861直线与直线垂直精练-2021-2022学年高一数学（人教A版2019）

8.6.1直线与直线垂直(精练）A学业基础一、单选题1．（2021·安徽·六安市裕安区新安中学高一期末）如图，在长方体的棱中，与棱垂直的棱有（）A．2条 B．4条C．6条 D．8条【答案】D【详解】在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有BC，B1C1，A1D1，AD，AA1，BB1，CC1，DD1，共8条．故选：D.2．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，在正方体中，下列直线与垂直的是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】四边形为正方形故选：3．（2021·全国·高一课时练习）如图，正方体中，①与平行；②与垂直；③与垂直．以上三个命题中，正确命题的序号是（）A．①② B．②③ C．③ D．①②③【答案】C【详解】解：对于①，在正方体中，由图可知与异面，故①不正确．对于②，因为，不垂直，所以与不垂直，故②不正确．对于③，在正方体中，平面，又∵平面，∴与垂直.故③正确．故选：C．4．（2021·全国·高一课前预习）已知正三棱柱中，，，点为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】如图所示，取的中点，连接，因为点为的中点，可得，所以异面直线与所成角即为直线与所成角，设，在正中，由，可得，在直角中，可得，在直角中，可得，在中，由余弦定理可得.故选：A.5．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，在三棱柱中，若，，则异面直线与所成角的大小为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为BC∥B1C1，所以∠ACB(或它的补角)为异面直线B1C1与AC所成角，因为，AB=BC=1，所以，所以异面直线B1C1与AC所成角为．故选：A.6．（2021·全国·高一课时练习）在正方体各个表面的对角线中，与所成角为的有A．4条 B．6条 C．8条 D．10条【答案】C【详解】以为一边的面对角线构成的等边三角形如上图为：和可知与夹角为的面对角线有：根据平行关系可知也与成角可知满足题意的面对角线共有条本题正确选项：7．（2021·全国·高一课时练习）如图，在矩形中，，为边的中点，现将绕直线翻转至处，若为线段的中点，则异面直线与所成角的正切值为（）A． B．2 C． D．4【答案】A【详解】如图，取的中点，连接为线段的中点，，且.又矩形中，为边的中点，，且.，且，四边形为平行四边形，，(或其补角)是异面直线与所成角．在直角中，，异面直线与所成角的正切值为.故选：A.8．（2021·全国·高一课时练习）如图，已知三棱柱的各条棱长都相等，且底面，是侧棱的中点，则异面直线和所成的角为()A． B． C． D．【答案】A【详解】设棱长为a，补正三棱柱ABCA2B2C2（如图）．

平移AB1至A2B，连接A2M，∠MBA2即为AB1与BM所成的角，

在△A2BM中，．

故选A．二、填空题9．（2021·全国·高一课时练习）已知两异面直线所成的角为，过空间一点作直线，使得与，的夹角均为，那么这样的直线有_______条．【答案】2【详解】可将a，b通过平移相交于点P，如图所示，则，则的角平分线与直线a，b所成的角均为，的角平分线与直线a，b所成的角均为，因为，所以与直线a，b所成的角均为9°的直线l有且只有2条（直线），故答案为：2.10．（2021·全国·高一课时练习）如图，已知在长方体中，，，分别是和中点，则异面直线，所成的角的大小为_____.

