专题09排列组合二项式定理与概率统计综合真题专项训练（全国竞赛强基计划专用）

【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】专题09排列组合二项式定理与概率统计综合真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）一、单选题1．（2021·北京·高三强基计划）在十进制下的末两位数字是（

）A．01 B．21 C．81 D．前三个选项都不对【答案】A【分析】根据同余及二项定理可判断末两位数字，也可以利用欧拉函数的性质来判断末两位数字.【详解】法1：根据题意，有:．法2：根据欧拉函数的性质由，而，故，故，而，因此．故选：A2．（2021·北京·高三强基计划）如果一个十位数F的各位数字之和为81，则称F是一个“好数”，则“好数”的个数为（

）A．48618个 B．48619个C．48620个 D．以上答案都不对【答案】B【分析】利用隔板法可求“好数”的个数.【详解】设好数，则，设，则，且，考虑的非负整数解的个数，去掉对应的一组解，所求个数为个．故选：B.3．（2021·北京·高三强基计划）设数表的每一行和每一列的乘积均为1，其中包含的每个的数表的4个数的乘积为2，则满足题意的数表的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．前三个选项都不对【答案】B【分析】根据题设条件可得四个角的数字相同，四边中间的数字也相同，从而可求这两类数字，故可得正确的选项.【详解】设数表为，如图．根据题意，有，类似可得数表外围一圈任意两个相邻的位置上的数的乘积均为0.5，进而四个角的数字相同，四边中间的数字也相同，分别设为a，b，再设中间的数为c，则有因此满足题意的数表唯一．4．（2020·北京·高三校考强基计划）设A，B，C是集合的子集，且满足，这样的有序组的总数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用分步计数法可求有序组的总数.【详解】考虑A，B，C把集合划分为5个集合：，接下来将集合P中的元素逐一安排到集合中即可得所求总数为．故选：C.5．（2020·北京·高三校考强基计划）设随机变量X的概率分布为，Y表示X被3除的余数，则数学期望（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】利用无穷递缩等比数列的和的公式可求的分布列，从而可求其数学期望.【详解】根据题意：有分别是以为首项，为公比的无穷递缩等比数列的和，因此，因此．故选：B.6．（2021·北京·高三强基计划）现有7把钥匙和7把锁．用这些钥匙随机开锁，则这三把钥匙不能打开对应的锁的概率是（

）A． B． C． D．以上答案都不对【答案】B【分析】利用对立事件可求这三把钥匙不能打开对应的锁的概率.【详解】设打开对应的锁的事件为，其中，则，，且，因此所求概率为．故选：B.7．（2023·全国·高三专题练习）除以7的余数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】把转化成，再结合二项展开式即可求解.【详解】，则，又是7的倍数，故余数为3.故选：D.8．（2020·湖北武汉·高三统考强基计划）圆周上有10个等分点，以这10个等分点的4个点为顶点构成四边形，其中梯形的个数为（

）A．10 B．20 C．40 D．60【答案】D【分析】把10个点看成5条线段的组合，再利用组合公式计算即可.【详解】梯形的两条边平行，可以从5组平行于直径的5条平行弦中选取，也可以从5组不平行于直径的4条平行弦中选取，去除矩形后，梯形共有60个.故选：D9．（2020·湖北武汉·高三统考强基计划）设A是集合的子集，只含有3个元素，且不含相邻的整数，则这种子集A的个数为（

）A．32 B．56 C．72 D．84【答案】B【分析】分类列举出每一种可能性即可得到答案.【详解】若1,3在集合A内，则还有一个元素为5,6,7,8,9,10中的一个；若1,4在集合A内，则还有一个元素为6,7,8,9,10中的一个；若1,8在集合A内，则还有一个元素为10；共有6+5+4+3+2+1=21个.若2,4在集合A内，则还有一个元素为6,7,8,9,10中的一个；若2,5在集合A内，则还有一个元素为7,8,9,10中的一个；若2,8在集合A内，则还有一个元素为10；共有5+4+3+2+1=15个.若3,5在集合A内，则还有一个元素为7,8,9,10中的一个；若3,6在集合A内，则还有一个元素为8,9,10中的一个；若3,8在集合A内，则还有一个元素为10；共有4+3+2+1=10个.若4,6在集合A内，则还有一个元素为8,9,10中的一个；若4,7在集合A内，则还有一个元素为9,10中的一个；若4,8在集合A内，则还有一个元素为10；共有3+2+1=6个.若5,7在集合A内，则还有一个元素为9,10中的一个；若5,8在集合A内，则还有一个元素为10；共有2+1=3个.若6,8,10在集合A内，只有1个.总共有21+15+10+6+3+1=56个故选：B.10．（2020·北京·高三校考强基计划）设袋中装有编号从0到9的10个球，随机从中抽取5个球，然后排成一行，构成的数（0在首位时看成4位数）能被396整除的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设所求数的形式为，根据同余可判断出，再通过列举法可求满足条件的数的个数，从而可求概率.【详解】所有可能的取法有种，因此问题即能被396整除的个数．各选项中对应的个数为：．由于，因此能被396整除的数的各位数字之和，于是或，且有，因此．情形一

