2024年新高一数学初升高衔接《函数的单调性与最大（小）值》含答案解析

数学PAGE1数学第10讲函数的单调性与最大（小）值模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．从图象直观、定性描述和定量分析三个方面，理解和研究函数的单调性；2．会用函数单调性的定义判断(或证明）一些函数的单调性；3．会求一些具体函数的单调区间.知识点1函数的单调性1、单调函数的定义（1）设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数；当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数。（2）单调性的图形趋势（从左往右）上升趋势下降趋势2、函数的单调区间：若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．【注意】（1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．（2）单调区间D⊆定义域I.（3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大；（4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；3、常见简单函数的单调性函数单调性一次函数当时，在R上单调递增；当时，在R上单调递减.反比例函数当时，在和上单调递减；当时，在和上单调递增.二次函数当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.4、定义法证明函数单调性的步骤①取值：设x1，x2为该区间内任意的两个值，且x1＜x2②作差变形：做差f（x1）-f（x2），并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论④判断：根据定义做出结论。知识点2单调函数的运算性质若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：（1）与（C为常数）具有相同的单调性.（2）与的单调性相反.（3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反.（4）若≥0，则与具有相同的单调性.（5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性；当时，与具有相同的单调性.（6）与的和与差的单调性（相同区间上）:简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘.知识点3函数的最大（小）值1、函数的最大值（1）定义：对于函数y＝f(x)其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作ymax＝f(x0).（2）几何意义：函数的最大值对应函数图象的最高点的纵坐标。2、函数的最小值（1）定义：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作ymin＝f(x0).（2）几何意义：函数的最小值对应图象最低点的纵坐标。3、利用函数的单调性求最值的常用结论（1）如果函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，那么函数，在处有最大值；（2）如果函数在区间上单调递递减，在区间上单调递增，那么函数，在处有最小值.【注意】对于定义域为闭区间的函数，还需要确定函数在端点处的函数值的大小，将其与所求出的最值进行比较，值最大（小）者即为函数的最大（小）值。考点一：判断函数的单调性例1．（23-24高一上·山东聊城·期中）（多选）如图是定义在区间上的函数，则下列关于函数的说法正确的是（

）A．函数在区间上单调递增B．函数在区间上单调递增C．函数在区间上单调递减D．函数在区间上不是单调函数【变式1-1】（23-24高一上·天津红桥·期中）下列函数在区间上为减函数的是（

）A． B． C． D．【变式1-2】（22-23高二下·新疆巴音郭楞·期末）下列四个函数中，在上为增函数的是（

）A． B． C． D．【变式1-3】（23-24高一上·全国·专题练习）已知函数的定义域为R，对任意，且，都有，则下列说法正确的是（

）A．是增函数 B．是减函数C．是增函数 D．是减函数考点二：定义法讨论函数的单调性例2.（23-24高一上·全国·专题练习）已知函数的定义域为，判断在上的单调性，并用定义证明；【变式2-1】（23-24高一上·全国·专题练习）已知函数（，），当时，用单调性的定义证明在上是增函数.【变式2-2】（23-24高一上·山东济宁·月考）已知函数.(1)求的定义域；(2)判断函数在上的单调性，并加以证明【变式2-3】（23-24高一上·河南驻马店·月考）已知定义在上的函数对于，，都满足，且当时，．(1)求的值；(2)根据定义，研究在上的单调性．考点三：求函数的单调区间例3.（22-23高一上·全国·课后作业）已知的图象如图所示，则该函数的单调增区间为（

）A． B．和 C． D．和【变式3-1】（22-23高一上·四川攀枝花·月考）函数的单调递增区间为（

）A． B． C． D．和【变式3-2】（23-24高一上·福建泉州·月考）函数的单调减区间是（

）A． B． C． D．【变式3-3】（23-24高一上·陕西西安·期中）已知函数，则函数的单调递增区间是（

）A． B． C．和 D．和考点四：利用函数单调性求参数例4.（23-24高一上·河北邯郸·期末）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式4-1】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）函数在上是单调函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式4-2】（23-24高一上·北京·期中）已知函数是上的增函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式4-3】（23-24高一上·浙江杭州·期中）若函数是减函数，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．考点五：利用单调性比较大小例5.（23-24高三上·北京顺义·期末）已知在上单调递减，且，则下列结论中一定成立的是（

