专题04《图形的计数》解析

四年级奥数举一反三典型题检测专题04图形的计数试卷满分：100分考试时间：100分钟一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）1．（2分）图中，有（）个三角形．A．13 B．15 C．14 D．16【思路引导】分类讨论，由一个小三角形、两个小三角形、三个小三角形构成【完整解答】解：由题意，由一个小三角形构成的，有6个；由两个小三角形构成的，有3个；由三个小三角形构成的，有6个；大三角形1个，所以三角形的个数为6+3+6+1＝16个，故选：D。【考察注意点】本题考查组合图形的计数，考查分类讨论的数学思想，解题的关键是正确分类．2．（2分）平面上有四个点，任意三个点都不在﹣条直线上．以这四个点为端点连接六条线段，在所组成的图形中用它们作顶点可以组成（）个三角形．A．3 B．4 C．6 D．8【思路引导】根据三角形的定义（由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形）填空．【完整解答】解：如下图：假设平面上有四个点A、B、C、D，其中任意三个点都不在一条直线上，所以用它们作顶点可以组成三角形有：△ABC、△ABD、△ACD和△BCD，共4个．故选：B。【考察注意点】本题考查了三角形的定义．注意，是不在同一直线上的三个点才可以连接成为三角形．3．（2分）有长度分别为1，2，3，…，10厘米的小木棍各一根，从中选出若干根小木棍尾相连，共可以围成_____种不同边长的正方形。（）A．3 B．5 C．6 D．7【思路引导】因为1+2+3+……+10＝55，所以边长最长取54÷4≈13，据此分类讨论即可。【完整解答】解：因为1+2+3+……+10＝55，所以边长最长取54÷4≈13，当边长为13时，13＝10+3＝9+4＝8+5＝7+6，符合题意；当边长为12时，12＝10+2＝9+3＝8+4＝7+5，符合题意；当边长为11时，11＝10+1＝9+2＝8+3＝7+4，符合题意；当边长为10时，10＝10＝9+1＝8+2＝7+3，符合题意；当边长为9时，9＝9＝8+1＝7+2＝6+3，符合题意；当边长为8时，8＝8＝7+1＝6+2＝5+3，符合题意；当边长为7时，7＝7＝6+1＝5+2＝4+3，符合题意；当边长为6时，6＝6＝5+1＝4+2，不符合题意；边长再减少均不符合题意；一共有7种边长。故选：D。【考察注意点】本题主要考查了组合图形的计数，根据木棍总长度，确定最长边长是本题解题的关键。4．（2分）在如图所示的8×8的国际象棋棋盘上，有许多边长为整数的正方形．其中有的正方形的黑白方格数各占一半，这样的正方形一共有（）个．A．120 B．140 C．102 D．84【思路引导】观察图象可知在2×2，4×4，6×6，8×8的正方形中黑白方格数各占一半，2×2的正方形个数为7×7＝49；4×4的正方形个数为5×5＝25；6×6的正方形个数为3×3＝9；8×8的正方形个数为1；【完整解答】解：由分析可知：49+25+9+1＝84（个）．答：黑白格数相同的正方形有84个．故选：D。【考察注意点】本题考查计数问题的应用，明确2×2，4×4，6×6，8×8的正方形中黑白方格数各占一半，是解题的关键．5．（2分）如图，一张方格纸有15个小正方形，每个小正方形的面积都是1，那么图中所有正方形面积之和为（）A．15 B．47 C．59 D．74【思路引导】分类进行统计，①面积是1的正方形有15个；②面积是4的正方形有8个；③面积是9的正方形有3个，据此即可解答．【完整解答】解：根据题干分析：面积为1平方厘米的正方形有：15个；面积为4平方厘米的正方形有：8个；面积为9的平方厘米的正方形有：3个；所有正方形面积之和是：15×1+8×4+9×3＝74．点评：故选D．【考察注意点】此题考查了学生对组合图形的认识，在计数时要有规律的去进行，这样才不会遗漏．6．（2分）已知如图是一个轴对称图形．若将图中某些黑色的图形去掉，得到一些新的图形，则其中轴对称的新图形共有（）个．A．9 B．8 C．7 D．6【思路引导】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此判断即可．