2018年北京市高三模拟考试数学理科试题分类汇编(含答案)

2018年度北京高三模拟考试数学理科分类试题一一集合与简易逻辑

集合部分：

(2018年朝阳期末)

1.已知集合4={x|x(九-2)<0},B={x|lnx>0},则AI8是(A)

A.{x|l<x<2}B.{A-|0<x<2}

C.{x|x>0}D.{x|x>2}

(2018年东城期末)

(1)若集合A={-2,-I,O,l,2,3},8={x|xv—l或x>2},则AB=(A)

(A){-2,3}(B){-2,-1,2,3}

(C)(0,1)(D){-1,0,1,2)

(2018年西城期末)

1.若集合A={x|O<x<3},B={x\-\<x<1},则AB=(A)

(A){x|-l<x<3}(B){x|-l<x<0}

(C){x|0<x<2}(D){x|2<x<3}

(2018年丰台期末)

1.已知集合A={-1,0,1},5={x|x2<1},则4U8=(C)

A.{-1,1}B.{-1,0,1}C.{x|-l<X<l}D.{x|x«l}

(2018年石景山期末)

1.已知集合4={-2,—1,0,1,2},8={H(x—l)(x+2)<0},则AI3=(A)

A.{-1,0}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{0,1,2}

(2018年昌平期末)

1.若集合A={x|-2vx<l},B={x|x(x-3)>0),则AB=(D)

A.{x|x<lg5U>3}B.[x\—2<x<\}

C.{x|-2<x<0gJlr>3}D.{x|-2<x<0}

(2018年通州期末)

1.已知集合4={*"|*2_2%<0},集合6={-1,0,1},那么4B等于(D)

A.{-1}B.{0,1}C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2}

(2018年房山期末)

(1)若集合/={—1,0,1,2},N=M-l4x<2},则集合MN等于(A)

(A){-1,0,1}(B){-1,0,2}(C){-1,1,2}(D){-1,0,1,2)

(2018年朝阳一模)

1.已知全集为实数集R,集合4={#2一3了<0},8={巾”>1},则@A)8=(C)

A.(-oo,0][3,+oo)B.(0,1]C.[3,+oo)D.[L+oo)

(2018年东城一模)

(1)若集合A={x|-3vxv1},3={x|xv—1或x>2},则AB=(B)

(A){x|-3<x<2}(B){x|-3<x<-l}

(C){x|-1<x<1}(D){x|l<x<2}

(2018年海淀一模)

(1)已知集合4={0,“},8={犬|且A=贝ija可以是(c)

(A)-1(B)0(C)1(D)2

(2018年西城一模)

1.若集合A={xeR|3x+2>0},B={xeR|x2-2x-3>0},则AB=(D)

2

(A){xeR|x<-l}(B){xeR|-1<x<--}

2

(C){xeR|--<x<3}(D){xeR|x>3}

(2018年丰台一模)

(1)设全集U={x|x<5},集合A={x|x—2W0},则Q,A=(C)

(A){x\x<2}(B){x\x>2}(C){x[2<x<5}(D){x|2Wx<5}

(2018年石景山一模)

1.设集合4={e。+1)*-2)<0},集合8={x|l<x<3},则AB=(A)

A.{x|-l<x<3}B.{x|-1<x<1}C,{x|l<x<2}D,{x|2<x<3}

(2018年昌平一模)

I.若集合A={》|-2<%<1},8={x|x(x-3)>0},则A(D)

A.{x|x<l§JU>3}B.{x|-2<x<l}

C.{X|-2<X<OB£X>3}D.{X|-2<X<0}

(2018年房山一模)

(1)若集合〃={-1,0,1,2},N={y|y=2x+l,xeM},则集合MN等于(A)

(A){-1,1}(B){1,2}(C){-1,1,3,5}(D){-1,0,1,2}

(2018年朝阳二模)

1.己知集合A={x|log2%>l},8={x|xel},则AB=(D)

A.(1,2]B.(1,+oo)C.(1,2)D.[1,+oo)

(2018年东城二模)

(1)若集合A={x[—1<x<2},B={x|x<-2或x>1},则AB=(B)

(A){x[x<-2或x>l}(B){x[x<-2或x>-l}

(C){x\-2<x<2}(D){x|l<x<2}

(2018年海淀二模)

(1)已知全集。={1,2,3,4,5,6},集合4={1,2,4},8={1,3,5},则@/)18=(B)

