第七单元解决问题的策略-2022-2023学年五年级数学下册典型例题

20222023学年五年级数学下册典型例题系列之第七单元解决问题的策略（解析版）编者的话：《20222023学年五年级数学下册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例题、专项练习、分层试卷三大部分。典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。分层试卷部分是根据试题难度和掌握水平，主要分为基础卷、提高卷、拓展卷三大部分，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。本专题是第七单元解决问题的策略。本部分内容主要是利用转化策略解决数形规律、算式规律和求图形的周长与面积等问题，考点和题型偏于应用题，题目综合性稍强，建议作为本章核心内容进行讲解，一共划分为三个考点，欢迎使用。【考点一】转化的策略一：数形问题。【方法点拨】运用转化的策略解决数形规律问题，需要结合数式规律和图形的组合变化进行观察、分析和思考，并学会探索和总结。【典型例题】我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”请你根据图中数与形之间的对应关系，先想一想，再填一填。(1)()。(2)()。解析：观察所给的算式可知，1＝12；1＋2＋1＝4＝22；1＋2＋3＋2＋1＝9＝32；1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42；由此可知，算式的和等于算式中间那个最大加数的平方，据此解答。（1）1＋2＋3＋……＋9＋10＋9＋……＋3＋2＋1＝102＝100（2）（1＋2＋3＋……＋15）×2＋16＝1＋2＋3＋……＋15＋16＋15＋……＋3＋2＋1＝162＝256【对应练习1】（1）观察下面每个图形中小正方形的排列规律及个数，并填空。2＝1×2

2＋4＝2×3

2＋4＋6＝3×()

