1复合函数的性质特征研究2022年高考“32”选择填空题精准靶心方案18讲

“3+2”选择、填空题精准靶心方案18讲第1讲研究、判定函数（复合函数、抽象函数或半抽象函数）的性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性、过定点、渐近线、函数值等）及图象特征1．根据统计数据，在A小镇当某件讯息发布后，t小时之内听到该讯息的人口是全镇人口的100（1－2－kt）%，其中k是某个大于0的常数．今有某讯息，假设在发布后3小时之内已经有70%的人口听到该讯息．又设最快要T小时后，有99%的人口已听到该讯息，则T最接近下列选项的是（）．A．7.5小时B．9小时C．11.5小时D．13小时解：依题意100（1－2－3k）%=70%1－2－3k=0.72－3k=0.3．又100（1－2－kT）%=99%1－2－kT=0.992－kT=0.01（2－3k）=0.01（0.3）=0.01．两边取对数，得．2．下图为某地新冠疫情病例累计趋势统计图（3月31日到5月31日）：从4月22日到5月14日共23天的每日平均新增病例数，最接近下列哪个值（）．A．11B．14C．17D．20解：由表中资料看出，4月22日与5月14日累计病例数约为100与500（略少），共增加约400人．故每日平均增加病例数为，选C．3．证券交易市场规定股票成交价格只能在前一个交易日的收盘价（即最后一笔的成交价）的涨、跌10%范围内变动．例如：某支股票前一个交易日的收盘价是每股100元，则今天该支股票每股的买卖价格必须在90元至110元之间．假设有某支股票的价格起伏很大，某一天的收盘价是每股40元，次日起连续五个交易日以跌停板收盘（也就是每天跌10%），紧接着却连续五个交易日以涨停板收盘（也就是每天涨10%）．则经过这十个交易日后，该支股票每股的收盘价最接近下列选项中（）A．37元B．38元C．38.5元D．39元解：依题意，最后的收盘价为40（1－10%）5（1+7%）5=40×0.95×1.15=40×0.995．由对数表得lg0.995=5lg0.99=……，所以收盘价约为38，选B．另法：依题意，最后的收盘价为40（1－10%）5（1+7%）5=40×0.95×1.15=40×（1－0.01）5=40（C50×1－C51×0.01+C52×0.012+…－C55×0.015）≈40（C50×1－C51×0.01）=38，选B．4．某君于九十年初，在甲、乙、丙三银行各存入十万元，各存满一年后，分别取出．已知该年各银行之月利率如下表，且全年十二个月皆依机动利率按月以复利计息．甲银行乙银行丙银行1－4月0.3%0.3%0.3%5－8月0.3%0.4%0.2%9－12月0.3%0.2%0.4%假设存满一年，某君在甲、乙、丙三家银行存款的本利和分别为a﹑b﹑c元，请问下列关系式正确的是（）．（多选题）A．a＞bB．a＞cC．b＞cD．a=b=c解：a=（1.003）4（1.003）4（1.003）4×本金；b=（1.003）4（1.004）4（1.002）4×本金；c=（1.003）4（1.002）4（1.004）4×本金．因1.004×1.002=（1.003+0.001）（1.003－0.001）=（1.003）2－（0.001）2＜（1.003）2，故a＞b=c．选AB．5．曲线f（x）=x3－x2－2x+1，过点（－1，1）的直线l与曲线相切，且（－1，1）不是切点，则直线l的斜率为（）．A．2B．1C．－1D．－2解：设切点为（x0，x03－x02－2x0+1），则切线斜率为k=3x02－2x0－2，切线方程为y－（x03－x02－2x0+1）=（3x02－2x0－2）（x－x0），将点（－1，1）代入，得1－（x03－x02－2x0+1）=（3x02－2x0－2）（－1－x0），整理，得2（x0+1）2（x0－1）=0．∵x0≠－1，∴x0=1，所以这条切线的斜率为－1，选C．6．设a为常数，，f（x+y）=f（x）·f（a－y）+f（y）·f（a－x），则（）（多选题）A．B．恒成立C．f（x+y）=2f（x）·f（y）D．满足条件的f（x）不止一个解：令x=y=0，可得f（0）=2f（0）·f（a），因为，所以，A正确．