(A){1}(B){3,5}(C){1,6}(D){1,3,5,6)

(2018年西城二模)

1.若集合A={x[0<x<1},B={x|x2-2x<0},则下列结论中正确的是(C)

(A)AB=0(B)AB=R

(C)A^B(D)BcA

(2018年丰台二模)

(1)已知A={x|x>l},B={x\x2-2x-3<0},则AB=(D)

(A){x|xv-l或xNl}(B){x|l<x<3}

(C){x|x>3}(D){x\x>-l}

(2018年昌平二模)

1.已知全集。=&集合A={Mxv-1或x>l},则%A=(D)

A.(-oo,-l)U(l,+oo)B.(-oo,-l]U[l,+oo)C.(-1,1)D.[-1,1]

(2018年房山二模)

(1)设集合4={尤|%42},3={%[0<尢<3},则4B=(B)

(A){xjx<2)(B){x|x<3}

(C){x|2<x<3}(D){x\2<x<3}

(2018年顺义二模)

1.设集合4={村/+3%+2=0},5={-2,-1,0,1,2},则43=(A)

A.{-2,-1}B.{-2,1}C.{1,2}D.{-2,-1,0,1,2}

简易逻辑

（2018年朝阳期末）

4."sina=—"是"cos2a=0"的(A)

2

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

（2018年东城期末）

（6）设0,）为非零向量，则“|。+4=,-耳”是“。加0”的（c）

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件

（2018年西城期末）

6.设°力是非零向量，且不共线.则“|a|=|"”是“|4+2回=|幼+切”的（C）

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件

（2018年海淀期末）

22

（4）设机是不为零的实数，贝广加＞0”是“方程-一匕=1表示双曲线”的（A）

mm

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件

（2018年丰台期末）

2.“x＞l”是“2、＞1”的（A）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

（2018年石景山期末）

22

5.“加>10"是"方程-------匚=1表示双曲线"的（A）

/M-10"2-8

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

（2018年昌平期末）

7.设0<x<Z,则“cosxvP'是"cosxvx”的（A）

2

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C,充分必要条件D.既不充分也不必要条件

（2018年通州期末）

4.已知aeR,那么“直线丁=以-1与丁=-16+2垂直”是”的（B）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

（2018年房山期末）

（5）“a,beR+”是“31^»疝”成立的（A）

（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件

（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件

（2018年朝阳一模）

4.已知。力为非零向量，则“。万>0”是“。与b夹角为锐角”的（B）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

（2018年东城一模）

（7）设｛为｝是公差为d的等差数列，S“为其前〃项和，则“d>0”是“｛S,｝为递增数列”的（D）

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件

（2018年海淀一模）

（5）已知a,。为正实数，则“。>1,〃>1"是“lga+lg/?>0"的（A）

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件

（2018年西城一模）

6.设函数/（幻=/+法+，.则”/（x）有两个不同的零点”是“mx°eR,使/5）<0”的

（C）

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件

（2018年丰台一模）

（2）已知命题p：玉<1,X2<1,则一「为（C）

（A）Vx>1,x2>1（B）*<1,9>1（C）Vx<1,x2>1（D）>1,x2>I

（2018年石景山一模）

7.设a,AeR,则“a>6”是“44>6网”的（C）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

（2018年昌平一模）

7.设0<xC则“cosxcf”是“cosxvx”的（A）

2

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

（2018年房山一模）

（7）“加3>而”是“关于x的方程sinx=/7；无解”的（A）

（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件

（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件

（2018年朝阳二模）

6.已知函数f（x）=2：'X*"'则“々WO”是“函数/（x）在［0,+8）上单调递增”的（A）

x,x<a

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

（2018年东城二模）

（5）设a,b是非零向量，则”|a+b|=|a|一闻”是ua//bn的（A）

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件

（2018年海淀二模）

2

（5）设曲线C是双曲线，则“。的方程为％2一2_=1”是“C的渐近线方程为、=土2%”的（A）

4

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件

（2018年西城二模）

7.函数/（x）=Ji^+a.则“。学0”是使的（A）

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件

（2018年丰台二模）

（2）设a,b为非零向量，则“a与〃方向相同”是”的（A）

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件

（2018年昌平二模）

6.设%丁€1<,贝1-'炉+》242”是“国41且,区1”的（B）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

（2018年房山二模）

TT

⑺AA3C的三个内角分别为A,B,C,则“3=一”是“A,8,C成等差数列”的(C)

