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文档简介
齐次化在圆锥曲线中的应用圆锥曲线中常见一类问题,其特点是条件中的两直线斜率之和或之积是一个指定常数.这类问题的求解方法很多,但是采用齐次化方法,可以将这两种题型统一处理.一、两直线斜率之积为常数二、两直线斜率之和为常数三、与斜率之和、斜率之积相关的问题四、巩固练习1、(2017年全国Ⅰ卷理科20)已知椭圆C:(a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(–1,),P4(1,)中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程;(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1,证明:l过定点.试题分析:(1)根据,两点关于y轴对称,由椭圆的对称性可知C经过,两点.另外由知,C不经过点P1,所以点P2在C上.因此在椭圆上,代入其标准方程,即可求出C的方程;(2)先设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2,再设直线l的方程,当l与x轴垂直时,通过计算,不满足题意,再设l:(),将代入,写出判别式,利用根与系数的关系表示出x1+x2,x1x2,进而表示出,根据列出等式表示出和的关系,从而判断出直线恒过定点.试题解析:(1)由于,两点关于y轴对称,故由题设知C经过,两点.又由知,C不经过点P1,所以点P2在C上.因此解得故C的方程为.(2)常规解法:设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2,如果l与x轴垂直,设l:x=t,由题设知,且,可得A,B的坐标分别为(t,),(t,).则,得,不符合题设.从而可设l:().将代入得.由题设可知.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.而.由题设,故.即.解得.当且仅当时,,于是l:,即,所以l过定点(2,).注:椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质,判断点是否在椭圆上,可以通过这一方法进行判断;证明直线过定点的关键是设出直线方程,通过一定关系转化,找出两个参数之间的关系式,从而可以判断过定点情况.另外,在设直线方程之前,若题设中未告知,则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况,其通法是联立方程,求判别式,利用根与系数的关系,再根据题设关系进行化简.2、(2017年全国Ⅰ卷文科20)设A,B为曲线C:y=上两点,A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率;(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AMBM,求直线AB的方
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