三年级数学下册寒假经典奥数-平面图形计数人教版

2022-2023三年级数学下册寒假经典奥数-平面图形计数一、填空题1．填一填。有()个长方形

有()个正方形2．图中共有()个三角形。3．在下面的图中，包含苹果的正方形一共有()个。4．图中内部有阴影的正方形共有()个。5．图中有()个正方形，有()个三角形。6．在图中，包含的三角形一共有()个。7．如图，其中同时包括两个☆的长方形有()个。8．如下图在钉子板上有16个点，每相邻的两个点之间距离都相等，用绳子在上面围正方形，你可以得到()个正方形。9．根火柴可以摆成一个小三角形。图中用很多根火柴摆成了一个中空的大三角形。已知大三角形外沿上每条边都是根火柴。摆成这个图共需要()根火柴。10．在图中，一共有()个三角形，()条线段。二、解答题11．下图中包含香蕉的正方形有几个？12．下图的两个图形（实线）是分别用10根和16根单位长的小棍围成的。如果按此规律（每一层比上面一层多摆出两个小正方形）围成的图形共用了60多根小棍，那么围成的图形有几层，共用了多少根小棍？13．用三根火柴可拼成一个小“△”，若用108根火柴拼成如图所示形状的大三角形，请你数一数共有多少个三角形？14．如图，连接一个正六边形的各顶点。问图中共有多少个等腰三角形（包括等边三角形）？15．在3×3的方格纸上（如图1），用铅笔涂其中的5个方格，要求每横行和每竖行列被涂方格的个数都是奇数，如果两种涂法经过旋转后相同，则认为它们是相同类型的涂法，否则是不同类型的涂法。例如图2和图3是相同类型的涂法。回答最多有多少种不同类型的涂法？说明理由。16．如图，AB，CD，EF，MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少?17．如图，数一数，图中有多少个三角形？18．如图，这是一个长为9，宽为4的网格，每一个小格都是一个正方形．请问：（1）从中可以数出多少个长方形？（2）从中可以数出包含黑点的长方形有多少个？19．如图，数一数，图中共有多少个平行四边形？20．下图中有多少个长方形？

参考答案：1．

3

5【分析】基本的长方形有2个，2个基本的长方形又组成1个大的长方形，一共有3个长方形；基本的正方形有4个，4个基本的正方形又组成1个大的正方形，一共有5个正方形。【详解】由题意得：【点睛】此题主要考查的是长方形及正方形的初步认识和计数，计数时，要做到不要重复、不要遗漏。2．20【分析】图中的三角形都是等边三角形，可以假设最小的等边三角形的边长是1，然后分类枚举出每一类的数量，最后相加得到总数。【详解】分类枚举：边长是个单位长度的有个三角形；边长是个单位长度的有个三角形；边长是个单位长度的有个三角形；共有（个）【点睛】本题考查的是几何计数问题，求解几何计数问题最常用的方法是分类枚举。3．13【分析】把最小的正方形边长看成是1，那么包含苹果的正方形的边长可能是1、2、3、4，分类枚举，最后相加得到总数。【详解】设最小的正方形边长看成是1；包含苹果的边长是1的正方形有1个；包含苹果的边长是2的正方形有4个；包含苹果的边长是3的正方形有6个；包含苹果的边长是4的正方形有2个；（个）所有包含苹果的正方形一共有13个。【点睛】分类枚举是求解几何计数问题最常用的方法，枚举的时候要按照一定的顺序，避免遗漏和重复。4．26【分析】根据图形的对称性，可以先考虑左边，把最小的正方形的边长看成是1，含阴影的正方形的边长可能是1、2、3、4，分类枚举，最后相加得到总数。【详解】设最小的正方形的边长看成是1；先考虑左边：含阴影边长是1的正方形，4个；含阴影边长是2的正方形，4个；含阴影边长是3的正方形，4个；含阴影边长是4的正方形，1个；（个）（个）所以内部有阴影的正方形共有26个。【点睛】本题考查的是几何计数问题，在枚举的时候可以利用图形的对称性简化步骤。5．

