内蒙古自治区鄂尔多斯市达拉特旗第一中学2024−2025学年高二上学期期中考试数学试题含答案

内蒙古自治区鄂尔多斯市达拉特旗第一中学2024−2025学年高二上学期期中考试数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．2．复数在复平面内对应的点所在的象限为（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．某生物实验室有3种月季花种子，其中开红色花的种子有200颗，开粉色花的种子有150颗，开橙色花的种子有180颗.从这些种子中任意选取1颗，则这颗种子对应开花的颜色为橙色的概率为（

）A． B． C． D．4．已知椭圆的短轴长为4，则（

）A．2 B．4 C．8 D．165．现有一个正四棱台形水库，该水库的下底面边长为2km，上底面边长为4km，侧棱长为，则该水库的最大蓄水量为（）A． B． C． D．6．已知向量，则在方向上的投影向量的模为（

）A． B． C． D．7．某手机信号检测设备的监测范围是半径为的圆形区域，一名人员持手机以每分钟的速度从设备正东的处沿西偏北方向走向位于设备正北方向的处，则这名人员被持续监测的时长约为（

）A．2分钟 B．3分钟 C．4分钟 D．5分钟8．已知椭圆的右焦点为，过点的直线与圆相切于点且与椭圆相交于、两点，若、恰为线段的三等分点，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失，而在水平面上积聚的水层深度，一般以毫米为单位．降雨量可以直观地反映一个地区某一时间段内降水的多少，它对农业生产、水利工程、城市排水等有着重要的影响．如图，这是两地某年上半年每月降雨量的折线统计图．下列结论正确的是（）A．这年上半年A地月平均降雨量比B地月平均降雨量大B．这年上半年A地月降雨量的中位数比B地月降雨量的中位数大C．这年上半年A地月降雨量的极差比B地月降雨量的极差大D．这年上半年A地月降雨量的分位数比B地月平均降雨量的分位数大10．在空间直角坐标系中，已知，则（

）A．为质数B．为直角三角形C．与所成角的正弦值为D．几何体的体积为11．已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则下列说法正确的是（

）A．若，则直线与圆相切B．若圆上存在两点关于直线对称，则C．若，则D．若，从点向圆引切线，则切线长的最小值是三、填空题（本大题共3小题）12．直线被圆截得的线段长为.13．经过椭圆的左焦点的直线交椭圆于两点，是椭圆的右焦点，则的周长为.14．在直三棱柱中，分别是的中点，，则与所成角的余弦值为.四、解答题（本大题共5小题）15．求符合下列条件的椭圆的标准方程：(1)一个焦点为，长轴长是短轴长的2倍；(2)经过两点.16．的内角的对边分别为，已知．(1)求角；(2)若，的面积为，求．17．，，三人参加知识闯关比赛，三人闯关成功与否相互独立.已知闯关成功的概率是，，，三人闯关都成功的概率是，，，三人闯关都不成功的概率是.(1)求，两人各自闯关成功的概率；(2)求，，三人中恰有两人闯关成功的概率.18．如图，平面，平面，四边形为正方形，，位于平面的两侧．

(1)证明：平面平面．(2)若，，，求平面与平面夹角（锐角）的余弦值．19．古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，，动点满足，设动点的轨迹为曲线．(1)求曲线的轨迹方程；(2)若直线与曲线交于两点，求AB；(3)若曲线与轴的交点为，直线与曲线交于两点，直线与直线交于点，证明：点在定直线上．