3

(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件

(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件

(2018年顺义二模)

5.已知直线。,仇机，其中在平面a内,则''机_1。,加_1"。”是、'帆”的(B)

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2018年北京市各区高三理科数学试题分类汇编一一函数与导数

选择填空部分：

(2018年朝阳期末)

7.已知函数/(%)=不,一4的图象与直线y=—1的公共点不少于两个，则实数a的取值范围是

(B)

A.a<-2B.aW-2C.-2Wa<0D.a>-2

(2018年东城期末)

4X+1

(5)已知函数贝的(B)

(A)图象关于原点对称，且在［0,+8)上是增函数

(B)图象关于y轴对称，且在［0,+8)上是增函数

(C)图象关于原点对称，在［0,+8)上是减函数

(D)图象关于y轴对称，且在［0,+8)上是减函数

(14)如图1,分别以等边三角形ABC的每个顶点为圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧,

三段弧围成的曲边三角形A3C称为勒洛三角形A8C,等边三角形的中心P称为勒洛三角形的中心.如

图2,勒洛三角形ABC夹在直线y=0和直线y=2之间，且沿x轴滚动.设其中心P(x,y)的轨迹方程

2兀

为y=/(x),则/(X)的最小正周期为一y—；y=/(x)的图象与性质有以下描述：

①中心对称图形；②轴对称图形；③一条直线；④最大值与最小值的和为2.

其中正确结论的序号为—②④.(注：请写出所有正确结论的序号)

图1图2

(2018年西城期末)

2.下列函数中，在区间(0,长。)上单调递增的是(D)

(A)y=-x+1(B)y=\x-\\(C)y=sinx(D)y=f

7.已知A,3是函数y=2'的图象上的相异两点.若点A,5到直线y=g的距离相等,

则点A,8的横坐标之和的取值范围是(B)

(A)(—oo,—1)(B)(—co,—2)(C)(—1,+oo)(D)(—2,+00)

f+1,-2WxWc,

14.已知函数/(x)=<1若c=0,则/(%)的值域是_[——,4-oo)—:若/(%)的值域是

c<xW3.4

[-；,2],则实数c的取值范围是_布]一

(2018年丰台期末)

fxsinx,0<x<^,

14.己知函数/(%)=｛厂^(x)=f^x)—kx^kGR).

①当左=1时，函数g(x)有1个零点;

②若函数g(x)有三个零点，则攵的取值范围是.

(2018年石景山期末)

6.给定函数①y=x"②y=log1(x+l),@y=|x-l|,④丁=2向，其中在区间(0,1)上单调递减的

2

函数序号是(C)

A.①④B.①②C.②③D.③④

8.小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头方向经过点B跑到点C,共用时30s,

他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为r(s),他与教练间的距离

为y(〃?)，表示y与f的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的(D)

A.点、MB.点NC.点PD.点。

Q

A.是偶函数，且在(-8,0)上是增函数B.是奇函数，且在(-8,0)上是增函数

C.是偶函数，且在(50,0)上是减函数D.是奇函数，且在(-8,0)上是减函数

-x+4,x<3,

14.若函数y(x)=<(。>0且。。1),函数g(x)=/(x)-k.

logf/x,x>3

①若。=§,函数g(x)无零点，则实数%的取值范围是「1,1)

②若/(X)有最小值，则实数a的取值范围是—(1,3].

(2018年房山期末)

(6)下列函数是奇函数且在区间(1,+8)上单调递增的是(C)

(A)f(x)=-X3(B)f(x)=y/x

X

(C)f(x)=x-\—

X

(8)函数y=/(x)的图象如图所示，在区间[。力]上可找到〃(〃N2)个不同的数%,工2，，土,使得

丛2=盘2==/组，则〃的取值的集合为(C)

%%X.

(A){2,3}(B){3,4}

(C){2,3,4}(D){3,4,5}

(2018年通州期末)

、(2*+。，x<2,

14.已知函数〃x)=无零点，那么实数。的取

a-x,x与2

值范围是_(YO,T][0,2)

(2018年朝阳一模)

(X+1)2+4,x<0,

.TIX

14.已知awR,函数/(幻=.sin—当x>0时，函数/(x)的最大值是_万—；若函

2x>0.

21+2-AI

数/(x)的图象上有且只有两对点关于y轴对称，则。的取值范围是—(-1,；)—.