令y=0，可得f（x）=f（x）·f（a）+f（0）·f（a－x），代入，可得f（a－x）=f（x）．即原等式变形为f（x+y）=2f（x）·f（y），C正确．令y=x，可得f（2x）=2[f（x）]2≥0，即函数取值非负．令y=a－x，可得f（a）=2[f（x）]2，即，解得，选B．选ABC．7．若定义在R的奇函数f（x）在（－∞，0）单调递减，且f（2）=0，则满足xf（x－1）＜0的x的取值范围是（）A．[－1，1]∪[3，+∞）B．[－3，－1]∪[0，1] C．[－1，0]∪[1，+∞）D．[－1，0]∪[1，3]分析：根据函数奇偶性的性质，作出函数f（x）的草图，利用分类讨论思想进行求解即可．选D．说明：本题主要考查不等式的求解，结合函数奇偶性的性质，作出函数f（x）的草图，是解决本题的关键．8．设函数f（x）=ln︱2x+1︱－ln︱2x－1︱，则f（x）（）A．是偶函数，且在（，+∞）单调递增 B．是奇函数，且在（，）单调递减C．是偶函数，且在（－∞，）单调递增 D．是奇函数，且在（－∞，）单调递减解：由2x+1≠0且2x－1≠0，得x≠定义域关于原点对称．又易得f（－x）=－f（x），所以f（x）为奇函数．由f（x）=，可得内层函数的图象如图，在（－∞，）上单调递减，在（，）上单调递增，则（，+∞）上单调递减．又y=lnt是定义域内的增函数，由复合函数的单调性可得，f（x）在（－∞，）上单调递减．故选D．说明：本题考查函数的奇偶性与单调性的综合，考查复合函数单调性的求法．9．设函数，则f（x）（）A．是奇函数，且在（0，+∞）单调递增 B．是奇函数，且在（0，+∞）单调递减 C．是偶函数，且在（0，+∞）单调递增 D．是偶函数，且在（0，+∞）单调递减分析：先检验f（－x）与f（x）的关系即可判断奇偶性，然后结合幂函数的性质可判断单调性．解：因为，则，即f（x）为奇函数．根据幂函数的性质可知，y=x3在（0，+∞）为增函数，故在（0，+∞）为减函数，在（0，+∞）为增函数，所以当x＞0时，单调递增．故选A．说明：本题主要考查了函数奇偶性及单调性的判断．10．若过点（a，b）可以作曲线y=ex的两条切线，则（）A．eb＜aB．eb＜bC．0＜a＜ebD．0＜b＜ea分析：画出函数的图象，判断（a，b）与函数的图象的位置关系，即可得到选项．解：函数y=ex是增函数，y′=ex＞0恒成立，函数的图象如图，y＞0，即取得坐标在x轴上方，如果（a，b）在x轴下方，连线的斜率小于0，不成立．点（a，b）在x轴或下方时，只有一条切线．如果（a，b）在曲线上，只有一条切线；（a，b）在曲线上侧，没有切线；由图象可知（a，b）在图象的下方，并且在x轴上方时，有两条切线，可知0＜b＜ea．故选D．11．已知函数f（x）的定义域为R，f（x+2）为偶函数，f（2x+1）为奇函数，则（）A．B．f（－1）=0C．f（2）=0D．f（4）=0解：因为函数f（x+2）为偶函数，则f（2+x）=f（2－x），可得f（x+3）=f（1－x）．因为函数f（2x+1）为奇函数，则f（1－2x）=－f（2x+1），所以f（1－x）=－f（x+1），因此f（x+3）=－f（x+1）=f（x－1），即f（x）=f（x+4），故函数f（x）是以4为周期的周期函数．因为函数F（x）=f（2x+1）为奇函数，则F（0）=f（1）=0，故f（－1）=f（1）=0，其它三个选项未知．故选B．12．设函数f（x）的定义域为R，f（x+1）为奇函数，f（x+2）为偶函数，当x∈[1，2]时，f（x）=ax2+b．若f（0）+f（3）=6，则=（）A． B． C． D．分析：由f（x+1）为奇函数，f（x+2）为偶函数，可求得f（x）的周期为4．由f（x+1）为奇函数，可得f（1）=0，结合f（0）+f（3）=6，可求得a，b的值，从而得到x∈[1，2]时，f（x）的解析式，再利用周期性可得，进一步求出的值．解：∵f（x+1）为奇函数，∴f（1）=0，且f（x+1）=－f（－x+1）．∵f（x+2）偶函数，∴f（x+2）=f（－x+2），∴f[（x+1）+1]=－f[－（x+1）+1]=－f（－x），即f（x+2）=－f（－x），∴f（－x+2）=f（x+2）=－f（－x）．令t=－x，则f（t+2）=－f（t），∴f（t+4）=－f（t+2）=f（t），因此f（x+4）=f（x）．