上海市同济大学第二附属中学2024−2025学年高二上学期期中考试数学试卷含答案

上海市同济大学第二附属中学2024−2025学年高二上学期期中考试数学试卷一、填空题（本大题共12小题）1．在空间中，如果两条直线没有交点，那么这两条直线的位置关系是.2．半径为2的球的表面积为.3．已知长方体的棱，，则异面直线与所成角的余弦值为．4．在四面体中，若底面的一个法向量为，且，则顶点到底面的距离为．5．已知一圆锥侧面展开图是一半径为2的半圆，则该圆锥的侧面积为.6．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的面积为.

7．三棱锥中，三条侧棱，则顶点在平面内的射影是的．（填“内心”、“外心”、“重心”、“垂心”）8．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，若四边形对角线，对角线AC与BD所成的角为，则FH=．9．如图，在圆柱内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱的体积为,球O的体积为，则的值是10．已知二面角为30°，P是半平面内一点，点P到平面的距离是1，则点P在平面内的投影到的距离是．11．如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了4周，则圆锥的母线长为12．如图，正方体的棱长为4，点P在正方形的边界及其内部运动.平面区域W由所有满足的点P组成，则四面体的体积的取值范围.二、单选题（本大题共4小题）13．已知直线和平面，则“垂直于内的两条直线”是“”的（

）．A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件14．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比为1:4，母线（原圆锥母线在圆台中的部分）长为12，则原圆锥的母线长为（

）A．16 B．18 C．20 D．2215．为空间中两条直线，为空间中两个不同平面，下列命题中正确的个数为（

）①二面角的范围是；②经过3个点有且只有一个平面；③若为两条异面直线，，则．④若为两条异面直线，且，则．A．0 B．1 C．2 D．316．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图，在堑堵中，，且.下列说法错误的是（

）A．四棱锥为“阳马”B．四面体为“鳖臑”C．四棱锥体积的最大值为D．过A点作于点E，过E点作于点F，则面AEF三、解答题（本大题共5小题）17．如图，棱长为2的正方体中，分别是的中点．(1)证明：平面．(2)求异面直线与所成角的大小．（结果用反三角表示）18．如图，已知PA＝AC＝PC＝AB＝a，，，M为AC的中点．(1)求证：平面ABC；(2)求直线PB与平面ABC所成角的大小．19．现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥，下部的形状是正四棱柱(如图所示)，并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.

(1)若，，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？20．如图，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点.(1)求圆柱的表面积；(2)证明：平面平面；(3)若是的中点，点在线段上，求的最小值.21．已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形.(1)求证：；(2)求点到平面的距离；(3)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并求出取得最大值时线段的长.

参考答案1．【答案】平行或异面【详解】空间中的直线没有公共点，则两直线要么平行，要么是异面直线.故答案为：平行或异面2．【答案】【详解】，由球的表面积公式可得,,故答案为:3．【答案】55/【详解】因为，所以是异面直线与所成角或其补角，在直角中，，，故答案为：．

4．【答案】【详解】由点面距公式得.故答案为：.5．【答案】【详解】设圆锥底面圆半径为r，则该圆锥底面圆周长为，因圆锥侧面展开图是一半径为2的半圆，则半圆弧长为，依题意，，解得，显然圆锥的母线长，则圆锥侧面积，所以圆锥的侧面积为.故答案为：6．【答案】【详解】因为，，所以，由直观图可得如下平面图形，则，，

