小值，且这个值为2eq\r(p)．最值定理简记为：积定和最小，和定积最大．2、在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等．①一正：各项均为正数；②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变数的各项均相等，取得最值．知识点3基本不等式的变式与拓展1、基本不等式链或．当且仅当时等号成立．其中，为的调和平均值，为的平方平均值2、基本不等式的拓展（1）三元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立．（2）元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立．考点一：对基本不等式的理解例1．（22-23高一上·河北邯郸·月考）不等式（x-2y）+≥2成立的前提条件为（

）A．x≥2y B．x>2y C．x≤2y D．x<2y【变式1-1】（23-24高一上·西藏林芝·期中）下列命题中正确的是（

）A．若，且，则B．若，则C．若，则D．对任意，均成立.【变式1-2】（23-24高一上·山西运城·月考）（多选）已知，且，则下列不等式中，恒成立的是（

）A． B．C． D．【变式1-3】（23-24高一上·新疆巴音郭楞·期末）（多选）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接、、，过点作的垂线，垂足为.则该图形可以完成的所有的无字证明为（

）A． B．C． D．考点二：利用基本不等式比较大小例2.（23-24高一上·甘肃会宁·期中）设（、为互不相等的正实数），，则与的大小关系是（

）A． B． C． D．【变式2-1】（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知实数a，b，c满足，，且，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．【变式2-2】（23-24高一上·福建莆田·期末）（多选）若，则，中不可能是最大值的是（

）A． B． C． D．【变式2-3】（23-24高一上·全国·专题练习）（多选）若，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．考点三：利用基本不等式求最值例3.（23-24高一下·贵州贵阳·月考）已知，则的最大值是（）A． B．3 C．1 D．6【变式3-1】（23-24高一上·广东韶关·月考）已知，则的最小值为（

）A． B． C． D．【变式3-2】（23-24高一下·河南周口·月考）已知正数满足，则的最小值为（

）A．4 B．6 C．8 D．16【变式3-3】（23-24高一下·陕西榆林·月考）若正数，满足，则的最小值为（

）A．2 B． C．3 D．【变式3-4】（23-24高一下·广西·开学考试）已知，，且，则的最小值是（

）A． B． C． D．考点四：利用基本不等式证明不等式例4.（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知，求证:(1);(2).【变式4-1】（23-24高一上·四川雅安·期中）已知，，且，证明：(1)；(2)．【变式4-2】（23-24高一上·全国·专题练习）设a，b，c均为正数，求证：．【变式4-3】（23-24高一上·安徽淮南·期中）已知是正实数.(1)证明：；(2)若，证明：.(3)已知是正数，且，求证：．考点五：基本不等式恒成立问题例5.（23-24高一上·贵州安顺·期末）若不等式恒成立，则实数的最大值为（

）A．2 B．3 C．4 D．9【变式5-1】（23-24高一上·吉林延边·月考）已知，，且．若恒成立，则实数的最大值是（）A．4 B．8 C．3 D．6【变式5-2】（23-24高一上·广东揭阳·期中）已知，，且，若不等式恒成立，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式5-3】（23-24高一下·湖南株洲·开学考试）（多选）若对于任意，恒成立，则实数的取值可以是（

）A． B． C． D．考点六：基本不等式在实际中的应用例6.（23-24高一下·浙江·月考）如图，某灯光设计公司生产一种长方形线路板，长方形的周长为4，沿折叠使点B到点位置，交于点P．研究发现当的面积最大时用电最少，则用电最少时，的长度为（

）

A． B． C． D．【变式6-1】（23-24高一上·江苏连云港·月考）某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800，深度为3m．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？【变式6-2】（23-24高一上·广东佛山·月考）某工厂拟造一座平面图（如图）为长方形且面积为的三级污水处理池．由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过16m，且高度一定．如果四周池壁的造价为400元/，中间两道隔墙的造价为248元/，池底造价为80元/，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不计）【变式6-3】（23-24高一上·四川乐山·期中）用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值．一、单选题1．（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）取最小值时的取值为（

）A．1 B． C．2 D．2．（23-24高一上·湖南娄底·期末）若，，且，则的最大值是（

）A． B． C． D．13．（22-23高一上·江苏宿迁·月考）若，则的最小值是（

）A． B． C． D．4．（23-24高一下·云南丽江·开学考试）已知a，b为正数，，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．4 D．85．（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知，则的最小值为（

）A．5 B．3 C． D．或36．（23-24高一上·山东济南·期末）如图所示，线段为半圆的直径，为圆心，为半圆弧上不与重合的点，.作于于，设，则下列不等式中可以直接表示的是（

