概率论与数理统计第二章课后习题答案

概率论与数理统计课后习题答案

第二章

I.一袋中有5只乒乓球，编号为1,2,3,4,5,在其中同时取3只，以X表示取出的3只

球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.

【解】

X=3,4,51

c3=0.1

5

35

-

c-3=0.3

3

c2

4

=0.6

故所求分布律为

X345

P0.10.30.6

2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取I只，作不放回抽样,

以X表示取出的次品个数，求：

（1）X的分布律；

（2）X的分布函数并作图；

（3）

133

P{XX<-},P{\<X<-},P{\<X<2}.

222

【解】

X=0,1,2.

C22

p(X=0)=8=

35

=C；C；3J2

P(X=1)

Cl35

尸(X=2)=

*35

故X的分布律为

X012

p22121

353535

(2)当工＜0时，F(x)=P(XWx)=0

22

当OWx<l时，F(x)=P(XWx)=P(X=O)=—

35

34

当lW/<2时，F(x)=P(XWx)=P(X=O)+P(X=1)=——

35

当x22时，F(x)=P(XWx)=1

故X的分布函数

0,x<0

F(x)=•

x>2

(3)

3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为03,求3次射击中击中目标的次数的

分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率.

【解】

设X表示击中目标的次数厕X=0,1,2,3.

P(X=0)=(0.2)3=0.008

p(X=l)=C；0.8(0.2)2=0.096

P(X=2)=C；(0.8)20.2=0.384

p(X=3)=(0.8)3=0.512

故X的分布律为

X0123

P0.0080.09603840.512

分布函数

0,x<0

0.008,0<x<l

尸(一=,0.104,l<x<2

0.488,2<A<3

J,x>3

P(X>2)=P(X=2)+-(X=3)=0.896

4.(1)设随机变量X的分布律为

无

P{X=k}=a—,

其中A=0,I,2,…，4>0为常数，试确定常数a

(2)设随机变量X的分布律为

P{X=k}=a/N,^=1,2,…，N,

试确定常数口

【解】(1)由分布律的性质知

0082k

\=^P(X=k)=a^—=

i=o&=oK-

故a=e-z

(2)由分布律的性质知

NN

l=£p(X=Q=2行n=4

k=\Jt=lN

即a=\.

5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.607,今各投3次，求：

(1)两人投中次数相等的概率；

(2)甲比乙投中次数多的概率.

【解】分别令X、y表示甲、乙投中次数，则X"(3,0.6),y~b(3,0.7)

(1)

p(X=3,y=3)

=(O.4)3(O.3)3+C；O.6(O,4)2C；O.7(O.3)2+

(0.6)20.4C^(0.7)20.3+(0.6)3(0.7)3

=0.32076

(2)

=0.243

6.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02,且设各

飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某•时刻飞机需立即降

落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？

［解】设X为某--时刻需立即降落的飞机数，则X4(200002),设机场需配备N条跑道,

则有

P(X>N)<0.0\

200

A200

即£C^)(O.O2)(O.98)^<0.01

Jt=N+l

利用泊松近似

%=〃〃=200x0.02=4.

故得。-P)2=］，

1

即

从而p(r>i)=i-p(y=o)=i-(i-p)4=0.80247

81

12.某教科书出版了2000班，因装订等原因造成错误的概率为0.001,试求在这2000册书中

恰有5册错误的概率.

【解】令X为2000册书中错误的册数，则XMQOOO.O.COl).利用泊松近似计算，

%=叩=2000x0.001=2

e-22;

得P(X=5)«——=0.0018

5!

31

13.进行某种试验，成功的概率为二，失败的概率为一.以X表示试验首次成功所需试验的次

44

数，试写出X的分布律，并计算X取偶数的概率.

【解】X=l,2,,k「

P(X=k)=(；广弓

P(X=2)+P(X=4)+,,+P(X=2Q+

13J”.13

44444

1

34_1

北有宁

4

14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡

的概率为0.002,每个参加保险的人在1月1口须交12元保险费，而在死亡时家属可从

保险公司领取2000元赔偿金.求：

(1)保险公司亏本的概率；

(2)保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率.