【完整解答】解：根据轴对称图形的意义可知，若将图中某些黑色的图形去掉，得到一些新的图形，即把图形里面的3部分的黑点去掉，共有7种情况，则其中轴对称的新图形共有7个．故选：C。【考察注意点】掌握轴对称图形的意义，判断是不是轴对称图形的关键是找出对称轴，看图形沿对称轴对折后两部分能否完全重合．7．（2分）如图，一张方格纸上放有20个棋子，以其中4个棋子为顶点可以组成的正方形个数为（）A．19 B．20 C．21 D．22【思路引导】设相邻两点的距离为1，分正方形的面积为1，2，5，8，13，进行讨论，即可得出结论．【完整解答】解：设相邻两点的距离为1，则正方形面积为1的即黑色的正方形共有9个；面积为2的即红色的正方形共有4个；面积为5的即蓝色的正方形有2个；面积为8的即黄色的正方形有4个；面积为13的即紫色的正方形有2个；所以，共有9+4+2+4+2＝21个正方形．故选：C。【考察注意点】本题考查组合图形的计数，考查分类讨论的数学思想，正确分类讨论是关键．8．（2分）如图所示，在正六边形中选定它的6个顶点和6条边的中点，共计12个点以其中3个点为顶点的等腰三角形共有_____个。（）A．40 B．42 C．46 D．54【思路引导】12个点可以分为两类，根据对称性，分别找出每种点为顶点时的等腰三角形数量，再乘点的数量，其中等边三角形被计算了三次，需要减去重复的部分即可。【完整解答】解：以六边形顶点为等腰三角形顶点时，有5个等腰三角形，以六边形边的中点为等腰三角形顶点时，有4个等腰三角形，共有：（5+4）×6＝54（个）其中等边三角形有4个，均被计算了三次，54﹣4×2＝46（个）所以，等腰三角形共有46个。故选：C。【考察注意点】本题主要考查了组合图形的计数，注意不要忘记减掉被重复计算的等边三角形。二．填空题（共11小题，满分27分）9．（2分）如图中共有8个三角形。【思路引导】根据组成三角形的图形数量分别数出三角形的数量，求和即可。【完整解答】解：一个图形组成的三角形有3个，两个图形组成的三角形有4个，四个图形组成的三角形有1个，3+4+1＝8（个）故答案为：8。【考察注意点】本题主要考查了组合图形的计数，较为简单，主要不要漏数多数。10．（2分）如图图形中共有14个梯形。【思路引导】单个的梯形有4个，两部分组成的有5个，三部分组成的有2个，四部分组成的有2个，最大的有1个，然后相加即可。【完整解答】解：4+5+2+2+1＝14（个）答：图形中共有14个梯形。故答案为：15。【考察注意点】组合图形的计数实质上就是分类计数图形，要按顺序分类计数，防止遗漏。11．（2分）下面的图形中共有3种由粗线围成的大小不同的正方形．（边长相同的视为同一种）【思路引导】2和1里只有1×1的正方形，0里有1×1的正方形，也有3×3的正方形，8里除了1×1、3×3的正方形，还可以找到2×2的正方形．【完整解答】解：图形中可以找出1×1的正方形，也可以找出2×2的正方形，还可以找出3×3的正方形．故答案为：3．【考察注意点】此题中最长的边为5，但不能找出4×4和5×5的正方形．12．（2分）如图所示，图中共有12个梯形。【思路引导】以中间的斜线段为分界线，左边有6个梯形，右边也有6个梯形，然后相加即可。【完整解答】解：根据分析可得，6+6＝12（个）答：图中共有12个梯形。故答案为：12。【考察注意点】分类枚举是一种很重要的解决计数问题的方法，按一定的规则恰当分类是关键。做到既不重复，也不遗漏。13．（2分）如图是由相同的小正方形组成的4×4方格网，以这些小正方形的顶点为端点可以连成的不同长度的线段共有14条．【思路引导】先沿边长数不同长度的线段有4条，再数长度是某个长方形对角线的共10条．【完整解答】解：先沿边长数不同长度的线段有4条，再数长度是某个长方形对角线的共10条，4+10＝14（条）故答案为：14．【考察注意点】因为要求不同长度的线段，所以应该去掉重复的．14．（2分）数一数，图形中一共30个三角形．【思路引导】把图中的三角形分5种情况计数即可．【完整解答】解：单个的三角形有3×4＝12个；两个图形拼成的三角形有2×4＝8个；三个图形拼成的三角形有4个；4个图形拼成的三角形有2个；七个图形拼成的三角形有4个；12+8+4+2+4＝30（个）；答：图形中一共30个三角形．故答案为：30．