(2018年东城一模)

(14)单位圆的内接正〃(”》3)边形的面积记为f(〃)，则/(3)=—空____；下面是关于/(")的

4

描述：

①/(n)=-sin—5②/(〃)的最大值为n；③/(“)</(〃+1)；④/(n)<f(2n)<2/(〃).

2n

其中正确结论的序号为____①③④_____.(注：请写出所有正确结论的序号)

(2018年海淀一模)

(7)下列函数/(x)中，其图象上任意一点P(x,y)的坐标都满足条件的函数是(D)

(A)/(x)=x3(B)〃幻=4(C)/(x)=ev-l(D)/(x)=ln(x+l)

x,x..a,

(14)己知y(x)=<

x3-3x,x<a.

①若〃无)有两个零点，则。的取值范围是(一区61.

②当4,-2时，则满足〃x)+/(x-l)>—3的x的取值范围是x>-l.

(2018年西城一模)

212_4E+]X>0

7.函数/(x)=匕3：''x<Q则y=f(x)的图象上关于原点O对称的点共有(C)

(A)。对(B)1对

(C)2对(D)3对

(2018年丰台一模)

(13)函数y=/(x)是定义域为R的偶函数，当xNO时，函数

A.y-4xB.y=-x3

C.y=log|XD.y=x+—i=1,S=1

2X

-

12.已知函数/(x)=/,若关于x的方程/(x)=Z有两个不同零点，则上的取值范围是

x3,x<1

(0,1)

(2018年房山一模)

(5)下列函数中，与函数>=/的单调性和奇偶性相同的函数是(D)

(A)y-4x(B)y=lnx

(C)y=tanx(D)y-ex-ex

(2018年延庆一模)

3.已知函数/(x)是定义域为R的奇函数，且/(1)=一2,那么/(一1)+/(0)=

(A)-2(B)0(C)1(D)2

13.已知“X)和g(勾在定义域内均为增函数，但/(x>g(x)不一定是增函数，例如当/(幻=三

且g(x)=X时，/(x).g(x)不是增函数.

(2018年朝阳二模)

6.已知函数“x)=j2‘‘X'"’则“aWO"是''函数f(x)在[0,+8)上单调递增”的(A)

X',x<a

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

(2018年东城二模)

(7)已知函数/(x)=log2X,g(x)-2x+a,若存在X],%22],使得/区)=g(*2)，则。的取

值

范围是(A)

(A)[-5,0](B)(-?,5]?[0,?)(C)(-5,0)(D)(-?,5)?(0,?)

(14)某种物质在时刻t(min)的浓度M(mg/L)与t的函数关系为例(f)=ar'+24(a,广为常数).在t=0

min和t=1min测得该物质的浓度分别为124mg/和64mg/L,那么在t=4min时,该物质的浓

度为—26.56—mg/L；若该物质的浓度小于24.001mg/L,则最小的整数t的值为13.

(参考数据：1g2^0.3010)

(2018年海淀二模)

(6)关于函数/(x)=sinx—xcosx,下列说法错误的是(C)

(A)/(%)是奇函数(B)0不是的极值点

(C)/(x)在(―上有且仅有3个零点(D)/(x)的值域是R

(2018年西城二模)

8.在直角坐标系xOy中，对于点(x,y),定义变换将点(x,y)

变换为点(。,力，使得"tan：其中〃力£(」,火).这样变

换b就将坐标系内的曲线变换为坐标系次加内的曲线.

2x

则四个函数y=2x(x>0),y2=x(x>0),y3=e(x>0),

y4=Inx(x>1)在坐标系内的图象，变换为坐标系aOb内

的四条曲线(如图)依次是(A)

(A)②，③，①，④(B)③，②，④，①

(C)②，③，④，①(D)③，②，①，④

(2018年丰台二模)

(6)设下列函数的定义域为(0,+oo),则值域为(0,+8)的函数是([))

(A)y=ex-x(B)>,=e'+Inx

(C)y=x-4x(D)y=ln(x+l)

(12)甲乙两地相距500km,汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度u不能超过120km/h.已知汽车等小时

运输成本为—V2+360元，则全程运输成本与速度的函数关系是丁=

250-

y=18u+幽见(0<uW120)_,当汽车的行驶速度为」(X)_km/h时，全程运输成本最小.

V

(2018年昌平二模)

4.设4=，^=log23.C=2«3,则(c)

A.b>c>aB.a>b>cC.b>a>cD.a>c>b

-x1+lax,x<1,

14.已知函数/(x)=J41nx

X>1.