）A． B．C． D．【变式5-1】（23-24高一上·福建福州·期中）函数为定义在上的单调增函数，若，则（

）A． B．C． D．【变式5-2】（23-24高一上·河南·期中）已知函数在区间上单调递减，且，则（

）A． B．C． D．【变式5-3】（23-24高一上·全国·专题练习）已知函数，若，则（

）A． B．C． D．考点六：利用单调性解不等式例6.（23-24高一上·重庆·期中）若函数在上是减函数，且，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式6-1】（23-24高一上·江苏南京·月考）函数是定义在上的增函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【变式6-2】（23-24高一上·四川遂宁·期末）已知函数在上有定义，且．若对任意给定的实数，均有恒成立，则不等式的解集是．【变式6-3】（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）定义在上的函数满足：，且成立，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．考点七：求函数的最值或值域例7.（23-24高一上·北京·期中）函数的值域是（

）A． B． C． D．【变式7-1】（23-24高一上·江苏南通·期末）函数的最小值为（

）A．0 B．1 C． D．2【变式7-2】（23-24高一上·湖北宜昌·月考）函数在区间上的值域为（

）A． B． C． D．【变式7-3】（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知，满足，则函数的值域为（

）A． B． C． D．考点八：根据函数的最值求参数例8.（23-24高一上·上海浦东新·期末）若函数的定义域是，值域是，则．【变式8-1】（23-24高三上·江苏南通·开学考试）已知函数，的值域是，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式8-2】（23-24高一上·北京·期中）若函数的值域为，则实数的取值范围为（

）.A． B． C． D．【变式8-3】（23-24高一上·湖南株洲·月考）设，若的最小值为，则a的值为（

）A．0 B．1或4 C．1 D．4一、单选题1．（22-23高一上·天津南开·期中）函数单调减区间是（

）A． B． C． D．2．（23-24高一下·江西·月考）已知函数的定义域为，则“”是“函数在区间上单调递增”的（

）A．充要条件 B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件 D．必要不充分条件3．（23-24高一上·甘肃白银·期中）函数是定义在上的增函数，则满足的的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（23-24高一上·全国·专题练习）已知，且在上单调递减，则，，的大小顺序是（

）A． B．C． D．5．（23-24高一上·福建·期中）已知函数是R上的减函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．6．（23-24高一上·四川眉山·期中）已知函数的最小值为8.则实数的值是（

）A．-1 B．1 C．2 D．3二、多选题7．（23-24高一上·山东枣庄·月考）若为定义在上的单调函数，且满足对任意，都有，则的值可能为（）A． B． C． D．8．（23-24高一上·广东茂名·期末）定义在上的函数满足，且，，则下列结论中正确的是（

）A．不等式的解集为 B．不等式的解集为C．不等式的解集为 D．不等式的解集为三、填空题9．（23-24高一上·全国·专题练习）函数在上是单调递减函数，则的单调递增区间是10．（23-24高一上·北京·期中）若函数的单调递增区间是，则实数的值为.11．（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）对，，记，则函数的最小值为．四、解答题12．（23-24高一上·新疆克孜勒苏·期末）已知函数，且．(1)求函数的解析式；(2)用定义证明函数在上是增函数.13．（23-24高三上·河北石家庄·月考）已知函数.(1)画出函数的图象；(2)求的值；(3)写出函数的单调递减区间.第10讲函数的单调性与最大（小）值模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．从图象直观、定性描述和定量分析三个方面，理解和研究函数的单调性；2．会用函数单调性的定义判断(或证明）一些函数的单调性；3．会求一些具体函数的单调区间.知识点1函数的单调性1、单调函数的定义（1）设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数；当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数。（2）单调性的图形趋势（从左往右）上升趋势下降趋势2、函数的单调区间：若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．【注意】（1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．（2）单调区间D⊆定义域I.（3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大；（4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；3、常见简单函数的单调性函数单调性一次函数当时，在R上单调递增；当时，在R上单调递减.反比例函数当时，在和上单调递减；当时，在和上单调递增.二次函数当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.4、定义法证明函数单调性的步骤①取值：设x1，x2为该区间内任意的两个值，且x1＜x2②作差变形：做差f（x1）-f（x2），并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论④判断：根据定义做出结论。知识点2单调函数的运算性质若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：（1）与（C为常数）具有相同的单调性.（2）与的单调性相反.（3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反.（4）若≥0，则与具有相同的单调性.（5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性；当时，与具有相同的单调性.（6）与的和与差的单调性（相同区间上）:简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘.知识点3函数的最大（小）值1、函数的最大值（1）定义：对于函数y＝f(x)其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作ymax＝f(x0).（2）几何意义：函数的最大值对应函数图象的最高点的纵坐标。2、函数的最小值（1）定义：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作ymin＝f(x0).（2）几何意义：函数的最小值对应图象最低点的纵坐标。3、利用函数的单调性求最值的常用结论（1）如果函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，那么函数，在处有最大值；（2）如果函数在区间上单调递递减，在区间上单调递增，那么函数，在处有最小值.【注意】对于定义域为闭区间的函数，还需要确定函数在端点处的函数值的大小，将其与所求出的最值进行比较，值最大（小）者即为函数的最大（小）值。考点一：判断函数的单调性例1．（23-24高一上·山东聊城·期中）（多选）如图是定义在区间上的函数，则下列关于函数的说法正确的是（