【答案】90°【详解】取CD1的中点G，连接EG，DG.∵E是BD1的中点，∴EG∥BC，EG=BC.∵F是AD的中点，且AD∥BC，AD=BC，∴DF∥BC，DF=BC，∴EG∥DF，EG=DF，∴四边形EFDG是平行四边形，∴EF∥DG，∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角.又A1A=AB，∴四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形，且G为CD1的中点，∴DG⊥CD1，∴∠D1GD=90°，∴异面直线CD1，EF所成的角为90°.故答案为：90°.11．（2022·全国·高三专题练习（理））已知正四棱锥，，，是侧棱的中点，且，则异面直线与所成角为________．【答案】45°【详解】如图，连接AC，BD交于点O，连接OM，则∠OMB为异面直线PA与BM所成角．由O，M分别为AC，PC中点，得OM＝PA＝1．在RtAOB中，易得OB＝AB·tan·45°＝1．又BM＝，即OB2＋OM2＝BM2，所以OMB为直角三角形，且∠OMB＝45°．故答案为：45°.12．（2021·全国·高一课时练习）如图，在四面体中，，与所成的角为，、分别为、的中点，则线段的长为________．【答案】或【详解】取的中点，连接、，、分别为、的中点，且，同理可得且，为异面直线与所成的角或其补角，则或.在中，.若，则为等边三角形，此时，；若，由余弦定理可得.综上所述，或.故答案为：或.三、解答题13．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，在四棱柱中，侧面都是矩形，底面四边形是菱形且，，若异面直线和所成的角为，试求的长.【答案】【详解】如图，连接，在四棱柱中，，，所以四边形是平行四边形，所以，所以（或其补角）为和所成的角，因为异面直线和所成的角为，所以，因为四棱柱中，侧面都是矩形，底面四边形是菱形，所以是等腰直角三角形，所以，因为底面四边形是菱形且，，所以，，所以.14．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知点在圆柱的底面上，，，，分别为，的直径，且.若圆柱的体积，，，回答下列问题：（1）求三棱锥的体积.（2）在线段上是否存在一点，使异面直线与所成的角的余弦值为？若存在，请指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）存在，点M为AP的中点【详解】解：（1）由题意，得，解得.由，，得，，，∴，∴三棱锥的体积.（2）当点为的中点时，异面直线与所成的角的余弦值为.证明如下：∵，分别为，的中点，∴，∴就是异面直线与所成的角.∵，，，∴.又，∴，∴当点为的中点时，异面直线与所成的角的余弦值为.B应考能力15．（2021·全国·高一课时练习）在长方体中，，，则异面直线与所成的角为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：如图，连接，因为，所以为异面直线与所成的角.因为，所以，故选：16．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，在正三角形中，分别为各边的中点，分别为的中点.将沿折成三棱锥以后，与所成角的度数为A． B． C． D．【答案】B【详解】将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，I、J分别为BE、DE的中点，则IJ∥侧棱AD，故GH与IJ所成角与侧棱AD与GH所成的角相等；AD为折成三棱锥的侧棱，因为∠AHG=60°，故GH与IJ所成角的度数为60°，

故选:B．17．（2021·全国·高一课时练习）点、分别是三棱锥的棱、的中点，，，，则异面直线与所成的角为()A． B． C． D．【答案】D【详解】如图，取的中点，连结、，则，，则(或其补角)即为与所成的角，在中，，，，所以，即异面直线与所成的角为，故选D.18．（2022·四川眉山·高二期末（理））如图，在正方体中，，分别是，的中点．（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.（1）在正方体中，取中点G，连接FG，，如图，而F是CD的中点，则，，又E是的中点，则，，因此，，，四边形是平行四边形，有，而平面，平面，平面.（2）连AC，取AC中点T，连接ET，，，E，T分别为，AC中点，则，即有为异面直线与所成角或其补角，令正方体棱长为2，则，，而，则，在中，由余弦定理得，所以异面直线与所成角的余弦值为.C新素养新题型19．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，三棱柱中，底面三角形是正三角形，是的中点，则下列叙述错误的是（）A．与是异面直线 B．与共面C．与是异面直线 D．与所成的角为【答案】ABD【详解】由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E共面，A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确；AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，而E为BC中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，即AE与B1C1所成为90°，D错误.故选：ABD.20．（2021·全国·高一课时练习）一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论，正确的是（）A．B．与所成的角为C．与是异面直线D．【答案】AC【详解】还原正方体,以正方形为底面有对选项A,因为∥,且有,故A正确.对选项B,因为∥,所以B错误.对选项C,由图可得显然正确.对选项D,,故D错误.故选：AC21．（2021·全国·高一课时练习）（多选）如图，在四面体中，点分别是棱的中点，截面是正方形，则下列结论正确的是（）A． B．截面C． D．异面直线与所成的角为【答案】ABD【详解】解：因为截面是正方形，所以，又平面，平面所以平面又平面,平面平面所以因为截面，截面，所以截面，故B正确同理可证因为，所以，故A正确又所以异面直线与所成的角为，故D正确和不一定相等，故C错误故选：ABD22．（2021·黑龙江·大庆市东风中学高一期末）已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角形，，分别是，的中点，，则三棱锥的体积为____