江苏省连云港市赣榆区2024-2025学年高二上学期11月期中学业水平质量监测数学试题B卷含答案

江苏省连云港市赣榆区2024-2025学年高二上学期11月期中学业水平质量监测数学试题B卷（试卷满分：150分，考试时间：120分钟）注意事项：1.答卷前，考生务必将本人的学校、班级、姓名、考试号填在答题卡上.2.将每题的答案或解答写在答题卡上，在试卷上答题无效.3.考试结束，只交答题卡.一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.）1.已知抛物线上一点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将点坐标代入抛物线的方程，从而求得的值.点坐标代入抛物线的方程得，解得.故选：A2.已知圆过三点，则的圆心和半径分别为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先设圆的标准方程为，其中为圆心坐标，为半径.已知圆过，，三点，将这三点分别代入圆的标准方程，得到三个方程，联立求解就可以得到圆心坐标和半径.设圆的标准方程为，其中为圆心坐标，为半径.将，代入，得到，展开整理可得，.将，代入，得到，展开整理可得，.将，代入，得到，展开整理可得，.三个式子联立解得，，，.则所以圆心坐标为，半径为.故选：D.3.方程表示椭圆，则的取值范围是（）A. B.或 C. D.【答案】B【解析】【分析】根据方程表示椭圆列不等式，由此求得的取值范围.由于方程表示椭圆，所以，解得或.故选：B4.已知双曲线的离心率为4，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据渐近线的斜率与离心率的关系求得正确答案.依题意，解得，所以渐近线方程为.故选：D5.已知圆和圆相交于，两点，则下列结论中错误的是（）A.两圆相交 B.直线AB的方程为C.两圆有两条公切线 D.线段AB的长为【答案】B【解析】【分析】先判断两个圆的位置关系，然后求得相交弦所在直线方程，再求得弦长.圆的圆心是，半径为，圆的圆心是，半径为，圆心距为，所以两圆相交，A选项正确，公切线有条，C选项正确.由、两式相减并化简得，B选项错误.到直线的距离为，所以，D选项正确.故选：B6.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，河岸线所在直线方程为，若将军从点处出发，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短路程为（）A. B. C.4 D.2【答案】B【解析】【分析】利用对称性以及两点间的距离公式来求得正确答案.圆的圆心为，半径，设关于直线的对称点为，则，解得，则，，所以“将军饮马”的最短路程为.故选：B7.双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为是面积为3的直角三角形，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】可利用三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设，由面积公式求出，由勾股定理得出，结合第一定义再求出.如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设，，由，由，解得，因为，所以，求得，即，由，解得，由正弦定理可得：，则由得，由得，则，由双曲线第一定义可得：，，所以双曲线的方程为.故选：A8.已知A，B，C，D是椭圆上四个不同的点，且是线段的交点，且，若，则直线的斜率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用向量共线、类似点差法建立等量关系式，由直线垂直斜率的关系求出直线l的斜率.设，而，因，故，即，所以，则，又Ax1,故①，且，即②，①②两式相减并化简得：，即③，同理可得：④，④－③得：，所以，因为，所以直线l的斜率为.故选：D【点睛】直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于掌握，若相交弦涉及的定比分点问题时，也可以用点差法的升级版—定比点差法，解法快捷.二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.）9.已知直线，则下列结论正确的是（）A.直线恒过定点 B.当时，直线的倾斜角为C.当时，直线的斜率为0 D.