当x∈[1，2]时，f（x）=ax2+b，于是f（0）=f（－1+1）=－f（2）=－4a－b，f（3）=f（1+2）=f（－1+2）=a+b．又f（0）+f（3）=6，∴－3a=6，解得a=－2，进而b=2，∴当x∈[1，2]时，f（x）=－2x2+2，，选D．说明：本题主要考查函数的奇偶性与周期性，考查转化思想与运算求解能力．13．设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）=2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）=x（x－1）．若对任意x∈（－∞，m]，都有f（x）≥，则m的取值范围是（）A．（－∞，]B．（－∞，]C．（－∞，]D．（－∞，]解：当x∈（0，1]时，f（x）=x（x－1）=x2－x=∈[，0]（也可结合图象）．∵x∈（0，1]，∴x+1∈（1，2]，f（x+1）=2f（x）∈[，0]，x+2∈（2，3]，f（x+2）=2f（x+1）=4f（x）∈[－1，0]，xx0.250.51y12x131O∴要使对任意x∈（－∞，m]时，都有f（x）≥＞－1，则有m＜，从而排除C、D．结合图象可知，当x∈（2，3]时，f（x）=4（x－2）（x－3）．令9m2－45m+56=0或，而＞，∴取．故当m≤时，符合题意，选B．另解：这是“类周期函数”问题，函数每向右移动一个单位，纵坐标就扩大2倍．作出函数的图象，解出相应区间的解析式，根据恒成立的条件，即可求出m的取值范围．如图，设与红线的交点（左）为x1，则，即m≤x1．根据第三段与x轴的交点为2，3，可求得第三段的解析式为，解得，则m≤，故选B．14．已知函数若函数g（x）=f（x）－︱kx2－2x︱（k∈R）恰有4个零点，则k的取值范围是（）A．（－∞，）∪（，+∞）B．（－∞，）∪（0，）C．（－∞，0）∪（0，）D．（－∞，0）∪（，+∞）分析：问题转化为f（x）=︱kx2－2x︱有四个根y=f（x）与y=h（x）=︱kx2－2x︱有四个交点，再分三种情况当k=0时，当k＜0时，当k＞0时，讨论两个函数四否能有4个交点，进而得出k的取值范围．解：若函数g（x）=f（x）－︱kx2－2x︱恰有4个零点，则f（x）=︱kx2－2x︱有四个根，即y=f（x）与y=h（x）=︱kx2－2x︱有四个交点，当k=0时，y=f（x）与y=︱2x︱=2︱x︱图象如下：两图象只有一个交点，不符合题意．当k＜0时，y=︱kx2－2x︱与x轴交于两点x1=0，（x2＜x1），图象如图所示，两图象有4个交点，符合题意．当k＞0时，y=︱kx2－2x︱与x轴交于两点x1=0，（x2＞x1）．在[0，）内两函数图象有两个交点，所以若有四个交点，只需y=x3与y=kx2－2x在（，+∞）还有两个交点即可，即x3=kx2－2x在（，+∞）还有两个根，即在（，+∞）还有两个根，函数≥（当且仅当时，取等号），所以0＜＜且k＞，所以k＞．综上所述，k的取值范围为（－∞，0）∪（，+∞），故选D．说明：本题考查函数的零点，参数的取值范围，关键利用分类讨论思想，分析函数的交点．15．设a≠0，若x=a为函数f（x）=a（x－a）2（x－b）的极大值点，则（）A．a＜bB．a＞bC．ab＜a2D．ab＞a2解：令f（x）=0，解得x=a或x=b，即x=a及x=b是f（x）的两个零点，当a＞0时，由三次函数的性质可知，要使x=a是f（x）的极大值点，则函数f（x）的大致图象如下图所示，则0＜a＜b；当a＜0时，由三次函数的性质可知，要使x=a是f（x）的极大值点，则函数f（x）的大致图象如下图所示，则b＜a＜0；综上，ab＞a2．故选D．说明：本题考查三次函数的图象及性质，考查导数知识的运用，考查数形结合思想．16．已知直线y=－x+2分别交函数y=ex和y=lnx的图象于点A（x1，y1），B（x2，y2），则下列结论正确的是（）（多选题）A．x1+x2=2B．＜x1＜1C．D．x1lnx2+x2lnx1＜0解：函数y=ex与y=lnx互为反函数，则y=ex与y=lnx的图象关于y=x对称，将y=－x+2与y=x联立，则x=1，y=1，由直线y=－x+2分别与函数y=ex和y=lnx的图象交于点A（x1，y1），B（x2，y2），作出函数图象：则A（x1，y1），B（x2，y2）的中点坐标为（1，1）．