【解】以“年”为单位来考虑.

(1)在1月1日，保险公司总收入为25(X)X12=30000元.

设1年中死亡人数为X,则X~%(25OO0.OO2),则所求概率为

P(2000X>30000)=P(X>15)=1-P(X<14)

由于〃很大，〃很小，4二叩=5,故用泊松近似，有

14e-54r*

P(X>15)al-Z-------®0.000069

hOk\

⑵P(保险公司获利不少于10000)

=尸(30000—2000X>10000)=P(X<10)

10e-5ck

0.986305

hk!

即保险公司获利不少户10000元的概率在98%以上

P(保险公司获利不少于20000)=P(30000-2000X>20000)=P(X<5)

,e-35*

——«0.615961

总k!

即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%

15.已知随机变量X的密度函数为

fix)=Ae~M,-8<e+8,

求：⑴4值;(2)P{0<X<l);(3)F(x).

【解】⑴由匚/。)心=1得

1=]：AeMdx=2[Ae-&=2A

故A=—.

2

(2)〃(0<X<l)T/&=；(l_eT)

(3)当x<0时，F(x)=f—evdx=—e'

Jy22

当Q()时，F(x)=£，”心=j：^evdx+£r-ie-J:dx

—ev,x<0

2

故F(x)=

l--e-rx>0

2

16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X的密度函数为

粤，x>100,

x

[0,x<100.

求：(1)在开始150小时内没有电子管损坏的概率;

(2)在这段时间内有•只电子管损坏的概率；

(3)F(%).

【解】

fl501001

(1)P(X<150)=[斗dx=—.

JiooY3

p,=[P(X>150)]3=

⑵P2=C*|Y

(3)当rUOO时>(x)=0

当x2100时F(x)=J：/(/XI/

f100rx

=LJ(即L/。2

10()

1x>100

故F(x)=«x

0,x<0

17.在区间［0,al上任意投掷一个质点，以X表示这质点的坐标，设这质点落在［0,«］

中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X的分布函数.

【解】由题意知乂~口［0,用，密度函数为

0<x<a

fM=•a'

0,其他

故当x<0时F(x)=0

=匚/(辿=「/(/业=］。口=:

当时Fix)

当x>a时，F(x)=1

即分布函数

0,x<0

X

F(x)=<0<x<

a

1,x>a

18.设随机变量X在［2,5］上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观测

值大于3的概率.

【解】X~U［Z5］,即

,2<x<5

/«=3

0,其他

:512

P(X>3)=[-dv=-

故所求概率为

19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分钟计)服从指数分布E(《).某顾客在窗口

等待服务，若超过1()分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以丫表示一个月内他未等

到服务而离开窗口的次数，试写出y的分布律，并求P{Y2I}.

【解】依题意如X~E(g),即其密度函数为

1--

〃\-e5,x>0

0,x<0

该顾客未等到服务而离开的概率为

P(X>10)=["-e^dA-=e-2

J105

y~"5,e-2),即其分布律为

P(Y=k)=C^e2)A(l-e-2产次=0,1,2,3,4,5

P(y>l)=l-P(r=0)=l-(l-e-2)5=0.5167

20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X服

从N(40,IO?)：第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X服从N(50,42).

(1)若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？

(2)又若禽火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？

【解】⑴若走第一条路,X-N(40,102),则

(r-4060-40^

P(X<60)=Py—<]()卜。(2)=0.97727

若走第二条路，X~N(50,42),则

P(X<60)=P[<60-501=G(2.5)=0.9938++

I44；

故走第二条路乘上火车的把握大些.

(2)若X~N(40,102),则

<X-4045—40、

P(X<45)=PyJ=0(0.5)=0.6915

若X~N(50,42),则

P(X<45)=P[<45-50>|=0(-1.25)

I44)

=1-^(1.25)=0.1056

故走第一条路乘上火车的把握大些.