当时，直线与直线AB垂直【答案】AC【解析】【分析】根据直线的定点、倾斜角、斜率、垂直等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.直线，当时，，所以直线恒过定点，A选项正确.时，，斜率为，倾斜角为，B选项错误.时，，直线的斜率为，C选项正确.时，，斜率为，直线的斜率为，，所以直线与直线不垂直，D选项错误.故选：AC10.古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷.他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系中，.点满足，设点的轨迹为曲线，下列结论正确的是（）A.曲线的方程为B.过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率范围是C.曲线上的点到直线的最小距离为D.过点作曲线的一条切线，切点为F，则等于【答案】ABD【解析】【分析】设Px,y，根据求得曲线的轨迹方程，根据点到直线的距离公式来对选项进行分析，从而确定正确答案.设Px,y，由，得，而，所以，整理得，所以A选项正确.B选项，圆的圆心为，半径为，设直线的方程为，2,0到直线的距离，，两边平方并化简得，解得，所以直线的斜率范围是，B选项正确.C选项，2,0到直线的距离为，所以曲线上的点到直线的最小距离为，C选项错误.D选项，，，，所以，D选项正确.故选：ABD【点睛】思路点睛：通过设定比值来求解轨迹：首先设定两点之间的距离之比，并将其代入直角坐标系中，推导出曲线的方程.这一步奠定了解题的基础.利用距离公式分析直线与曲线关系：通过设定直线方程并利用点到直线的距离公式，求解出符合条件的斜率范围，确保直线与曲线存在公共点.结合几何关系确定切线条件：利用点和斜率的关系，结合几何推导，确定切线条件，从而判断选项的正确性.11.已知双曲线分别为双曲线左、右焦点，焦距为2c，为该双曲线上异于顶点的任一点，双曲线E的左、右顶点分别为，则下列说法正确的是（）A.若直线与双曲线的一个交点的横坐标恰好为c，则双曲线的离心率是B.若双曲线的离心率为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若的面积等于（点为坐标原点），则实数的值等于C.设直线PA、PB的斜率分别为，则D.若在第一象限，内切圆圆心的横坐标为【答案】ACD【解析】【分析】根据直线与双曲线的位置关系、双曲线的离心率、三角形的面积、定值问题以及三角形内切圆等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.A选项，，代入得，解得（负根舍去），所以，两边除以得，解得，A选项正确.B选项，双曲线左焦点到一条渐近线的距离为，所以，所以，由于双曲线的离心率，所以，所以，所以B选项错误C选项，设，则，，，所以C选项正确.D选项，设内切圆的圆心为，内切圆于相切于点，如图所示，则，且，由于，所以，而，所以，所以，所以内切圆圆心的横坐标为，D选项正确.故选：ACD【点睛】思路点睛：利用双曲线的几何特性求解离心率：首先通过双曲线的焦点和交点条件，利用关于的方程推导出离心率.内切圆位置的几何分析：通过分析双曲线在第一象限内的内切圆位置，利用几何关系确定圆心具体的横坐标.三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知直线，直线，若，则______.【答案】【解析】【分析】根据直线平行列方程，从而求得的值.若，则，解得，当时，直线，直线，两直线重合，不符合.当时，直线，直线，，符合.故答案为：13.过抛物线焦点的直线交拋物线于两点，若两点的横坐标之和为5，则___________.【答案】7【解析】【分析】根据抛物线定义即可求出.由抛物线方程可得，则由抛物线定义可得.故答案为：7.14.已知椭圆的上顶点为，两个焦点为，离心率为.过且垂直于的直线与交于D，E两点，，则椭圆的方程是______，的周长是______.【答案】①.②.8【解析】【分析】先根据离心率求出与的关系，再通过直线与椭圆相交弦长公式求出，的值，从而得到椭圆方程。对于的周长，根据椭圆的定义，椭圆上任意一点到两焦点距离之和等于长轴，所以的周长为。椭圆C:x2a2不妨可设椭圆，，的上顶点为，两个焦点为，，为等边三角形，过且垂直于的直线与交于，两点，，由等腰三角形的性质可得，，，设直线方程为，，，，，将其与椭圆联立化简可得，，由韦达定理可得，，，，解得，所以，，椭圆方程为。的周长等价于.故椭圆的方程是；的周长是。故答案为：；8.