对于A，由，解得x1+x2=2，故A正确．对于B，将y=－x+2与y=ex联立可得－x+2=ex，即ex+x－2=0．设f（x）=ex+x－2，且函数为单调递增函数，因为f（0）=1+0－2=－1＜0，，故函数的零点在（0，）上，即0＜x1＜，故B错误．对于C，≥，因为x1≠x2，即等号不成立，所以，故C正确．由x1+x2=2，0＜x1＜，则1＜x2＜2，x1lnx2+x2lnx1=x1lnx2－x2ln=（x1－x2）lnx2＜0，故D正确．故选ACD17．已知函数f（x）=x2－2x+a（ex－1+e－x+1）有唯一零点，则a=（）．A． B． C． D．1解：因为有唯一零点，所以只要2a－1=0即可，解得a=，选C．说明：本题有着明确的思维方向——通过导数研究函数的性质（单调性、零点），进而分析、综合建立不等式与等式求a的值，有较大的计算量和思维量，推演过程长．若仔细审看f（x）中的项（ex－1+e－x+1），改写成，发现它们两个互为倒数，故配方后，可立即得出如上的新解，实在简单巧妙！在求出a=后，为保证答案的准确性，还可以对A、B、D选项进行验证、排除．18．已知f（x）是定义域为（－∞，+∞）的奇函数，满足f（1－x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（）．A．－50 B．0 C．2 D．50解：∵f（x）是奇函数，且f（1－x）=f（1+x），∴f（1－x）=f（1+x）=－f（x－1），f（0）=0，则f（x+2）=－f（x），则f（x+4）=－f（x+2）=f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数．∵f（1）=2，∴f（2）=f（0）=0，f（3）=f（1－2）=f（－1）=－f（1）=－2，f（4）=f（0）=0，因此f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0－2+0=0，从而，待求式=12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）=f（1）+f（2）=2+0=2，故选C．19．设a＞0，a≠1，函数，，则（）．DA．f（x）和g（x）均为奇函数B．f（x）和g（x）均为偶函数C．f（x）是偶函数，但g（x）是奇函数D．f（x）是奇函数，但g（x）是偶函数解：f（x）的定义域（－∞，+∞），且；g（x）的定义域（－∞，0）∪（0，+∞），且．从而f（x）、g（x）分别是奇函数、偶函数．20．设a＞0，a≠1，函数在（1，+∞）上单调递减，则f（x）（）．A．在（－∞，－1）上单调递减，在（－1，1）上单调递增B．在（－∞，－1）上单调递增，在（－1，1）上单调递减C．在（－∞，－1）上单调递增，在（－1，1）上单调递增D．在（－∞，－1）上单调递减，在（－1，1）上单调递减解：x∈（1，+∞），，令，它在（1，+∞）上单调递增．而在（1，+∞）上单调递减，故由复合函数单调性有关知识得0＜a＜1．当x∈（－∞，－1）时，，它在（－∞，－1）上单调递增，从而f（x）在（－∞，－1）上单调递减；x∈（－1，1）时，，它在（－1，1）上单调递减，从而f（x）在（－1，1）上单调递增．选A．21．某高中招收高一新生共有男生1008人、女生924人报到．学校想将他们依男女合班的原则平均分班，且要求各班有同样多的男生，也有同样多的女生；考虑教学效益，并限制各班总人数在40与50人之间，则共分成班．解：设共分成d班，因各班有同样的男生数，也有同样的女生数，所以d为1008与924的公因子．又1008与924的最大公因子为84，所以d可能为1，2，3，4，6，7，12，14，21，28，42，84，但每班的人数须介于40与50之间，即40＜＜50＜d＜38.64＜d＜48.3，故d=42．22．设a为大于1的实数，考虑函数f（x）=ax与g（x）=logax，则下列选项正确的有．①若f（3）=6，则g（36）=6；②；③；④若P，Q为y=g（x）的图形上两相异点，则直线PQ之斜率必为正数；⑤若直线y=5x与y=f（x）的图形有两个交点，则直线与y=g（x）的图形也有两个交点．