95

155【分析】数正方形，可以按照正方形的大小进行分类枚举，最后相加得到总数；数三角形，可以把最小的直角三角形看成是计数基本单位，然后数其它的三角形，最后相加得到总数。【详解】第一问，数正方形：可以计算不同面积的正方形各有多少个，以面积大小数正方形，记最小的正方形面积为1；则面积为1的正方形的个数为36；面积为2的正方形的个数为4；面积为4的正方形的个数为25；面积为9的正方形的个数为16；面积为16的正方形的个数为9；面积为25的正方形的个数为4；面积为36的正方形的个数为1；所以，共有正方形（个）第二问，数三角形：以图中的最小的直角三角形为计数基本单位数三角形：只有1个基本图形单位的三角形共72个；由2个基本图形单位组成的三角形共37个；由4个基本图形单位组成的三角形共30个；由8个基本图形单位组成的三角形共4个；由9个基本图形单位组成的三角形共10个；由16个基本图形单位组成的三角形共2个；所以图中共有三角形72＋37＋30＋4＋10＋2＝155（个）【点睛】本题考查的是几何计数的问题，分类枚举是求解几何计数问题最常用的方法，枚举的时候要做到不重不漏。6．9【分析】设最小的正三角形的边长是1，包含A的正三角形的边长可能是1、2、3、4，分类枚举，最后相加得到总数。【详解】设最小的正三角形的边长是1；包含五角星的边长是1的三角形，1个；包含五角星的边长是2的三角形，4个；包含五角星的边长是3的三角形，3个；包含五角星的边长是4的三角形，1个；包含五角星的三角形一共有（个）【点睛】分类枚举计数是求解几何计数问题最常用的方法，注意在这里三角形有正放和倒放两种情况。7．24【分析】分别数出上边☆的左上角的格点个数，以及下边的☆右下角的格点个数，从左上角选一个点，右下角选一个点，构成的长方形一定同时包括两个☆。【详解】（个）同时包括两个☆的长方形有24个。【点睛】本题考查的是几何计数问题，这种方法我们称为“鼠标法”，是对应法计数中的一种。8．20【分析】可以先按照正放和斜放分成两大类，然后在每一类里面再按照大小进一步细分，求出每一类的数量，相加得到总数。【详解】先看横着的正方形如下图（1），可以得到个正方形；再看斜着的正方形如下图（2）可以得到4个正方形，如下图（3）可以得到2个正方形；这样一共可以得到个正方形。

（1）

（2）

（3）【点睛】本题考查的是几何计数问题，在分类枚举的时候，可以按照一定的顺序进行，避免重复和遗漏。9．222【分析】可以分成三个方向来分析，水平方向，“/”方向和“\”方向，而这三个方向的火柴棒的数量是一样的。【详解】水平方向：（根）摆成这个图共需要：（根）【点睛】本题考查的是几何计数问题，在枚举的时候可以考虑图形的特殊性，枚举的时候按照方向、大小等进行分类。10．