【考察注意点】组合图形的计数实质上就是分类计数图形，要按顺序分类计数，防止遗漏．15．（3分）图中，一共可以数出11个三角形．【思路引导】单个的三角形有6个，最大的三角形有4个，中间4个小三角形组成1个较大的三角形，然后相加即可．【完整解答】解：6+4+1＝11（个）故答案为：11．【考察注意点】组合图形的计数实质上就是分类计数图形，要按顺序分类计数，防止遗漏．特别要注意多个基本图形构成的三角形容易数错．16．（3分）图中，共有17个三角形。【思路引导】①单个三角形有：7个，②两个图形组成的有：3个，③三个图形组成的有：3个，④四个图形组成的有：4个，然后把个数相加即可。【完整解答】解：根据分析可得：7+3+3+4＝17（个）答：共有17个三角形。故答案为：17。【考察注意点】组合图形的计数实质上就是分类计数图形，要按顺序分类计数，防止遗漏。特别要注意多个基本图形构成的三角形容易数错。17．（3分）我们知道，一个三角形把平面分成2部分，2个三角形最多把平面分成8个部分，3个三角形最多把平面分成20个部分。那么4个三角形，最多把平面分成38部分。【思路引导】运用公式，n个三角形最多可以把平面分成3n2﹣3n+2个部分来求解。【完整解答】解：因为n个三角形最多可以把平面分成3n2﹣3n+2个部分，所以4个三角形，最多把平面分成3×42﹣3×4+2＝38（部分）。故答案为：38。【考察注意点】本题主要考查三角形平分平面，掌握“n个三角形最多可以把平面分成3n2﹣3n+2个部分”是解题的关键。18．（3分）“8”是一个吉祥的数字，深受中国人民喜欢．图中，一共有5个正八边形．【思路引导】中间图形“8”，上下方各有2个正八边形，最外面有一个正八边形，然后相加即可．【完整解答】解：2+2+1＝5（个）故答案为：5．【考察注意点】分类计数是一种很重要的解决图形计数问题的方法，按一定的规则恰当分类是关键．做到既不重复，也不遗漏．19．（3分）图中有22个正方形．【思路引导】分类计数，边长为1的单个的正方形有12个，边长为2的单个的正方形有5个，斜着的正方形有5个，然后相加即可．【完整解答】解：12+5+5＝22（个）故答案为：.22【考察注意点】组合图形的计数实质上就是分类计数图形，要按顺序分类计数，防止遗漏．三．解答题（共10小题，满分57分）20．（5分）由7×7的正方形方格纸沿着方格的边界剪出相等数量的2×2的正方形和的1×4的长方形．可以剪出这些图形的最大数量共有多少个？【思路引导】在7×7的正方形方格纸沿着方格的边界，剪出相等数量的2×2的正方形和1×4的长方形，剪出的无论是正方形还是长方形都由4个方格组成．两类图形面积相等．剪出的图形的数量不多于个，即不大于12．所以2×2的正方形和1×4的长方形不多于6个．【完整解答】解：在7×7的正方形方格纸沿着方格的边界，剪出相等数量的2×2的正方形和1×4的长方形，剪出的图形的数量不多于＝12个，即不大于12．所以2×2的正方形和1×4的长方形不多于6个．下图指出了一个剪出6个正方形和6个长方形的方法．【考察注意点】本题从面积相等考虑．21．（5分）数一数，图中有多少个三角形？【思路引导】三条线段首尾顺次连接组成的图形叫做三角形，根据概念分类找出图中三角形的个数即可．【完整解答】解：单个三角形组成的三角形有8个，2个三角形组成的三角形有4个，4个三角形组成的三角形有4个，8+4+4＝16（个）．答：图中有16个三角形．【考察注意点】此题主要考查计数方法的应用，养成按照一定顺序观察思考问题的习惯，逐步学会通过观察思考探寻事物规律的能力．22．（5分）数一数各图中各有多少个三角形．【思路引导】根据图形的构造特点，图（1）（2）可分层计算，每层按“规则图形计数”，然后计算总数即可；图（3）可分类计算，先根据大三角形中的顶点到对边的连线把大三角形分成2个同样的小三角形；同理，其中的一个小三角形又分成2个同类的更小的三角形，共计4类，先数清每一类中的三角形的个数，之后数出这4类的总数，进而再加上与4类不同情况的4个即可．【完整解答】解：（1）4+3+2+1＝10（个）10×2＝20（个）（2）4+3+2+1＝10（个）10×4＝40（个）（3）4+3+2+1＝10（个）10×4+4＝44（个）答：图（1）有20个、图（2）有40个、图（3）有44个三角形．