解：f（x）与g（x）互为反函数．①正确．若f(3)=6，则g(6)=3，即loga6=3，所以g(36)=loga36=2loga6=2×3=6．PQyOxPQyOx③错误．，．④正确．如图．⑤正确．y=5x对称于x=y之直线为，∴与y=g（x）也有两个交点．故正确的有①②④⑤．23．设，且f（1）=1，f（4）=7，则f（2014）=．解：由f（1）=1，f（4）=7，得，，由数学归纳法，可推导得f（n）=2n－1，n∈N*，所以f（2014）=4027．法二：求得f（2）=3，f（3）=5后，猜想f（n）=2n－1，n∈N*．假设f（n）=2n－1对任意n≤3k（k≥1）都成立，则f（3k+1）=3f（k+1）－2f（1）=2（3k+1）－1，f（3k+2）=3f（k+2）－2f（2）=2（3k+2）－1，f（3k+3）=3f（k+3）－2f（3）=2（3k+3）－1，所以f（n）=2n－1，n∈N*．24．已知f（x）为R→R的函数，满足f（1－x）=1－2f（x），则=．解：f（1－x）=1－2f（x）f[1－（1－x）]=1－2f（1－x）f（x）=1－2f（1－x）．f（x）=1－2[1－2f（x）]=4f（x）－1，所以．25．函数的最小值为，此时x的值为．解：由2x2－6x+4≥0和x2－3x≥0x≤0或x≥3，知x≤0或x≥3时f（x）有意义．又，则f（x）在x≤0时严格递减，且f（x）在x≥3时严格递增，所以f（x）min=min{f（0），f（3）}=min{2，2}=2，故f（x）的最小值为2，此时x=0或3．另解：令x2－3x=t，则原式可变为，即可得t=0时有最小值．26．设函数f（x）=ex+ae－x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是．解：根据题意，若f（x）为奇函数，则f（－x）=－f（x），即e－x+aex=－（ex+ae－x），变形可得a=－1．函数的导数f′（x）=ex－ae－x．若f（x）是R上的增函数，则f（x）的导数f′（x）=ex－ae－x＞0在R上恒成立，变形可得：a＜e2x恒成立，分析可得a≤0，即a的取值范围为（－∞，0]．27．在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（－e，－1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是．（e，1）28．在平面直角坐标系xOy中，P是曲线（x＞0）上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是．解：由（x＞0），得．设斜率为－1的直线与曲线（x＞0）切于（x0，），由，解得x0=．∴曲线（x＞0）上，点P（，）到直线x+y=0的距离最小，最小值为4．说明：本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查点到直线距离公式的应用，是中档题．29．已知（x＞1，a＞0），若a=a0，f（x）与x轴交点为A，f（x）为曲线L，在L上任意一点P，总存在一点Q（P异于A）使得AP⊥AQ且︱AP︱=︱AQ︱，则a0=．30．函数f（x）=︱2x－1︱－2lnx的最小值为．1分析：求出函数定义域，对x分段去绝对值，当0＜x≤时，直接利用单调性求最值；当x＞时，利用导数求最值，进一步得到f（x）的最小值．31．已知函数f（x）=︱ex－1︱，x1＜0，x2＞0，函数f（x）的图象在点A（x1，f（x1））和点B（x2，f（x2））的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是．分析：结合导数的几何意义可得x1+x2=0，结合直线方程及两点间距离公式可得︱AM︱=，︱BN︱=，化简即可得解．解：由题意f（x）=︱ex－1︱=，则，所以点A（x1，）和点B（x2，），kAM=，kBN=，所以，即x1+x2=0．所以AM：，M（0，），所以︱AM︱=．同理︱BN︱=，所以∈（0，1）．说明：解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件x1+x2=