21.设X~N(3,22),

(1)求口2<X55},P{-4<X<I0},P{\X\>2},P{X>3};

(2)确定c•使尸{X>c}二P{XWc}.

【解】(1)P(2<X<5)=pf—

I222

\\f11

=0(l)-0——=0(1)-1-F0-

I2)[2)

=0.8413-1+0.6915=0.5328

X-310-3>

P(-4<X<10)=Pl/^-4-—3<<

=0.9996

P(\X\>2)=P(X>2)+P(X<-2)

=0.6915+1-0.9938=0.6977

P(X>3)=P(^~^>—)=1-0(0)=0.5

22

(2)c=3

22.由某机器生产的螺栓长度(cm)X~N(10.05,0.062)，规定长度在10.05±0.12内为合格品,

求一螺栓为不合格品的概率.

X-10.050.12)

【解】P(|X-10.051>0,12)=P>----

0.060.06J

=1-⑦⑵+0(—2)=211-S(2)]

=0.0456

23.一工厂生产的电子管寿命X(小时)服从正态分布N(160,『)，若要求P{120VXW200}

20.8,允许。最大不超过多少？

120-160X-160200-160

【解】P(120<X<200i=P---------<<

(7<y<y

故o-<—=31.25

1.29

24.设随机变量X分布函数为

A+Bex,,x>0,

F(x)=-a＞（））,

0,x<0.

(1)求常数A,B；

(2)求P[XW2),P{.¥>3}；

(3)求分布密度f(x).

limF(x)=1A=1

【解】3）由4得4

limF(x)=limF(x)B=-\

kx->0+x->0-

(2)P(X<2)=F(2)=l-e-2/l

P(X>3)=1-F(3)=l-(l-e-^)=e⑹

⑶/(x)=F")=F;

0,x<()

25.设随机变量X的概率'密度为

x,0<x<1,

f(x)=«2-尤，1<A<2,

0,其他

求X的分布函数/(x),并画出了(X)及尸(X).

【解】当工<0时F(x)=0

当OWxvl时F(x)=J：/⑴山=J：f(t)dt+£'f(t)dt

当lWx<2时尸。)=匚/(。曲

=J：/⑺由=£/⑺山+

=£rdr+j|(2-r)dr

1rJ3

222

7

X"c,

=------\-2x-\

2

当时/（元）==l

0,x<()

厂

()<X<1

2

故R(x)=

l<x<2

x>2

26.设随机变最X的密度函数为

（1）M=ae-W,X>0;

bx,0<x<1,

（2）府尸二，l<x<2,

厂

0,其他

试确定常数“力，并求其分布函数/（》）.

【解】（I）由「f（x）dx=1知1=J：惚一如出=2a^eAx（ix=乌

故a=—

2

-e-A\x>0

即密度函数为/*)=｛；2

-e^x<0

12

当xWO时F(x)=J：/(x)dx=J：也=gV"

当A>0时F(x)=J：/(x)dx=J：|eXvdA+£|e'&

故其分布函数

x>0

x<0

=「/"）曲0出+导

(2)由1

22

得b=\

即X的密度函数为

x,0cx<1

f(x)=-―—,1Wx<2

厂

0,其他

当D时F(x)=0

当Ooy1时F(x)=j]/(x)cLr=工/(x)dA+£/(x)dx

=fxdx=^

Jo2

当1Wxv2时F(x)=J'/(x)dr=J°Odr+£xdx+J；—d.v

31

=———

2x

当x22时尸(x)=1

故其分布函数为

0,x<0

2

F(x}=\—2,0<x<l

1,x>2

27.求标准正态分布的上a分位点，

(1)a=0.01,求z〃；

(2)a=0.003,求z°,zafl.

【解】(I)P(X>za)=0.01

即l-0(zj=O.Ol

即0&)=0.09

故Za=2.33

(2)由P(X>Za)=0.003得

1-=0.003

即0(za)=0.997

查表得Za=2.75

由P(X>Z。2)=0・0015得

l-0(zo/2)=0.0015

即G(Za/2)=09985

查表得Za/2=2.96

28.设随机变量X的分布律为

X-2-1013

Pk1/51/61/51/1511/30

求y=x2的分布律.