【考察注意点】解答此题的关键是根据图形的构造对其进行合理分类计算方可．23．（6分）如图中，三角形的个数有多少？【思路引导】本题考查组合图形的计数．【完整解答】解：一层的三角形有5+6+5＝16（个）两层的三角形有2+1+1+2＝6（个）所以三角形的个数有16+6＝22（个）答：三角形的个数有22个．【考察注意点】本题考查图形计数，难度较低．24．（6分）数一数，图中有多少个三角形？【思路引导】本题考查组合图形的计数．【完整解答】解：由1个三角形组成的有5个；由2个小部分组成的三角形有8个；由3个小部分组成的三角形有6个；由4个小部分组成的三角形有3个；由6个小部分组成的三角形有4个；由9个小部分组成的三角形有1个；共有5+8+6+3+4+1＝27（个）．【考察注意点】本题关键在于分类计数，做到不漏不重．25．（6分）从图中任意选择四个点，可组成多少个不同的正方形？（不同的点组成的正方形视为不同的正方形）【思路引导】分两种情况计数：（1）正放的小正方形；（2）斜放的小正方形（沿对角线）．先数1×1的小正方形的个数有12个；再数以一个正方形的对角线为边长的小正方形的个数有6个；再数2×2的小正方形的个数有6个；再数2个小正方形的对角线为边长的小正方形的个数有2个；再数3×3的小正方形的个数有2个．相加即可求解．【完整解答】解：（1）正放的小正方形：1×1的小正方形的有：3×3＝9（个），2×2的小正方形的有：2×2＝4（个），3×3的小正方形的有1个；（2）斜放的小正方形（沿对角线），对称排列，共有：（2+1）×2＝6（个）综上所述，共有：9+4+1+6＝20（个）答：从图中任意选择四个点，可组成20个不同的正方形．【考察注意点】考查了组合图形中正方形的计数，注意按一定的顺序去数，做到不重复不遗漏．26．（6分）如图，在5×5的棋盘上放了20枚棋子，现在取走其中的两枚棋子，那么以剩下的棋子为顶点的正方形最少有11个．【思路引导】由题意，不去点的话共有21个正方形，要留下的正方形尽量少，先分析去掉哪个棋子，减少的正方形最多，分类讨论，即可得出结论．【完整解答】解：由题意，不去点的话共有21个正方形，要留下的正方形尽量少，先分析去掉哪个棋子，减少的正方形最多．根据对称性把棋子分成三类，分别以A，B，C为代表，如图若去掉A，会少3个正方形，1个最小正方形和下面的两个：若去掉B，会少5个正方形，2个最小正方形和下面的3个：若去掉C，会少5个正方形，3个最小正方形和下面的两个：在以上分析的基础上，发现去掉一个B类棋子和一个C类棋子时，至多可以减少10个正方形，还有11个正方形，构造发现，去掉下面C，D两个棋子即可．【考察注意点】本题考查最大与最小，考查图形问题，考查分类讨论的数学思想，要留下的正方形尽量少，先分析去掉哪个棋子，减少的正方形最多是关键．27．（6分）如图，是由9个点组成的点阵，那么以图中4个点为顶点的正方形有6个；以图中3个点为顶点的直角三角形有44个．【思路引导】先把这9个点连成一个大正方形，其中小正方形有4个，中间斜着的有1个正方形，再加上大正方形，一共有6个；先看正方形中，每个正方形中都能出现4个等腰直角三角形，一共有4×6＝24个，最大的正方形两条对角线可以分成4个大等腰直角三角形，所以一共有24+4＝28个等腰直角三角形；再看长方形中，长方形一共有4个，两个横着的两个竖着的：每个长方形中都能连出4个直角三角形，一共有4×4＝16个，据此再加起来即可解答问题．【完整解答】解：图中有4个小正方形，加上斜着的1个和最大的1个，一共有6个正方形；（2）正方形中：每个正方形连接两条对角线都可以组成4个等腰直角三角形，一共有6个正方形，所以一共有4×6＝24个等腰直角三角形；最大的正方形两条对角线可以分成4个大等腰直角三角形，所以一共有24+4＝28个等腰直角三角形；长方形一共有4个，两个横着的两个竖着的：每个长方形中都能连出4个直角三角形，一共有4×4＝16个，所以28+16＝44（个）答：以图中4个点为顶点的正方形有6个；以图中3个点为顶点的直角三角形有44个．故答案为：6；44．【考察注意点】此题考查了图形的计数，要注意分类计数，做到不重不漏．28．（6分）数图形，如图是由20个小正方形拼成的图形，其中共有多少个长方形？要求写出关键的解题推理过程．【思路引导】本题计数要注