）A． B．C． D．二、多选题7．（23-24高一下·云南昆明·期中）下列说法正确的是（

）A．的最小值为2 B．的最大值为2C．的最小值为2 D．最小值为8．（23-24高一上·全国·单元测试）已知，且，则下列四个不等式中，恒成立的为（

）A． B．C．2 D．三、填空题9．（23-24高一上·广西百色·期末）若，则的最小值为.10．（23-24高一上·北京·期中）某快递公司为提高效率，引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本．已知购买台机器人的总成本为（单位：万元）．若要使每台机器人的平均成本最低，则应买机器人台.11．（23-24高一上·吉林延边·月考）若，关于的不等式恒成立，则实数a的取值范围是.四、解答题12．（23-24高一上·山东菏泽·月考）（1）已知，则取得最大值时的值为？（2）函数的最小值为？（3）已知x，y是正实数，且，求的最小值．13．（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）如图，我国古代的“弦图”是由四个全等的直角三角形围成的.设直角三角形的直角边长为，且直角三角形的周长为2.（已知正实数，都有，当且仅当时等号成立）(1)求直角三角形面积的最大值；(2)求正方形面积的最小值.第07讲基本不等式模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．了解基本不等式的证明过程；2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小；3．熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题；4．会用基本不等式求解实际应用题.知识点1基本不等式1、重要不等式（1）公式：对于任意的实数，有，当且仅当时，等号成立．【说明】，当且仅当时，等号成立．（2）常见变形：、、．2、基本不等式（1）公式：如果，，那么，当且仅当时，等号成立．【说明】叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数．因此基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．（2）常见变形：；（3）常用结论：=1\*GB3①（同号），当且仅当时取等号；（异号），当且仅当时取等号．=2\*GB3②（），当且仅当时取等号；（），当且仅当时取等号；知识点2最值定理1、最值定理：已知都是正数，（1）若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为eq\f(s2,4)．（2）若xy＝p(积p为定值)，则当x=y时，和x＋y有最小值，且这个值为2eq\r(p)．最值定理简记为：积定和最小，和定积最大．2、在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等．①一正：各项均为正数；②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变数的各项均相等，取得最值．知识点3基本不等式的变式与拓展1、基本不等式链或．当且仅当时等号成立．其中，为的调和平均值，为的平方平均值2、基本不等式的拓展（1）三元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立．（2）元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立．考点一：对基本不等式的理解例1．（22-23高一上·河北邯郸·月考）不等式（x-2y）+≥2成立的前提条件为（

）A．x≥2y B．x>2y C．x≤2y D．x<2y【答案】B【解析】由均值不等式的条件“一正、二定，三相等”，即均值不等式成立的前提条件是各项均为正数，所以不等式成立的前提条件为，即.故选：B.【变式1-1】（23-24高一上·西藏林芝·期中）下列命题中正确的是（

）A．若，且，则B．若，则C．若，则D．对任意，均成立.【答案】A【解析】A选项，，当且仅当时等号成立，A选项正确.B选项，当时，，所以B选项错误.C选项，当时，，所以C选项错误.D选项，当时，，不成立，所以D选项错误.故选：A【变式1-2】（23-24高一上·山西运城·月考）（多选）已知，且，则下列不等式中，恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】对于A，当为负数时不成立，故A错误，对于B，，则，故B正确，对于C，，则都为正数，，当且仅当，即时等号成立，故C正确，对于D，，当且仅当和同时成立，即时等号成立，故D正确，故选：BCD【变式1-3】（23-24高一上·新疆巴音郭楞·期末）（多选）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接、、，过点作的垂线，垂足为.则该图形可以完成的所有的无字证明为（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】由题意可知，，因为，，则，所以，，即，所以；在中，，即当时，、点重合，，此时，则，所以A正确；对于C选项，在中，，则，又因为，所以，，可得，即，所以，由于，所以，当时，，此时，综上，，所以C正确；由于在该图中没有相应的线段与之对应，故BD中的不等式无法通过这种几何方法来证明，故选：AC.考点二：利用基本不等式比较大小例2.（23-24高一上·甘肃会宁·期中）设（、为互不相等的正实数），，则与的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】、为互不相等的正实数，则，所以，，时，，所以．故选：A．【变式2-1】（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知实数a，b，c满足，，且，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，由基本不等式得，故，因为，，两式相减得，，故，所以，故，所以.故选：B【变式2-2】（23-24高一上·福建莆田·期末）（多选）若，则，中不可能是最大值的是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】由于，则，故，，则，不可能是最大值，B，C符合题意；由于，当时，，，故，即，故不可能是最大值，A符合题意，故选：ABC【变式2-3】（23-24高一上·全国·专题练习）（多选）若，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】对于选项A，因为，则，所以，故选项A正确；因为，所以，，又，得到故，所以选项B和D正确，对于选项C，取，满足，但，所以C错误，故选：ABD.考点三：利用基本不等式求最值例3.（23-24高一下·贵州贵阳·月考）已知，则的最大值是（）A． B．3 C．1 D．6【答案】B【解析】，当且仅当，即取得等号，满足题意.故选：B.【变式3-1】（23-24高一上·广东韶关·月考）已知，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，故，即，当且仅当时，等号成立，所以.故选：A.【变式3-2】（23-24高一下·河南周口·月考）已知正数满足，则的最小值为（