）A．函数在区间上单调递增B．函数在区间上单调递增C．函数在区间上单调递减D．函数在区间上不是单调函数【答案】ABD【解析】对于A项，由图象可知，函数在区间上单调递增，故A项正确；对于B项，由图象可知，函数在区间上单调递增，故B项正确；对于C项，由图象可知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递减，但是，所以函数在区间上不是单调递减的，故C项错误；对于D项，由图象可知，函数在区间上有增有减，所以，函数在区间上不是单调函数，故D项正确.故选：ABD.【变式1-1】（23-24高一上·天津红桥·期中）下列函数在区间上为减函数的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】在上，是增函数；在上，是减函数，因此是增函数；在上，是减函数，在上，是减函数，因此是增函数，故选：C．【变式1-2】（22-23高二下·新疆巴音郭楞·期末）下列四个函数中，在上为增函数的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据函数的图像可知，其单调递增区间是，，所以A对．因为抛物线的单调递增区间为，单调递减区间为，所以该抛物线在上不单调，所以B错；因为直线的斜率为-1，所以在上为减函数，所以C错；根据函数的图像可知其在上为减函数，所以D错；故选：A．【变式1-3】（23-24高一上·全国·专题练习）已知函数的定义域为R，对任意，且，都有，则下列说法正确的是（

）A．是增函数 B．是减函数C．是增函数 D．是减函数【答案】A【解析】不妨令，，令，，又，∴是增函数．故选:A.考点二：定义法讨论函数的单调性例2.（23-24高一上·全国·专题练习）已知函数的定义域为，判断在上的单调性，并用定义证明；【答案】在上单调递增，证明见解析【解析】在上单调递增，证明如下：设，；因为，，，，所以，所以是在上单调递增.【变式2-1】（23-24高一上·全国·专题练习）已知函数（，），当时，用单调性的定义证明在上是增函数.【答案】证明见解析【解析】当时，，任取，且，则.因为，所以，，，所以，即.所以在上是增函数.【变式2-2】（23-24高一上·山东济宁·月考）已知函数.(1)求的定义域；(2)判断函数在上的单调性，并加以证明【答案】(1)；(2)在上单调递减，证明见解析【解析】（1）要使函数有意义，当且仅当，由得，所以函数的定义域为.（2）函数在上单调递减，证明如下：任取，，所以.因为，，所以，，，又，所以，故，即，因此函数在上单调递减.【变式2-3】（23-24高一上·河南驻马店·月考）已知定义在上的函数对于，，都满足，且当时，．(1)求的值；(2)根据定义，研究在上的单调性．【答案】(1)；(2)在上单调递增【解析】（1）依题意，函数对于，，都满足，令得.（2）任取，则，所以，所以，所以，即，所以在上单调递增.考点三：求函数的单调区间例3.（22-23高一上·全国·课后作业）已知的图象如图所示，则该函数的单调增区间为（

）A． B．和 C． D．和【答案】B【解析】由图象知：该函数的单调增区间为和.故选：B【变式3-1】（22-23高一上·四川攀枝花·月考）函数的单调递增区间为（

）A． B． C． D．和【答案】D【解析】的定义域为，由反比例函数的性质可知的单调递增区间为和，故选：D【变式3-2】（23-24高一上·福建泉州·月考）函数的单调减区间是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，画出的图象如下：的单调减区间为，故选：A【变式3-3】（23-24高一上·陕西西安·期中）已知函数，则函数的单调递增区间是（