、x

①当X<1时，若函数〃x)有且只有一个极值点，则实数〃的取值范围是—«<1

②若函数/(x)的最大值为1,则。=—-1

(2018年房山二模)

(5)已知函数的图像关于原点对称，且周期为4,若/(一1)=2,则/(2017)=(C)

(A)2(B)0(C)-2(D)-4

(8)定义：若存在常数上,使得对定义域。内的任意两个%,々(%。吃)，均有

|/(与)-/(9)归左区一百成立，则称函数“X)在定义域。上满足利普希茨条件.若函数

〃x)=6(x21)满足利普希茨条件，则常数攵的最小值为(D)

(A)4(B)3(C)1(D)-

2

(14)已知函数/(x)=x|2x—«|-1.

①当a=O时，不等式/(x)+l>0的解集为一(0,+8)；

②若函数/(x)有三个不同的零点，则实数a的取值范围是—a>20

(2018年顺义二模)

8

a-log3—,b=log39.l,c=2°

6.若2,则a，"。的大小关系为(B)

A.a<b<cb<a<cQta<c<bc<a<b

解答题部分:

(2018年朝阳期末)

18.(本小题满分13分)

已知函数/(x)=xcosx+a,aGR.

冗

(I)求曲线y=/(x)在点x=］处的切线的斜率；

(II)判断方程/'(x)=O(/'(x)为/(x)的导数)在区间(0,1)内的根的个数，说明理由；

(III)若函数尸(x)=xsinx+cosx+办在区间(0,1)内有且只有一个极值点，求a的取值范围.

兀

解：(I)f'(x)=cosx-xsinx.k.....3分

2

(II)设g(x)=/'(x),g'(x)=-sinx-(sinx+xcosx)=-2sinx-xcosx.

当xe(0,1)时，g'(x)<0,则函数g(x)为减函数.

又因为g(0)=l〉0,g(l)=cosl-sinl<0,

所以有且只有一个x(,e(0,1),使g(x())=0成立.

所以函数g(x)在区间(0,1)内有且只有一个零点.即方程/'(x)=0在区间(0,1)内有且只有一个实

数根........7分

(III)若函数尸(x)=xsinx+cosx+or在区间(0,1)内有且只有一个极值点，由于尸(x)=/(x),即

/(%)=xcosx+o在区间(0,1)内有且只有一个零点的，且/(%)在占两侧异号.

因为当xe(0,l)时，函数g(x)为减函数，所以在(0,%)上，g(x)>g(x0)=0,即/'(x)>0成

立，函数/(x)为增函数；

在(％,1)上，g(x)<g(x0)=0,即/'。)<0成立，函数/(幻为减函数，

则函数/(幻在x=%处取得极大值了(%).

当/(%)=0时，虽然函数/(x)在区间(0,1)内有且只有一个零点小,但/(x)在与两侧同号，

不满足2x)在区间(0,1)内有且只有一个极值点的要求.

由于/⑴=a+cos1,/(0)=a,显然/(1)>/(0).

若函数f(x)在区间(0』)内有且只有一个零点玉，且/(x)在为两侧异号，

则只需满足：

f/(0)<0，H」a<0，

〈即V

/(I)>0,[cosl+«>0,

解得-cos1<6Z<0.......13分

(2018年东城期末)

(18)(本小题13分)

已知函数/(x)=xMx

(I)求曲线y=/(x)在点(1,/(I))处的切线方程；

八1

(II)若/(x)va对xl(—")恒成立，求。的最小值.

e

解：(I)/(X)的定义域为(0,+8).

1.12

由已知得了'(为=5/一1nx-3,且/(1)=§.

所以广⑴=o.

2

所以曲线y=/(幻在点(L/(I))处的切线方程为)，=§.

(II)设g(x)=f\x),(—<x<e)

e

riIt/、1X"-1

则g(%)=x——=-----.

XX

令g'(x)=0得X=I.

当工变化时，g'(x)符号变化如下表：

X(-,1)1(Le)

e

g'(x)—0+

极小

g(x)JF

则g(x)>g⑴=0,即1(x)N0,当且仅*=1时，/(x)=0.

所以/(x)在(Le)上单调递增.

e

又/(e)=一9,

所以〃的最小值为为一一e.