四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标为为的中点.（1）求直线的方程和边上的高所在的直线方程；（2）过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率范围是？【答案】（1）直线的方程是，边上的高所在的直线方程是（2）【解析】【分析】（1）利用两点式、点斜式来求得正确答案.（2）求得直线的斜率，从而求得直线的斜率范围.【小问1详解】依题意，，所以直线的方程为，整理得.直线的斜率为，所以边上的高所在的直线的斜率为，所以边上的高所在的直线方程是.【小问2详解】直线的斜率为，直线的斜率为，所以过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率范围是.16.平面直角坐标系中，圆心C在第一象限，经过直线与的交点，且______（在①②两个条件中任选一个，补充在横线上.）①圆C经过点，圆心在直线上；②圆心，半径为；（1）求圆的方程；（2）过点作圆的切线，求切线的方程.【答案】（1）条件选择见解析，（2）或【解析】【分析】（1）根据已知条件求得圆心和半径，从而求得圆的方程.（2）利用圆心到切线的距离等于半径来求得切线的斜率，进而求得切线方程.【小问1详解】由解得，所以圆过点2,0.若选①，圆C经过点，圆心在直线上，设圆心为，，则，解得，所以圆心为，半径为，所以圆的方程为.若选②，圆心，半径为，则，解得（负根舍去），所以圆心为，圆的方程为.【小问2详解】设切线的方程为，到切线的距离为，解得，所以切线方程为，或，即或.17.已知双曲线与椭圆有相同的焦点.（1）求双曲线的方程；（2）求与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程；（3）若直线与双曲线交于、两点，且、的中点坐标为，求直线的方程.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得双曲线的方程.（2）设过点的双曲线为，利用点求得，从而求得该双曲线的方程.（3）利用点差法求得直线的方程.【小问1详解】椭圆，即，所以，所以，所以双曲线的方程为.【小问2详解】双曲线，对应，所以渐近线方程为，设过点双曲线的标准方程为，所以，所以.【小问3详解】设，则，两式相减并化简得，所以直线的斜率为，所以直线的方程为.由，消去并化简得，符合.所以直线的方程为.18.已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.点为椭圆的左顶点.（1）求椭圆的方程；（2）过点且斜率为1的直线与椭圆交于另外一点，求的坐标；（3）点，点为椭圆上任意一点，求的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程.（2）先求得直线的方程，将直线的方程与椭圆方程联立，从而求得点的坐标.（3）设，利用两点间距离公式表示，根据二次函数的性质求得的最小值.【小问1详解】依题意，解得，所以椭圆方程为.【小问2详解】，直线的方程为，由解得或，则.【小问3详解】设是椭圆上任意一点，则，，，由于，所以当时，取得最小值为.【点睛】方法点睛：椭圆方程的确定：通过椭圆的离心率来推导其标准方程，是解题的重要步骤，利用椭圆的几何性质（如顶点和离心率）是求解方程的核心方法.联立方程求解交点：在求直线与椭圆的交点时，通过联立方程并求解，是解决此类问题的常用手段.距离公式与二次函数最值：通过两点间的距离公式建立关系，并利用二次函数的性质来求得最小值，是求解最小距离问题的有效方法.19.已知曲线，点.（1）当时，若直线过点且与曲线的右支交于M，N两点，记曲线的左、右顶点分别为，直线的斜率分别为，证明：为定值.（2）当时，不经过坐标原点且斜率为1的直线与曲线交于P，Q两点，直线PB与曲线的另一个交点为，直线QB与曲线的另一个交点为，其中G，H均不为曲线的顶点，证明：直线GH过定点.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据直线过定点设出直线，联立，分别求出斜率，最后得到斜率的比值即可.（2）设直线的方程为，，，表示直线的方程，联立直线与椭圆方程，消元求出，即可求出点坐标，同理得到点坐标，根据的斜率为得到，即可求出直线过定点坐标.【小问1详解】根据题意曲线的方程为.易知，.设Mx1,y1，Nx2由，消去x可得，，且又因为直线与的右支交于M，N两点，所以所以，即为定值.【小问2详解】根据题意，曲线方程，由题意可知直线的斜率