．有e2604604826082048264共64个．情形

二．有e4648262648264共32个．综上所述，所求概率为．故选：C.二、填空题11．（2018·安徽·高三竞赛）从1，2，…，10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差的概率=_________.【答案】【详解】的样本方差，当且仅当、、是连续的正整数.故.故答案为12．（2021·全国·高三竞赛）在1，2，3，…，10这10个正整数中任取4个，记为这四个数中两数相邻的组数，则的数学期望__________．【答案】【详解】易知的取值为1,2,3，且：．故答案为：.13．（2022·浙江·高二竞赛）二项式的展开式中，整数项共有______项.【答案】14【详解】二项式展开式的通项公式为，很明显整数项应满足且为6的倍数，即且为6的倍数，这样的数可以是：120，126，132，138，144，150，156，162，168，174，180，186，192，198，共有14个.故答案为：14.14．（2022·福建·高二统考竞赛）的末三位数是___________.【答案】881【详解】因为，所以，又，所以，因此的末三位数是881.故答案为：881.15．（2022·贵州·高二统考竞赛）如图，“爱心”是由曲线和所围成的封闭图形，在区域内任取一点A，则A取自“爱心”内的概率_____．【答案】【详解】解法1．区域的面积为，爱心面积，∴．故答案为：.解法2．在图中的阴影部分面积，所以爱心面积为，∴．故答案为：.16．（2018·全国·高三竞赛）设n为正整数.从集合中任取一个正整数n恰为方程的解的概率为_______（表示不超过实数x的最大整数）.【答案】【详解】当时，，.满足题中方程的n为6，12，…，2010，共335个；当时，，.满足题中方程的n为1，7，13，…，2011，共336个；当时，，.满足题中方程的n不存在；当时，，.满足题中方程的n为3，9，15，…，2013，共336个；当时，，.满足题中方程的n不存在；当时，，.满足题中方程的n不存在.因此，从集合中任取一个正整数n恰为题中方程的解的概率为.17．（2018·全国·高三竞赛）小明、小红分别独立重复投掷均匀的色子，直到第次出现6点为止．则小明和小红投掷的次数相差不超过1的概率为________．【答案】【详解】设小明、小红投掷次数分别为.则所求为.由独立性,知所求概率为==.18．（2018·全国·高三竞赛）从集合中随机地、不放回地取出三个数，然后再从剩下的2011个数中同样随机地、不放回地取出三个数.则将为长、宽、高的砖能放进以为长、宽、高的盒子中的概率为__________．【答案】【详解】不妨设，，当且仅当，，时砖可放入盒中.设是从中选出的六个数，再从中选出三个，有=20种方法.这三个作为，剩下三个作为，符合要求的只能为.若为，则可为或或；若为，则可为或.故符合要求的取法为5种，概率.19．（2021·全国·高三竞赛）有甲乙两个盒子，甲盒中有5个球，乙盒中有6个球（所有球都是一样的）.每次随机选择一个盒子，并从中取出一个球，直到某个盒子中不再有球时结束.则结束时是甲盒中没有球的概率为______.【答案】【详解】相当于前十次中至少有五次选择了甲盒的概率，即.故答案为：.20．（2021·全国·高三竞赛）先后三次掷一颗骰子，则其中某两次的点数和为10的概率为___________．【答案】【详解】有两次为5的概率为，有两次为6和4的概率为，所以概率为.故答案为：.21．（2021·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考竞赛）甲，乙两人进行一场七局四胜制的游戏，任何一人累计获胜四局即为胜方，同时游戏结束，另一人为负方．若在每局中，双方各有的概率获胜，则游戏结束时胜方比负方多获胜的局数的数学期望为______．【答案】【详解】由题可设游戏结束时胜方比负方多获胜的局数为,则可能取值为1,2,3,4,比七局,前六场两人三胜三负,胜方比负方多获胜一场,;比六局,前五场胜方三胜两负,胜方比负方多获胜两场,;比五局,前四场胜方三胜一负,胜方比负方多获胜三场,,比四局,胜方连胜四局,,所以.故答案为：.22．（2022·北京·高三校考强基计划）将不大于12的正整数分为6个两两交集为空的二元集合，且每个集合中两个元素互质，则不同的分法有___________种.【答案】252【分析】依题意恰好在6个不同的集合中，设依次为，则可以任意放，5不能放在中，3，9不能放在或中，分两种情况讨论，按照分类、分步计数原理计算可得；【详解】解：易知中的元素两两不互质，因此恰好在6个不同的集合中.