2＋4＋6＋8＝()×5（2）根据上面的规律填空。2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＋16＋18＝()×()解析：（1）第一个图由2个小正方形组成，它的面积可以写成2＝1×2；第二个图由6个小正方形组成，它的面积可以写成2＋4＝2×3；第三个图由10个小正方形组成，它的面积是2＋4＋6＝3×4；第四个图由20个小正方形组成，它的面积是2＋4＋6＋8＝4×5。由此得出规律：得数是偶数的个数（即序号）与偶数个数加1的积，据此解答。（2）根据第（1）题得出的规律，2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＋16＋18中偶数的个数有9个，所以2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＋16＋18＝9×10＝90。据此作答。根据分析可知：（1）2＋4＋6＝3×4＝12，2＋4＋6＋8＝4×5＝20（2）2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＋16＋18＝9×10＝90【对应练习2】计算2＋4＋6＋8＋10＋12……这样的算式有简便方法吗？丁丁遇到这个问题时，想到用“数形结合”的方法来探索，于是他用小圆片摆图形研究。(1)观察表格，请把下面的等式补充完整。()×()序号1234…图形…小圆片个数22＋42＋4＋62＋4＋6＋8…(2)若按此规律继续摆，则序号为()的图形共有156个小圆片，序号为n的图形共，有()个小圆片。解析：通过观察，此题是求连续偶数的和，其得数是偶数的个数（即序号）与偶数个数加1的积，据此解答。(1)2＝1×22＋4＝2×32＋4＋6＝3×42＋4＋6＋8＝4×5(2)156＝12×132＋4＋6＋......＋2n＝n（n＋1）若按此规律继续摆，则序号为12的图形共有156个小圆片，序号为n的图形，共有n（n＋1）个小圆片。【对应练习3】计算提示：可利用“数形结合”的方法来探索，拼成如下图所示的长方形来研究。图形……算式……解析：观察图形和算式，可以发现长方形的长等于这一列数的最后一个数和倒数第二个数相加的和，长方形的宽等于这一列数最后一个数，那么求这一列数的平方和就相当于求长方形的面积，而长方形面积＝（最后一个数＋倒数第二个数）×最后一个数，所以求这一列数的平方和根据此规律解答即可。＝89×（89＋55）＝89×144＝12816【考点二】转化的策略二：周长和面积问题。【方法点拨】巧妙利用平移法和旋转法解决不规则图形的周长和面积也是转化策略的一。【典型例题】一块长80米、宽50米的长方形绿化带，中间有两条宽1米的小路，其余地方为草坪。草坪的面积是多少平方米？解析：（80－1）×（50－1）＝79×49＝3871（平方米）答：草坪的面积是3871平方米。【对应练习1】一块平行四边形菜地的底是30米，高是25米，在菜地中间用宽1米的小路把菜地隔成了12块不同的试验田，试验田的面积是多少平方米？解析：12块试验田拼合在一起后，构成底是28米，高是22米的平行四边形。28×22＝616（平方米）答：试验田的面积是616平方米。【对应练习2】如图所示，阴影部分部分周长是40厘米，分别以它的长和宽为边画出两个正方形，已知两个正方形面积和是336平方厘米，求阴影部分面积。解析：如图所示，分别将阴影部分长方形的长和宽分别画的正方形连接起来，两个阴影部分面积相等。阴影部分长方形的长和宽分别画正方形，所以阴影部分长方形的周长正好等于外面大正方形的两边之和。据此可得大正方形的边长，进而得出大正方形的面积。大正方形的面积－两个小正方形的面积＝2个阴影部分的面积大正方形边长为40÷2＝20（cm）大正方形面积为20×20＝400（cm2）S阴＝（400－336）÷2＝64÷2＝32（cm2）。答：阴影部分的面积是32平方厘米。【对应练习3】如下图，李师傅从一张三角形铁皮上剪下三个扇形，将这三个扇形拼在一起，这三个扇形的面积和是多少平方厘米？解析：将三个扇形拼在一起，是一个半圆，可得：3.14×52÷2＝3.14×25÷2＝78.5÷2＝39.25（平方厘米）答：这三个扇形的面积是39.25平方厘米。【对应练习4】如图，阴影三角形甲的面积比阴影三角形乙的面积大多少平方分米？解析：如图：三角形甲的面积－三角形乙的面积＝（甲的面积＋空白部分面积）－（乙的面积＋空白部分面积），据此解答。12×9÷2－12×6÷2＝54－36＝18（平方分米）答：阴影三角形甲的面积比阴影三角形乙的面积大18平方分米。【考点三】转化的策略三：算式规律问题。【方法点拨】算式规律往往比较抽象，结合图形进行探索和分析可以降低探索难度，更加形象和容易理解。【典型例题】计算，把正方形看作单位“1”，把算式的加数填入下图，再计算。解析：如图：；＝＝【对应练习1】先计算下面各题，然后找出规律。（1）＝（2）＝（3）＝解析：（1），＝＝1－＋－＋－＝1－＝（2）＋＋＋＝（1－）＋（－）＋（－）＋（－）＝1＋－＋－＋－＝1－＝（3）＋＋＋＋＝（1－）＋（－）＋（－）＋（－）＋（－）＝1－＋－＋－＋－＋－＝1－＝【对应练习2】探索规律，观察下面3题的规律，然后算出（1）（2）。1＋2＋1＝2×2＝41＋2＋3＋2＋1＝3×3＝91＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16

（1）1＋2＋3＋…＋99＋100＋99＋…＋3＋2＋1＝（2）＋＋＋…＋＋＋1＋＋＋＋＝解析：（1）1＋2＋3＋…＋99＋100＋99＋…＋3＋2＋1＝100×100＝10000（2）（1＋2＋3＋4＋……13＋12＋…＋1）×＝13×13×＝13【对应练习3】从2开始，连续的偶数相加，它们和的情况如下：2＝1×22＋4＝6＝2×32＋4＋6＝12＝3×42＋4＋6＋8＝20＝4×52＋4＋6＋8＋10＝30＝5×6……（1）根据表中的规律猜想，用n的式子表示s的公式为S＝2＋4＋6＋8＋…＋2n＝_____。（2）根据上题的规律计算①2＋4＋6＋8＋…＋28②104＋106＋108＋…＋200解析；（1）根据和等于加数的个数乘以首尾两个加数和的一半列式为：S＝2＋4＋6＋…＋2n＝（＋1）×＝