）A． B． C．和 D．和【答案】C【解析】因为函数的对称轴为直线，由可得或，作出函数的图象如下图所示：由图可知，函数的单调递增区间为和.故选：C.考点四：利用函数单调性求参数例4.（23-24高一上·河北邯郸·期末）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据题意，设，则，因为在上单调递增，所以在区间上单调递增，则有，解得，故选：B．【变式4-1】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）函数在上是单调函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为函数开口向上，对称轴为，所以函数在上单调递减，，解得，所以的取值范围是.故选：A.【变式4-2】（23-24高一上·北京·期中）已知函数是上的增函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为函数是上的增函数，所以，解得，即的取值范围是.故选：D【变式4-3】（23-24高一上·浙江杭州·期中）若函数是减函数，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意当时，单调递减，则，即，当时，单调递减，则，要保证单调递减，则还需，解得，综上所述，a的取值范围是.故选：A.考点五：利用单调性比较大小例5.（23-24高三上·北京顺义·期末）已知在上单调递减，且，则下列结论中一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由得，，结合在上单调递减，则必有，显然B正确，A错误，而当时，不在定义域内，故无法比较，C,D错误.故选：B【变式5-1】（23-24高一上·福建福州·期中）函数为定义在上的单调增函数，若，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】是增函数，时，，；时，，；，因此，；时，，，故选：C．【变式5-2】（23-24高一上·河南·期中）已知函数在区间上单调递减，且，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，所以.因为在区间上单调递减，所以，即.故选：A【变式5-3】（23-24高一上·全国·专题练习）已知函数，若，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】令函数，因为函数在上单调递减，所以函数在区间上单调递减，又因为，所以，即.故选：C.考点六：利用单调性解不等式例6.（23-24高一上·重庆·期中）若函数在上是减函数，且，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由函数在上是减函数，，得，解得，所以实数的取值范围是.故选：D【变式6-1】（23-24高一上·江苏南京·月考）函数是定义在上的增函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函数是定义在上的增函数，有，解得，不等式的解集为，故选：A．【变式6-2】（23-24高一上·四川遂宁·期末）已知函数在上有定义，且．若对任意给定的实数，均有恒成立，则不等式的解集是．【答案】【解析】因为对任意给定的实数，均有恒成立，所以函数在上单调递减，又，又不等式，所以当，即时，，则，解得，故；当，即时，，则，解得，故；综上，不等式的解集为.故答案为：.【变式6-3】（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）定义在上的函数满足：，且成立，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为对任意的，且，都有，即对任意两个不相等的正实数，不妨设，都有，所以有，设函数，则函数在上单调递减，且.当时，不等式等价于，即，解得，所以不等式的解集为.故选：C考点七：求函数的最值或值域例7.（23-24高一上·北京·期中）函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，因为，所以在上单调递减，在上单调递增，又，，故在上的值域为.故选：D【变式7-1】（23-24高一上·江苏南通·期末）函数的最小值为（

）A．0 B．1 C． D．2【答案】B【解析】，由于在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，又，即分段处端点值相等，故在处取得最小值，最小值为.故选：B【变式7-2】（23-24高一上·湖北宜昌·月考）函数在区间上的值域为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】函数，易得函数在上单调递减，在上单调递减，当时，；当时，；所以函数的值域为.故选：D.【变式7-3】（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知，满足，则函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，故，，解得，故，，函数定义域为，设，，则，，当时，函数有最小值为，故函数值域为.故选：C.考点八：根据函数的最值求参数例8.（23-24高一上·上海浦东新·期末）若函数的定义域是，值域是，则．【答案】或【解析】由题设，则在定义域上单调，所以或，可得或，所以或.故答案为：或【变式8-1】（23-24高三上·江苏南通·开学考试）已知函数，的值域是，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】画出函数的图象，如下图所示：易知，；若时的值域是，由图可知.故选：C【变式8-2】（23-24高一上·北京·期中）若函数的值域为，则实数的取值范围为（

）.A． B． C． D．【答案】D【解析】当时，函数在上单调递减，在上的值域为，因为函数在R上的值域为，则函数在上的值域包含，显然，否则当时，，不符合题意，于是函数在上单调递减，其值域为，因此，则，所以实数的取值范围为.故选：D【变式8-3】（23-24高一上·湖南株洲·月考）设，若的最小值为，则a的值为（

）A．0 B．1或4 C．1 D．4【答案】C【解析】当时，，当且仅当，即时等号成立.故时，，由二次函数性质可知对称轴，且，解得或（舍去），故选：C一、单选题1．（22-23高一上·天津南开·期中）函数单调减区间是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为函数的图象是开口向上，且以直线为对称轴的抛物线，故函数的单调递减区间是.故选：C．2．（23-24高一下·江西·月考）已知函数的定义域为，则“”是“函数在区间上单调递增”的（

）A．充要条件 B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件 D．必要不充分条件【答案】D【解析】由得不到“函数在区间上单调递增”，如，，显然满足，但是函数在上递增，在上递减，故“”不是“函数在区间上单调递增”的充分条件；而由“函数在区间上单调递增”可得.则“”是“函数在区间上单调递增”的必要不充分条件.故选：D.3．（23-24高一上·甘肃白银·期中）函数是定义在上的增函数，则满足的的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意知函数是定义在上的增函数，则由，得，解得，即，故选：D4．（23-24高一上·全国·专题练习）已知，且在上单调递减，则，，的大小顺序是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，所以，，因为在上单调递减，所以.故选：A.5．（23-24高一上·福建·期中）已知函数是R上的减函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由于函数是定义在R上的