【解】y可取的值为0,1,4,9

p(y=0)=P(X=0)=1

117

p(y=l)=p(X=-1)+p(X=l)=-+—=—

61530

尸(y=4)=尸(X=-2)=-

p(y=9)=p(x=3)q

故y的分布律为

Y0149

Pk1/57/301/511/30

29.设P[X=4}=(-y,k=12…，令

2

v1,当X取偶数时

-1,当X取奇数时.

求随机变量X的函数y的分布律.

【解】P(y=l)=P(X=2)+P(X=4)++P(X=2k)+

=g)2+(；)"++(；产+-

=4)/(1-7)=7

443

POZ=1)=|

=-1)=1-4

30.设X~N(0,1).

(1)求丫=炉的概率密度；

(2)求Y=2X2+1的概率密度；

(3)求y=ixi的概率密度.

【解】⑴当yWO时，4(y)=P(YMy)=0

x

当y>0时,Fr(y)=P(Y<y)=P(e<y)=P(X<Iny)

=C/x*)S

-,n22

故fy(y)=叫⑴=-/v(lny)=--^=e',y>0

dyyy\2式

⑵P(r=2X2+l>l)=l

当）wi时以（），）=p（y4），）=o

当y>l时K(y)=P(Y<y)=P(2X2+1<y)

故

(3)P(Y>0)=1

当），W0时耳（y）=尸（丫4），）=0

当)>0时FY(y)=P(\X\<y)=P(-y<X<y)

=「/x(x)ck

故人(y)=；6⑶)=fx(y)+fx(-30

dy

2/2

Fe,y>0

31.设随机变量X~U（0,1）,试求:

（1）hex的分布函数及密度函数；

（2）Z=-21nX的分布函数及密度函数.

【解】(1)P(O<X<1)=1

故P(l<r=eA<e)=l

当,，VI时4(y)-0(yVy)-0

x

当l<y<e时FY(y)=P(e<y)=P(X<Inj)

rlny

=]()dr=Iny

当)，2e时4()，)二。(/W)，)=l

即分布函数

0,y<\

鸟(y)={lny,1<y<e

1,y?e

故y的密度函数为

—1<y<e

人(y)Ty，

o,其他

(2)由P(O<X<1)=1知

P(Z>0)=1

当zWO时，Fz(z)=P(Z<z)=O

当z>0时，Fz(z)=P(Z<z)=P(-21nX<z)

=P[\nX<--)=P(X>QZ,2)

2

=工“卢=1—e±2

即分布函数

[0,z<0

%(z)=

l-ez/2,z>0

故z的密度函数为

e-z/2,z>0

/z(z)=5

0,z<0

32.设随机变量X的密度函数为

2x

0<X<71,

7T

0,其他.

试求hsinX的密度函数.

【解】p（o<y<i）=i

当)WO时，FY(y)=P(Y<y)=O

当0<><1时,K(y)=P(Y<y)=尸(sinX<y)

=P(O<X<arcsiny)+P(K-arcsiny<X<71)

farcsiny2x,

—d.r+

Jo兀2J^-arcsiny兀~

=-y(arcsiny)2+1-arcsin

TC7T71

2

=­arcsiny

Tt

当时,Zy(y)=l

故丫的密度函数为

21

,0<y<1

=<

fY(y)兀

0,其他

33.设随机变量X的分布函数如下:

1

。(⑴，

1+x29

⑵，x>(3).

试填上⑴，⑵,⑶项.

【解】由lim/3=1知②填lo

Kfg

由右连续性limFix）=b（无）=1知/=0,故①为0。

KT君

从而③亦为0。即

1

x<0

\+x2

1,x>()

34.同时掷两枚骰子，直到一枚骰子出现6点为止,求抛掷次数X的分布律.