参考答案1．【答案】C【详解】由，得倾斜角为．故选：C.2．【答案】D【详解】由题意得，，所以在复平面内对应的点的坐标为，故在第四象限.故选:D.3．【答案】A【详解】这颗种子对应开花的颜色为橙色的概率为.故选：A4．【答案】B【详解】由的短轴长为4，得，即，则，若，则，显然矛盾；若，则．经验证，当时，椭圆的短轴长为4，故选：B5．【答案】A【详解】根据题意画出图形，如图所示，其中且.由，可得，又且，可得是长方形，则，所以，，则，正四棱台的高，下底面的面积，上底面的面积.于是正四棱台的体积.故该水库的最大蓄水量为.故选：A.6．【答案】B【详解】由，得，，所以在方向上的投影向量的模为.故选：B7．【答案】C【详解】以设备的位置为坐标原点，其正东、正北方向分别为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，则直线，即，圆，记从处开始被监测，到处监测结束，点到直线的距离为，则，所以被监测的时长为分钟.故选：C

8．【答案】A【详解】不妨设切点在第一象限，点在第一象限，记椭圆的左焦点为，连接、，

由圆的几何性质可知，易知、分别为、的中点，则，且，所以，，由椭圆的定义可得，由勾股定理可得，即，整理可得，可得，因此，该椭圆的离心率为，故选：A.9．【答案】ACD【详解】由题意可知：A地月降雨量按升序排列可得：，B地月降雨量按升序排列可得：，对于选项A：可知A地月平均降雨量为，B地月平均降雨量为，因为，所以这年上半年A地月平均降雨量比B地月平均降雨量大，故A正确；对于选项B：A地月降雨量的中位数为，B地月降雨量的中位数为，因为，所以A地月降雨量的中位数比B地月降雨量的中位数小，故B错误；对于选项C：A地月降雨量的极差为，B地月降雨量的极差为，因为，A地月降雨量的极差比B地月降雨量的极差大，故C正确；对于选项D：因为，可知A地月降雨量的分位数为42，B地月降雨量的分位数为40，且，所以A地月降雨量的分位数比B地月平均降雨量的分位数大，故D正确；故选：ACD.10．【答案】BCD【详解】对于选项A：因为，所以不是质数，A错误；对于选项B：因为，则，所以为直角三角形，B正确；对于选项C：因为，所以与所成角的正弦值为，C正确；对于选项D：根据已知6个点的空间直角坐标可得几何体为三棱台，且与该三棱台的底面垂直，，所以几何体的体积为，D正确.故选：BCD.11．【答案】BC【详解】A.由题意得，圆的标准方程为，圆心为，半径.∴圆心到直线的距离，∴直线与圆相离，故A不正确.B.若圆上存在两点关于直线对称，则直线经过圆的圆心，∴，解得，故B正确.C.若，则圆心到直线的距离，∴，故C正确.D.若，从点向圆引切线，设一个切点为，连接，则，如图所示，，当时，取得最小值，此时取得最小值，即，故D不正确.故选：BC.12．【答案】【详解】圆的圆心，半径，圆心到直线的距离，所以直线被圆截得的线段长为.故答案为：13．【答案】【详解】由题意可知：，因为，所以的周长为.故答案为：.14．【答案】/【详解】如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，

不妨设，则，，于是，所以与所成角的余弦值为.故答案为：15．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意知，因为，即，解得，且焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为.（2）设椭圆的方程为.因为椭圆经过两点，则，解得故椭圆的标准方程为.16．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意知，即，由于，故，即，结合，则；（2），，的面积为，则，则，故，故.17．【答案】(1)，两人各自闯关成功的概率都是.(2)【详解】（1）记三人各自闯关成功分别为事件，三人闯关成功与否得相互独立，且满足，解得，，所以，两人各自闯关成功的概率都是.（2）设，，三人中恰有两人闯关成功为事件，则，所以三人中恰有两人闯关成功的概率为.18．【答案】(1)证明见解析；(2)【详解】（1）因为平面，平面，所以，所以点四点共面，因为平面，平面，所以，因为四边形为正方形，所以，又，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面；（2）因为平面，平面，所以，，因为四边形为正方形，所以，以点为原点，以为轴的正方向，建立空间直角坐标系，因为，，，则A0,0,0，，，所以，，设平面的法向量为，则，故，令，可得，，故为平面的一个法向量，因为平面，所以