62

(2018年海淀期末)

(19)(本小题14分)

已知函数/(x)=2ev-ax1-2x-2

(I)求曲线y=/(x)在点(O,7(O))处的切线方程；

(II)当aW()时，求证：函数/(x)有且只有一个零点；

(III)当a>0时，写出函数/(x)的零点的个数.(只需写出结论)

(I)因为函数/(x)=2e'-a?-2x-2

所以/'(x)=2e‘—2℃-2.......2分

故/(0)=0,尸(0)=0.......4分

曲线y=/(x)在x=O处的切线方程为y=0.......5分

(II)当时，令g(x)=/'(x)=2e*-2ax-2,则g'(x)=2e'—2a

.......6分

分

故g(X)是R上的增函数.7

分

由g(0)=0,8

故当x<0时，g(x)<0,当x>0时，g(x)>0.

即当x<0时，/,(x)<0,当x>0时，/'(x)>0.

D分

故/(x)在(-8,0)单调递减，在(0,+oo)单调递增.-

函数/(%)的最小值为/(0)

11C1分

由/(0)=0，-

故/(x)有且仅有一个零点.

12分

(III)当0<a<l时，/(x)有两个零点.二

13分

当。=1时，/(X)有一个零点；一

14分

当4>1时，/(x)有两个零点.

(2018年西城期末)

18.(本小题满分13分)

已知函数=-sinx-l,其中。>0.

(I)当。=1时，求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程;

(H)证明：/(x)在区间。汨上恰有2个零点.

解：(I)当。=1时，，/(x)=eY-sinx-1,

所以f\x)=e'(sinx+cosx).[2分]

因为r（o）=i,/（o）=-i,[4分]

所以曲线》=/（X）在点（0,/（0））处的切线方程为y=x-l.[5分]

(II)f'(x)=e"'(asinx+cosx).[6分]

由f\x)=0,得asinx+cosx=0.[7分]

jr

因为«>0,所以八/)w0.[8分]

兀7t1

当XG(0,—)(一,兀)时，由tzsinx+cosx=0,得tanx=—.

22a

7T1

所以存在唯一的不£(一,兀)，使得tanx=--.[9分]

20a

f（x）与/'（%）在区间（0,九）上的情况如下：

X(O,xo)%（飞,兀）

r（x）+0—

/极大值

所以/（外在区间（0,玉））上单调递增，在区间（玉）,兀）上单调递减.[11分]

an

因为/（X。）>f（~）=屋一1>e。-1=0,[12分]

且/（0）=/（7t）=-l<0,

所以/（%）在区间［0,兀］上恰有2个零点.[13分]

（2018年丰台期末）

18.己知函数/（力=/—依―q2］nx（aeR）.

（I）求函数〃x）的单调区间；

（II）若/（x）20恒成立，求实数。的取值范围.

解：（I）函数/（x）的定义域为（0,+s）,

2。x2-ax-a2(x-a)(2x+a)

xx

由广（x）=0,可得x=a或尤=一擀，

当a=0时,/（力>0在（0,+8）上恒成立,

所以/（X）的单调递增区间是（0,+8）,没有单调递减区间;

当a>0时，x,，'(x),/(x)的变化情况如下表:

X(0.«)a

0-

、

所以f(x)的单调递减区间是(0,a),单调递增区间是(a,+8).

当a<0时，x,/'(x),/(x)的变化情况如下表:

a

X(0.-1)(3,2)

rw0-

/(x)、Z

所以/(x)的单调递减区间是［0,单调递增区间是一］,+oo

(II)由(I)知，当。=0时，/(x)=x2>0,符合题意.

当a>0时，/(力的单调递减区间是(0,a),单调递增区间是(a,48),

所以/(x)20恒成立等价于/(x)mm>0,即/(a)20,

所以一/卜。？。，所以0<aWl.

当a<0时，f(x)的单调递减区间是单调递增区间是［―宗+00

所以/(元)20恒成立等价于/(Hmm>0,即一

22/X3

所以---1----ci'InI—1^0,所以—2e“<«<0.

42t2)

3

综上所述，实数a的取值范围是-2e\l

(2018年石景山期末)

18.(本小题共13分)

已知函数/(了)=］(“一0).

x

(I)若a=l,确定函数/(X)的零点：

(II)若。=一1,证明：函数/(幻是(0,+8)上的减函数；

(III)若曲线y=/(x)在点(1,7(1))处的切线与直线x—y=0平行，求a的值.

18.(本小题共13分)

解：(