【解】设4尸｛第i枚骰子出现6点｝。（i=l,2）,尸入）=’.且4与A2相互独立。再设G｛每次

6

抛掷出现6点｝。则

P（C）=P（AUA2）=P（A）+P（4）—P（4）P（4）

111111

=—|---------x-=—

666636

故抛掷次数X服从参数为"的几何分布。

36

35.随机数字序列要多长才能使数字0至少出现一次的概率不小于().9?

【解】令X为0出现的次数，设数字序列中要包含〃个数字，则

P［X>\)=\-P(X=0)=l—C，(0.1)°(0.9)“N0.9

即(0.9f<0.1

得“222

即随机数字序列至少要有22个数字。

36.己知

0,x<0,

F(x)=«x+—,()«X<—,

22

口

2

则尸(外是()随机变量的分布函数.

(A)连续型；(。)离散型;

(C)非连续亦非离散型.

【解】因为尸(x)在(-8,+8)上单调不减右连续，且limFW=0

limF(x)=1,所以F(x)是一个分布函数。

X—>-KC

但是尸(x)在尸0处不连续，也不是阶梯状曲线,故FG)是非连续亦非离散型随

机变量的分布函数，选(C)

37.设在区间⑼上，随机变量X的密度困数为於尸sinx,而在陵,句外,/(x)=O,则区间［a,b］

等于()

(A)［0,n/2J;(B)。"1；

(C)［-n/2,0］;(D)

7Trn/2

【解】在［0,一］上sinx20,且Isinxdx=l.故段)是密度函数。

2Jo

在［0,兀］上，sin.uix=2。1.故7U)不是密度函数。

在［―17T,0］上sinxWO,故Kr)不是密度函数。

33

在［0,—兀］上，当71cxW—兀时，siru<(),人工)也不是密度函数。

22

故选(A)。

38.设随机变量X~N(0,)2),问：当。取何值时，X落入区间(1,3)的概率最大？

1VQ

【解】因为X~N(0面),P(l<X<3)=P(-<—<-)

aaa

3|

=①(一)-①(一)令g(b)

oo=

利用微枳分中求极值的方法，有

3311

g's)=(--m-)+—ox-)

b7a<y~a

_310-9/2」1107/2」

一户厉/历

-」、e7/2叫1_3e⑻2/J-0

而6

42

得'则0。=不Q

In3Jin3

又g〃(bo)<O

2

故/<-=为极大值点且惟一。

x/ln3

2

故当b=-时X落入区间(1,3)的概率最大。

Vln3

39.设在一段时间内进入某一商店的顾客人数X服从泊松分布P(X),每个顾客购买某种物

品的概率为〃，并且各个顾客是否购买该种物品相互独立，求进入商店的顾客购买这种

物品的人数y的分布律.

【解】P(X=〃1)=^^,〃2=O,1,2,…

/W!

设购买某种物品的人数为匕在进入商店的人数M=阳的条件下，卜伙〃*),即

P(Y=k\X=m)=C；”pA(1—p尸,k=0,1,,m

由全概率公式有

P(Y=k)=£p(X=m)P(Y=k\X=m)

nt=k

m

=Z8a"/2-・c»(”pL

m=k，〃！

g】m

=e-2y—-——d(l-〃尸

£女!(〃2-4)！

-A(Wyw-p)rA

=Ck!幺(m-ky.

A

_(Ap)AM_py

—cc

k\

二^^e叫Z=Q1,2,…

k\

此题说明：进入商店的人数服从参数为人的泊松分布，购买这种物品的人数仍服从泊

松分布，但参数改变为幼.

4().设随机变量X服从参数为2的指数分布.证明：丫=1丑4在区间(()，I)上服从均匀分布.

【证】X的密度函数为

2e2xx>()

x<0

由于P(X>0)=1,故0<l-e-2x<],即P(0<y<l)=1

当yWO时,Fy(y)=0

当1时，Fy(y)=1

-2r

当0<)<l时，FY(y)=P(Y<y)=P(e>1-y)

=P(X<-1ln(l-y))

p--ln(l-y)

2e=y

Jo

即丫的密度函数为

1,0<J<1

人()')=,

0,其他

即y〜u(o,i)

41.设随机变量X的密度函数为

1

-

3

2