）A．4 B．6 C．8 D．16【答案】C【解析】因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为8.故选：C.【变式3-3】（23-24高一下·陕西榆林·月考）若正数，满足，则的最小值为（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【解析】由正数，满足，得，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为．故选：B【变式3-4】（23-24高一下·广西·开学考试）已知，，且，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为且，，所以，则，当且仅当时，即当，时，等号成立.因此，的最小值是.故选：C.考点四：利用基本不等式证明不等式例4.（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知，求证:(1);(2).【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】（1），，当且仅当，即时等号成立.（2），.当且仅当时，即时等号成立.【变式4-1】（23-24高一上·四川雅安·期中）已知，，且，证明：(1)；(2)．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】（1）因为，所以，因为，，所以，当且仅当时，等号成立，所以，即，故；（2）因为，所以，因为，，所以，，所以，当且仅当，即时，等号成立，则，即．【变式4-2】（23-24高一上·全国·专题练习）设a，b，c均为正数，求证：．【答案】证明见解析【解析】∵a，b，c均为正数，∴，当且仅当，即时，等号成立．，当且仅当，即时，等号成立．∴，故，当且仅当时，等号成立．【变式4-3】（23-24高一上·安徽淮南·期中）已知是正实数.(1)证明：；(2)若，证明：.(3)已知是正数，且，求证：．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【解析】（1）由，当且仅当时等号成立，即，得证.（2）由，当且仅当时等号成立，则，得证.（3）由，当且仅当时等号成立，不等式得证.考点五：基本不等式恒成立问题例5.（23-24高一上·贵州安顺·期末）若不等式恒成立，则实数的最大值为（

）A．2 B．3 C．4 D．9【答案】D【解析】由题意恒成立，即恒成立.又，当且仅当时取等号.故实数的最大值为9.故选：D【变式5-1】（23-24高一上·吉林延边·月考）已知，，且．若恒成立，则实数的最大值是（）A．4 B．8 C．3 D．6【答案】A【解析】由，则，当且仅当，即，时，等号成立.故选：A.【变式5-2】（23-24高一上·广东揭阳·期中）已知，，且，若不等式恒成立，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，故，，，，故，当且仅当，即时取等号，故，最小值是16，由不等式恒成立可得.a的取值范围是，故选：B.【变式5-3】（23-24高一下·湖南株洲·开学考试）（多选）若对于任意，恒成立，则实数的取值可以是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】因为，所以，当且仅当，即时等号成立，由任意，恒成立，

所以，符合条件有，，，故A、C、D对；，故B错；故选：ACD考点六：基本不等式在实际中的应用例6.（23-24高一下·浙江·月考）如图，某灯光设计公司生产一种长方形线路板，长方形的周长为4，沿折叠使点B到点位置，交于点P．研究发现当的面积最大时用电最少，则用电最少时，的长度为（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，设，由矩形的周长为4，可知．设，则．，．在中，由勾股定理得，即，解得，所以．所以的面积．所以，当且仅当时，即当时，的面积最大，面积的最大值为，故选：B．【变式6-1】（23-24高一上·江苏连云港·月考）某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800，深度为3m．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？【答案】当水池设计成底面边长为40m的正方形时，总造价最低，为198400元．【解析】设池底的一边长为，则另一边长为，总造价为元，则，当且仅当，即时，等号成立，所以当水池设计成底面边长为40m的正方形时，总造价最低，最低为198400元．【变式6-2】（23-24高一上·广东佛山·月考）某工厂拟造一座平面图（如图）为长方形且面积为的三级污水处理池．由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过16m，且高度一定．如果四周池壁的造价为400元/，中间两道隔墙的造价为248元/，池底造价为80元/，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不计）【答案】长为m，宽为m时总造价最低．【解析】设处理池的长和宽分别为，，高为，总造价为，则，，，当且仅当，又，即，时取到等号，故长为m，宽为m时总造价最低．【变式6-3】（23-24高一上·四川乐山·期中）用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值．【答案】当等腰梯形的腰长为时，所用篱笆长度最小，其最小值为．【解析】设，上底，分别过点作下底的垂线，垂足分别为，则，，则下底，该等腰梯形的面积，所以，则，所用篱笆长为，当且仅当，即，时取等号．所以，当等腰梯形的腰长为时，所用篱笆长度最小，其最小值为．一、单选题1．（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）取最小值时的取值为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【解析】由题意可知，，，当且仅当，即时，等号成立，即取最小值时的取值为．故选：．2．（23-24高一上·湖南娄底·期末）若，，且，则的最大值是（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】由题意，解得，等号成立当且仅当.故选：B.3．（22-23高一上·江苏宿迁·月考）若，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是.故选：C.4．（23-24高一下·云南丽江·开学考试）已知a，b为正数，，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【解析】正数a，b满足，则，当且仅当，即时取等号，所以当时，取得最小值4.故选：C5．（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知，则的最小值为（

）A．5 B．3 C． D．或3【答案】B【解析】由，得，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为3．故选：B.6．（23-24高一上·山东济南·期末）如图所示，线段为半圆的直径，为圆心，为半圆弧上不与重合的点，.作于于，设，则下列不等式中可以直接表示的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，所以，在中，，又，所以，在中，，故，得到，所以，所以，即，故选：D.二、多选题7．（23-24高一下·云南昆明·期中）下列说法正确的是（

）A．的最小值为2 B．的最大值为2C．的最小值为2 D．最小值为