10

40【分析】可以把图形分成两部分，中间的五角星和外面的部分，三角形只存在于中间的五角星部分；数线段也可以先数五角星中的线段条数，再数外面的线段条数，相加得到总数。【详解】（1）五角星的每个角上分别有1个小三角形，总共有5个；另外还有5个较大的三角形，所以共有（个）三角形。（2）中间五角星中有5条长线段，每条长线段上共可以数出：（条）线段，那么五角星中共有（条）线段，再加上外面图形的线段，（条）线段。【点睛】本题考查的是几何计数问题，再枚举的时候可以利用图形本身的特性。11．4个【解析】略12．【分析】对于由n层组成的图形，其竖直方向的小棍数量是2n，水平方向的小棍数量是，总共是，根据围成的图形共用了60多根小棍这一个条件，找到n的取值。【详解】围成的图形有n层的话，其所需要的小棍的数量是；当n取11的时候，总数恰好在60~70之间，符合题目要求；答：围成的图形有11层，共用了64根小棍。【点睛】本题考查的是图形找规律的问题，总结出所需小棍的通项公式后，求解起来会简单很多。13．个【分析】题目只是给出了一共用了108根火柴，并未画出全部的图形，所以首先要确定图形有多少层，然后按照三角形的大小进行分类枚举。【详解】从上往下，第一层用根火柴；第二层用根火柴；第三层用根火柴；第四层用根火柴；第五层用根火柴；……；第层用根火柴。根据题意，有：，故，所以，，即形状如图的大三角形共有8层，是边长为8根火柴的大正三角形。然后，数出共有多少个三角形。尖朝上的三角形共：（个）；尖朝下的三角形共：（个）；所以，共有三角形：（个）。答：共有170个三角形。【点睛】尖朝上的三角形：每一种尖朝上的三角形个数都是由1开始的连续自然数的和，其中连续自然数最多的和中最大的加数就是三角形每边被分成的基本线段的条数，依次各个连续自然数的和都比上一次少一个最大的加数，直到1为止。尖朝下的三角形的个数也是从1开始的连续自然数的和，它的第一个和恰是尖朝上的第二个和，依次各个和都比上一个和少最大的两个加数，以此类推直到零为止。14．个【分析】正六边形，连接其对角线后，得到的等腰三角形是比较多的，可以按照其大小进行分类，分类枚举，最后相加得到总数。【详解】本题需要分类进行讨论。（1）先考虑其中的等边三角形。图①中，六边形的每1个顶点是某个小号等边三角形的顶点，而且，每个小号等边三角形，有且仅有一个顶点是六边形的一个顶点，既然六边形有6个顶点，所以图中有6个小号三角形；图②中，六边形的每一条边是某个中号等边三角形的一条边，而且，每个中号等边三角形有且仅有一条边是六边形的一条边，既然六边形有6条边，所以图中有6个中号等边三角形；图③中，大号等边三角形有2个；（2）再考虑其中非等边的等腰三角形。图中非等边的等腰三角形，按照面积大小分类有3种类型，见图④。其中小号的等腰三角形有6个，因为这类三角形均以六边形的一条边为其边长，并且，六边形的每一条边只唯一对应一个小号等腰三角形，而正六边形有6条边，所以有6个小号等腰三角形；中号的等腰三角形有12个，因为每个中号等腰三角形的长边都是六边形的一条非直径的弦，并且，以非直径的弦为长边的三角形有2个，如图⑤，这样的弦共有6条，所以有12个中号等腰三角形；大号的等腰三角形有6个，因为每个大号等腰三角形的长边都是六边形的一条直径，每条直径上都对应有2个大号三角形，如图⑥，共有3条直径，所以有6个大号等腰三角形。那么图中共有个等腰三角形。答：图中共有38个等腰三角形。【点睛】可以发现，除了特殊情况，一般每种等腰三角形的个数都是6的倍数个，这是由图形本身的特性决定的。15．种【分析】每横行和每竖行列被涂方格的个数都是奇数，那么只能是1格或3格，总共涂5格，可以按照1、1、3进行分配。【详解】如图所示：不同类型的涂法有3种；由于经过旋转或翻转后重合的两种涂法算作一种，所以符合要求的涂法是比较少的。【点睛】本题考查的是几何计数的问题，分类枚举是最基础的方法，也是适应性最广泛的方法。16．20【详解】图中共有三角形(1+2+3+4)×4＝40个，梯形(1+2+3+4)×(1+2+3)＝60个，梯形比三角形多60－40＝20个．17．48个【详解】观察图形：①三角形顶点向上的三角形个数：以一条线段为边的三角形有：1+2+3+4+5=15个；以两条线段为边的有：1+2+3+4=10个；以3条线段为边的三角形有：1+2+3=6个；以4条线段为边的三角形有：1+2=3个；以5条线段为边的三角形有1个；②三角形顶点向下的有：以1条线段为边的三角形有：1+2+3+4=10个；以两条线段为边的三角形有：1+2=3个．由此利用加法原理即可求得图中的三角形个数．[（1+2+3+4+5）+（1+2+3+4）+（1+2+3）+（1+2）+1]+[1+2+3+4）+（1+2）]=[15+10+6+3+1]+[10+3]=35+13=48（个）答：图中有48个三角形．18．（1）450个；（2）96个【分析】（1）分类进行统计，横数有（1+9）×9÷2=45个，竖数有（1+4）×4÷2=10个，因此可以数出45×10=450个．（2）在小黑点所在的竖行中，按照由1个、2个、3个、4个小长方形所组成的长方形的顺序去计算；在小黑点所在的横行中，按照由1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个、9个小长方形所组成的长方形的顺序去计算．分别计算出包含小黑点的长方形的个数，相乘即可．【详解】（1）（1+9）×9÷2=45（个）（1+4）×4÷2=10（个）45×10=450（个）答：一共可以数出450个．（2）在小黑点所在的竖行中，按照由1个、2个、3个、4个小长方形所组成的长方形的顺序去计算，包含小黑点的长方形共有：1+2+2+1=6（个）在小黑点所在的横行中，按照由1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个、9个小长方形所组成的长方形的顺序去计算，包含小黑点的长方形共有：1+2+2+2+2+2+2+2+1=16（个）所以包含小黑点的长方形共有：6×16=96（个）答：从中可以数出包含黑点的长方形有96个．19．45个【详解】试题分析：对于平行四边形，先计算同一层的个数