所以.故答案为：7．【答案】外心【详解】如图，设顶点在底面内的射影为，则平面，连接，，，

，，在平面内，，，，，，都是直角三角形，，，和三个三角形全等，从而有，所以为的外心.故答案为：外心.8．【答案】或【详解】如图，

由分别是的中点，得，，则四边形为菱形，又与所成的角为，于是直线与所成角为，即菱形的边长为1，相邻两个内角分别为，即或，当时，,当时，，所以或.故答案为：或9．【答案】【分析】设圆柱内切球的半径为R，可得圆柱的底面圆的半径为R，高为2R，利用柱体体积、球的体积公式即可求解.【详解】设圆柱内切球的半径为R，则由题设可得圆柱的底面圆的半径为R，高为2R，，故答案为．10．【答案】【详解】如图，设点P在平面内的投影为点，则，，作于点，连接，因为，，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，所以即为二面角的平面角，所以，在中，，所以，即点P在平面内的投影到的距离是.故答案为：.11．【答案】12【详解】设圆锥的母线长为l,则以S为圆心，SA为半径的圆的面积为，又圆锥的侧面积为，因为当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了4周，所以，解得，故答案为：1212．【答案】【详解】连接，如图所示，因为平面，平面，所以，∵，由，，则；所以在以为圆心2为半径的圆面上，由题意可知，，所以当在边上时，四面体的体积的最大值是.所以当在边的中点时，的面积取得最小值，此时，所以四面体的体积的最小值是，所以，故答案为：.13．【答案】B【详解】根据直线与平面垂直的判定定理可知：如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于这个平面.而“垂直于内的两条直线”，没有满足相交，所以不一定能推出直线与平面垂直，但是如果一条直线与平面垂直，一定能推出这条直线垂直于平面内的所有直线，即可得：“垂直于内的两条直线”是“”的必要不充分条件.故选：B.14．【答案】A【详解】由题意可得，几何体如下图所示：取轴截面可知，圆台的上、下底面半径的比为，且，设圆锥的母线长为，根据相似比可得，解得，即原圆锥的母线长为.故选：A.15．【答案】B【详解】对于①，二面角的范围是，①错；对于②，若三点共线，则经过这个点有无数个平面，②错对于③，若为两条异面直线，，则与可能平行也可能相交，故③错误；对于④，因为，过直线m作平面，使得，由线面平行的性质定理可得，则，因为，则，因为，过直线n作平面，使得，由线面平行的性质定理可得，则，因为，则，若，则，这与为两条异面直线矛盾，故相交，又因为，所以，故④对，

故选：B16．【答案】C【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，∴在堑堵中，，侧棱平面，A选项，∴，又，且，则平面，∴四棱锥为“阳马”，故A正确；B选项，由，即，又且，∴平面，∴，则为直角三角形，又由平面，得为直角三角形，由“堑堵”的定义可得为直角三角形，为直角三角形，∴四面体为“鳖膈”，故B正确；C选项，在底面有，即，当且仅当时取等号，，最大值为，故C错误；D选项，因为，，，所以平面，故D正确；故选：C17．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）如图：连接，.因为为正方体，所以.又，、分别是、的中点，所以，所以，平面，平面，所以平面.（2）如图：连接、因为，所以即为异面直线与所成的角，设为.在中，，，.所以.所以异面直线与所成的角为：.18．【答案】(1)见解析(2)【详解】（1）证明：因为为等边三角形，且为的中点，所以．又，，且，所以平面．又在平面内，所以．因为，且，，所以平面．（2）解：连结，由（1）知平面，所以是直线和平面所成的角．因为为等边三角形，所以.又为等腰直角三角形，且，所以．因为，所以，则所以直线和平面所成的角的大小等于．19．【答案】(1)(2)，【详解】（1）由知.因为，所以正四棱锥的体积正四棱柱的体积所以仓库的容积.（2）设，下部分的侧面积为，则，，，设，当，即时，，.即当为时，下部分正四棱柱侧面积最大，最大面积是.20．【答案】(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）根据圆柱表面积公式即可求解；（2）根据，，得平面，再由面面垂直的判定定理即可证明；（3）如图，确定当三点共线时取得最小值，求出，结合余弦定理计算即可求解.【详解】（1）圆柱的底面半径，圆柱的侧面积，圆柱的底面积为，所以表面积.（2）由题意知平面，又平面，所以，而平面，所以平面，又平面，故平面平面；（3）将绕着旋转到使其与平面共面，且在的反向延长线上.当三点共线时取得最小值，为，因为，，所以在三角形中，由余弦定理可得：，所以的最小值等于.21．【答案】(1)证明见解析(2)(3)点在线段上靠近点的4分点处，此时，.【分析】（1）由题可得平面，故，根据菱形的性质可得，再根据线面垂直的判定定理与性质定理即可证明；（2）由题干数据结合即可求解；（3）由线面平行的判定定理可得，可得到平面的距离即为到平面的距离，过作垂线平面交于点，要使角最大，则需使最小，此时，从而求解.【详解】（1）点在底面上的射影是