设依次为.此时剩余的正整数中可以任意放在上述6个集合中，5不能放在中，3，9不能放在或中，分两种情况：①若5放入了或中，有两种情况，此时3与9可在4个集合中选择，有种情况，而放入集合有种情况.②若5没有放入或中，则5有3个集合可以选择，进而3与9可在3个集合中选择，有种情况，而放入集合有种情况.综上所述，不同的集合拆分方法共有种.故答案为：23．（2022·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考竞赛）定义：如果甲队赢了乙队，乙队赢了丙队，而丙队又赢了甲队，则称甲乙丙为一个“友好组”.如果20支球队参加单循环比赛，则友好组个数的最大值为__________.【答案】330【分析】从反面考虑非友好组的个数的最小值，后者可用逐步调整法来处理.【详解】当为偶数时，令，则总共有场比赛.不妨设有个友好组，考虑其反面，若甲乙丙三对为非友好组，不妨设甲队赢了乙队和丙队，此时，记甲队为非友好组的组长.对甲队而言，可以在赢的所有队伍中任意选择两队构成非友好组.因此，若队在比赛中赢了场，则，且以为组长的非友好组有个（补充定义：，于是所有非友好组的个数为.下求最小值.若在中，有.则令，其余且，，故调整后的总和变小.重复上述操作，直至任意两个数的差最多为1.不妨设有个个，则有整理有.由于，故.由等式两边对应相等可知，，即调整后有个个.此时的值为，则，故友好组个数的最大值为，即.下面为取到最大值的例子：设在.共支球队中，当时，队胜；当时，队胜，下标均是在模的意义下.综上所述，当为偶数时，友好组个数的最大值为.故如果20支球队参加单循环比赛，友好组个数的最大值为330.故答案为：33024．（2019·河南·高二校联考竞赛）计算：=____________.【答案】【详解】由二项式定理得，两边同时积分得：，从而得到如下等式：，故答案为：.25．（2022·北京·高三校考强基计划）已知数列各项均为正整数，且中存在一项为3，可能的数列的个数为___________.【答案】211【分析】由题意记，则，设，则，对于给定的可唯一确定一组数列，从而可求出数列的个数【详解】解：记，则，对确定的，数列各项间的大小顺序即确定，设，则，对于给定的可唯一确定一组数列，由于且，这样的数列共个，其中不符合题设条件的数列各项均为1或2，这样的数列有个，综上所述，符合要求的数列共有个.故答案为：211三、解答题26．（2022·江苏南京·高三强基计划）设的两个根分别为，，设.(1)求证：；(2)求的个位数字.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）由题意可知，，此时：，，则：，此时.（2）因为，，上述两式相加可得，设为的个位数字，则：，，，，，，，，则数列是以6为周期的数列，则.27．（2018·全国·高三竞赛）已知数列满足，并且对任意的的概率均为．（1）设的值为随机变量X，试求X的概率分布；（2）求X的绝对值的数学期望E|X|．【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）设.则对任意正整数取1或1的概率均为，且.设.显然，，并设此时中有x个1,2nx个1.则X(2nx)=k.因此，k=2(xn)只能取[2n,2n]之间的偶数值.对于偶数2m(m=0,±1,...,±n)，事件{X=2m}相当于在2n个数中，有n+m个取1，nm个取1，因此，X的概率分布可表示为（2）对任意1≤i≤n，易知P(X=2m)=P(X=2m).从而，.28．（2022·湖北武汉·高三统考强基计划）连续地随机掷1颗骰子，一直掷到6点出现3次为止.用表示停止时已经掷的次数.(1)求的分布列，；(2)令，求数学期望.【答案】(1)答案见解析.(2).【详解】（1）显然当掷次才停止时,必有第次掷出的是6,前中有2次掷出次掷出的是其它数字.所以.由于，，，故其分布列为：X34（2）当时,有,故.当时,有,故于是可得29．（2022·江苏南京·高三强基计划）已知整数，证明：.【答案】证明见解析【详解】解同除：，设，原题即证：，而，所以，即，，又，所以，即，，综上可得：时，，即.30．（2022·江苏苏州·高二统考竞赛）定义：如果甲队赢了乙队，乙队赢了丙队，而丙队又赢了甲队，则称甲乙丙为一个“友好组”.(1)如果19支球队参加单循环比赛，求友好组个数的最大值；(2)如果20支球队参加单循环比赛，求友好组个数的最大值.【答案】(1)285(2)330【分析】设有x个友好组，考虑其反面，证明一般性结论：当球队个数m为奇数时，友好组个数最大值为；当球队个数m为偶数时，友好组个数最